均勻圓陣互耦系數(shù)PSO求解方法

王石泉 張偉豐 劉楊

摘 要：論文提出一種均勻圓陣中基于粒子群算法的互耦系數(shù)求解方法，解決高分辨率測(cè)向算法由于受陣列互耦誤差 的影響而性能下降甚至失效的問題。該方法通過設(shè)置一個(gè)方位精確已知的校正源，基于均勻圓陣互耦矩陣的對(duì)稱Toeplitz性和子空間原理建立目標(biāo)函數(shù)，利用粒子群算法運(yùn)算簡(jiǎn)單尋優(yōu)能力強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)，估計(jì)得到各陣元之間的互耦系數(shù)，獲取互耦誤差矩陣。計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，利用該方法所得到的互耦矩陣對(duì)MUSIC算法進(jìn)行補(bǔ)償后，算法性能良好，接近不考慮互耦誤差時(shí)的性能，顯示了該方法的實(shí)用性和有效性。

關(guān)鍵詞：粒子群算法；互耦系數(shù)；均勻圓陣；MUSIC算法；

1 引言

該理想模型中需假設(shè)天線各陣元之間不存在互耦誤差，而在實(shí)際情況中，由于各陣元之間通過空間電磁場(chǎng)的相互作用與影響而發(fā)生電磁耦合現(xiàn)象，特別是當(dāng)陣元間距較小時(shí)，耦合作用表現(xiàn)會(huì)很強(qiáng)烈，因此互耦是陣列天線的固有特性。研究和仿真實(shí)驗(yàn)表明，互耦誤差會(huì)導(dǎo)致高分辨率測(cè)向算法性能下降甚至失效。

為解決互耦誤差的影響，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)互耦誤差的校正進(jìn)行了大量研究，得出了許多校正算法，主要可分為兩類：一是先對(duì)互耦進(jìn)行電磁測(cè)量或者通過矩量法對(duì)互耦進(jìn)行電磁計(jì)算。另一類是將互耦校正問題轉(zhuǎn)化為參數(shù)估計(jì)問題，主要分為有源校正方法和自校正方法，與自校正算法相比，有源校正算法計(jì)算量小，無需對(duì)信號(hào)源方位進(jìn)行估計(jì)，可以避免高維、多模非線性優(yōu)化，因此實(shí)際工程應(yīng)用較多。

2 均勻圓陣互耦誤差模型及對(duì)測(cè)向算法的影響

2.1均勻圓陣互耦誤差模型

均勻圓陣（Uniform Circle Array， UCA）具有全方位測(cè)向能力、測(cè)向精度隨方位角的變化不明顯和具有互耦對(duì)稱等優(yōu)勢(shì)，因此是無線電測(cè)向中應(yīng)用最廣的陣列天線。如圖1所示為M元均勻圓陣示意圖。

考慮N個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)，互不相關(guān)的的窄帶信號(hào)入射到空間該均勻圓陣上，其中入射信號(hào)的波長(zhǎng)為λ，不失一般性，僅考慮水平面來波方向，設(shè)入射波來向?yàn)棣萲，k=1，2…N。在不考慮陣元間互耦誤差的情況下，可知陣列接收信號(hào)可表示為：

上式中X（t）為陣列各陣元接收數(shù)據(jù)，A（θ）為M×N維陣列流型矢量且A（θ）=[a（θ1）， a（θ2），…，a（θM）]，S（t）=[s1（t），s2（t），…，sN（t）]T為N×1維入射信號(hào)，N（t）= [n1（t），n2（t），…，nN（t）]T為N×1維噪聲矢量。

當(dāng)考慮存在陣元互耦效應(yīng)時(shí)，陣列的導(dǎo)向矢量可以修正為：

相應(yīng)的，陣列流型矩陣可以表示為：

則陣列接收數(shù)據(jù)可以表示為：

其中矩陣Z為反映陣元互耦效應(yīng)的互耦矩陣。

2.2 互耦誤差對(duì)測(cè)向算法的影響

以子空間算法（MUSIC算法）為例，在考慮互耦誤差的情況下，利用陣列信號(hào)處理技術(shù)將陣列輸出的協(xié)方差矩陣定義為：

其中RS為信號(hào)協(xié)方差矩陣，I為單位矩陣，σ2為相互獨(dú)立的零均值平穩(wěn)高斯白噪聲的平均功率，且其與信號(hào)源之間互不相關(guān)?？紤]到實(shí)際接收數(shù)據(jù)矩陣是有限長(zhǎng)的，設(shè)實(shí)際接收的快拍數(shù)為L(zhǎng)，則數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的最大似然估計(jì)可以表示為：

對(duì)上式進(jìn)行特征分解，得到由對(duì)應(yīng)于N個(gè)大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量所構(gòu)成的信號(hào)子空間Es和其余M-N個(gè)特征向量所構(gòu)成的噪聲子空間EN，根據(jù)子空間基本原理即噪聲子空間與理想導(dǎo)向矢量的正交性，可將MUSIC譜搜索函數(shù)。

3 基于粒子群算法的解決方案

由2.2節(jié)分析可知要實(shí)現(xiàn)互耦誤差的校正，其實(shí)質(zhì)是需要得到互耦矩陣Z。本節(jié)基于均勻圓陣的對(duì)稱Toeplitz性和子空間原理建立目標(biāo)函數(shù)，利用粒子群算法解決互耦向量的求解問題。

