牛頓第二定律應(yīng)用典例解析

孫亞慶

物體間通過力的相互作用，交換運動，也彼此制約著對方的運動。牛頓第二定律是為它們之間相互作用，相互交換運動制定的共同遵守的法律約定合同，是它們平等運動于宇宙時空的行為準則，不得違背。牛頓第二定律是力學中進一步向能量守恒和動量守恒方向發(fā)展的基石，是物理學最為基礎(chǔ)的知識。學好它是物理學第一位的任務(wù)。

一、應(yīng)用牛頓第二定律解題的一般步驟

（1）確定研究對象，分析它的受力情況，畫出受力圖。注意不能遺漏任何一個力，又要避免重復，因為物體最終所獲得的加速度為所有外力共同作用的結(jié)果。

（2）找出所受外力的合力表達式，采用正交分解。通常其中一坐標軸選為加速度所在的方向比較容易計算。

（3）應(yīng)用牛頓第二定律列出方程，求解作答。在求解過程中，一般先進行字母運算，得出解答的一般形式，然后再代入數(shù)值進行計算，這樣不但可以減少煩瑣的數(shù)字運算，而且還能獲得題中相關(guān)量之間的變化關(guān)系。

（4）對結(jié)果在各種條件下進行討論，達到舉一反三的效果。

二、單個質(zhì)點的動力學問題

例1、一木塊能在與水平面成α角的斜面上勻速滑下，若使它以初速度v0沿此斜面向上滑動，試證它能上滑的最大距離

解：（1）先分析木塊勻速下滑的過程，木塊受重力G、彈力N，動摩擦力f，如圖1-a所示，運用正交分解有

又f=u·N

解得：

（2）用同樣的方法分析木塊的勻減速上滑過程，受力如圖1-b所示，根據(jù)牛頓第二定律得：

其中f=u·N=G·sinα

解得：a=2g·sinα（1）

由運動力學規(guī)律和（1）式得：

v02=2a·s

討論：①如果tanα=u，即斜面傾角滿足此條件式時，木塊正好能勻速下滑。

②如果tanα>u，物體將勻加速下滑。

③如果tanα

三、多個質(zhì)點構(gòu)成的物體系的動力學問題

上面討論的是單個質(zhì)點的動力學問題，但是在實際問題中，會經(jīng)常遇到幾個有相互作用力的物體系的動力學問題，這種情況一般都采用“隔離法”來求解。

所謂“隔離法”就是根據(jù)需要把研究對象從整個物體系中“隔離”出來，當作單個質(zhì)點問題審查處理。具體步驟如下：

（1）選擇“隔離體”。一般先選已知條件比較齊全的物體作為“隔離體”，后選其它的物體。

（2）根據(jù)牛頓第二定律解題的一般步驟，對每一個“隔離體”運用正交分解法列方程。

（3）如果獨立方程的個數(shù)少于未知量的個數(shù)時，要考慮相互聯(lián)系著的個體之間的作用力與反作用力的相等關(guān)系。

（4）為了解答相互聯(lián)系著的物體的動力學問題，還必須寫出由運動學條件所確定的各“隔離體”之間的加速度關(guān)系。通常情況下，各連接體的位移、速度、加速度全都相等。

例2、一條輕繩子跨過定滑輪，在輕繩子的兩端各掛有物體A、B，如圖-2示，已知mA=0.5kg，mB=0.1kg，開始時物體A離地面h=35cm。

求：（1）A物體下落的加速度大??？

（2）A物體落地時的速度大??？

（3）A物體落地后，B物體還能繼續(xù)上升多高？

解：（1）根據(jù)牛頓第二定律有：

對于A：GA-T=mA·aA①

對于B：T-GB=mB·aB②

據(jù)題意有aA=aB=a，由①+②得GA-GB=（mA+mB ）·a③

③式所表達的含義是將A和B視為一整體，內(nèi)部之間通過繩子的相互作用力已彼此抵消，運用牛頓第二定律得出的結(jié)果，即：A+B=AB.

（2）A物體拖著B物體從靜止開始勻加速下降，加速距離為h，最終得到的落地末速度為：

（3）A物體著地后，繩子失去對B的拉力，B僅受重力，開始以初速度Vt作豎直上拋運動，直至速度減為0

例3、質(zhì)量m1=4kg和m2=8kg的兩個物體，用一輕繩相連，沿著傾角為30°的斜面下滑，如圖-3示，若m1與斜面間的動摩擦因數(shù)為0.25，而m2與斜面間的動摩擦因數(shù)為0.50。

求：（1）各個物體的加速度？

（2）繩的拉力？

解：（1）由于繩的牽連，m1和m2具有相同的加速度a，可視為整體，如圖-3a示，根據(jù)牛頓第二定律有：

（m1·gsin30°+m2·gsin30°）-（m1·gcos30°u1+m2·gcos30°u2）=（m1+m2）·a

上式第一項g·sin30°為重力的分力——下滑力產(chǎn)生的沿斜面向下的加速度，后面兩項和為動摩擦力產(chǎn)生的沿斜面向上的加速度。可見每個力都對加速度有貢獻，少算或多算任何一個力都不行，因為這相當于少算或多算了它們各自對加速度的貢獻，肯定是錯的。

（2）要計算繩子的拉力，需從繩子處分割開，單獨研究m1或m2，把繩子的拉力變成它們的外力才可以。因為內(nèi)力是物體內(nèi)部各部分之間的力，彼此間抵消，對整個物體不產(chǎn)生加速度效應(yīng)。只有外來的力才一定對物體產(chǎn)生一定的加速度。

“隔離”出m1，受力如圖-3b示：

根據(jù)牛頓第二定律有：

對于連接體問題，一般先采用“整體法”求出加速度，再用“隔離法”求出彼此之間的作用力。要得出正確的結(jié)果，準確的受力分析是關(guān)鍵。

拓展思考：如果兩物體與斜面間摩擦因數(shù)相等，兩物體將如何運動？T是多大？

例4、如圖-4，A靜止于光滑的水平面上，板A與物體B質(zhì)量依次為M、m，若物體相對于水平面的初速度為v0，物體B與A板間的動摩擦因數(shù)為u，A木板長為L，B物體的長度忽略不計，求：（1）物體A和B板的加速度；（2）初速度v0滿足什么條件時，物體B最終不從A板上滑下來。

解：（1）由于A和B的加速度不相等，只能用“隔離法”單獨研究，對于A受力如圖-4a示，

對于B，受力如圖-4b示，

u·mg=m·aB

aB=u·g

很顯然彼此之間的動摩擦力雖然相等，但作用在質(zhì)量不等的兩個物體身上，各自獲得加速度并不相等。

（2）要使物體B不從A板上滑下來，必須滿足當A和B最終的速度相等再不發(fā)生相對滑動時，B在A上滑過的距離不大于L。

設(shè)它們