3.1均勻圓陣互耦矩陣化簡(jiǎn)

通常情況下，數(shù)組元素和數(shù)組元素之間的相互耦合是成反比的，基于互惠定理，互耦矩陣是一個(gè)對(duì)稱矩陣。均勻圓陣，一三波段循環(huán)矩陣。以5元均勻圓陣為例，假設(shè)只存在陣元互耦誤差，則互耦矩陣可以表示為：

這是一個(gè)復(fù)對(duì)稱循環(huán)矩陣，可以完全由其第一行前3個(gè)元素z=[c0 c1 c2]來確定。（有計(jì)算公式，當(dāng)陣元個(gè)數(shù)M為偶數(shù)時(shí)，L=M/2；當(dāng)M為基數(shù)時(shí)，L=（M+1）/2，當(dāng)M=5時(shí)，L=3）

關(guān)于復(fù)對(duì)稱循環(huán)矩陣有如下定理：

其中α為任一5×1維復(fù)列向量，c為3×1維復(fù)列向量。T（α）是由向量α確定的5×3階矩陣，它是以下四個(gè)矩陣的和，即有：

式中Ti（α），（i=1，2，3，4）由下式確定：

通過（10）式可以將互耦矩陣Z表示為向量z（本文稱之為互耦向量）的形式。利用互耦向量，基于子空間原理，可以將空間譜搜索函數(shù)重新構(gòu)造如下：

3.2 基于PSO的互耦向量求解

如圖1中虛線框所示，一個(gè)范圍在遠(yuǎn)場(chǎng)精確已知的（假設(shè)樓梯0）。根據(jù)（6）首先接收陣列協(xié)方差的信號(hào)，得到的協(xié)方差矩陣R=E[x互耦誤差（T）x（t）]和M的特征值的特征分解：λ1λ等于或大于2。

μm為空間特征向量，由于只有一個(gè)校正源，我們知道最大的特征值λ1對(duì)應(yīng)的特征向量u1是信號(hào)子空間，其余m-1的特征向量組成的矩陣的噪聲子空間，如下式所示：

由于來波方位θ已知，則求解互耦向量的問題就轉(zhuǎn)化為對(duì)適應(yīng)度函數(shù)（12）式的最優(yōu)化問題，即：

粒子群優(yōu)化算法是基于群體智能進(jìn)化的計(jì)算技術(shù)，是一種基于迭代優(yōu)化工具與遺傳算法相比，它與無需編碼、選擇、變異等復(fù)雜操作，操作簡(jiǎn)單、搜索能力強(qiáng)的一組隨機(jī)解，是一個(gè)并行迭代搜索過程，通過迭代尋找最優(yōu)值。

其速度和位置迭代更新公式如下：

式中w是慣性權(quán)因子，C1和C2是學(xué)習(xí)的因素，0和1之間的均勻分布的隨機(jī)數(shù)R1和R2，D是尺寸為優(yōu)化問題，PI，J粒子本身找到最優(yōu)解，PG，H是找到最佳的解決方案的全部人口。通過不斷地更新粒子的位置和速度，得到問題的最優(yōu)解。

3.3算法步驟

至此可以給出本文算法步驟如下：

步驟1：設(shè)計(jì)學(xué)校正源信號(hào)，假設(shè)一個(gè)已知的窄帶遠(yuǎn)場(chǎng)則入射信號(hào)入射角圖1顯示均勻圓陣，設(shè)置相應(yīng)的信號(hào)噪聲比。

步驟2：根據(jù)（3）接收到的信號(hào)處理，得到的協(xié)方差矩陣，并將其分解為得到噪聲子空間的特征。

步驟3：設(shè)計(jì)粒子群優(yōu)化算法的各種參數(shù)。該算法利用基本粒子群算法，學(xué)習(xí)因子C1=C2=1，慣性權(quán)重系數(shù)w=0.729，粒子的初始種群數(shù)量的模擬設(shè)置為30，迭代次數(shù)設(shè)置為300，使用（14）為適應(yīng)度函數(shù)。

步驟4：使用粒子群優(yōu)化算法尋找最優(yōu)，直到目標(biāo)函數(shù)收斂或達(dá)到指定數(shù)目的迭代次數(shù)，搜索停止時(shí)，粒子的最終輸出找到最佳位置得到的估計(jì)值的互耦向量。

步驟5：構(gòu)造互耦矩陣，并對(duì)MUSIC譜搜索函數(shù)進(jìn)行互耦補(bǔ)償，完成陣元互耦誤差的校正。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出一種均勻圓陣中基于粒子群算法的互耦系數(shù)求解方法。該方法利用一個(gè)方位已知的校正源，基于均勻圓陣互耦矩陣的對(duì)稱Toeplitz性和子空間原理建立目標(biāo)函數(shù)，然后利用粒子群算法對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，估計(jì)得到陣元互耦向量，進(jìn)而構(gòu)造互耦誤差矩陣實(shí)現(xiàn)對(duì)MUSIC算法的互耦補(bǔ)償。計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果表明，經(jīng)過該算法校正過的MUSIC算法的性能良好，可以準(zhǔn)確估計(jì)出來波方位，從而顯示了該方法的實(shí)用性和有效性。

參考文獻(xiàn)

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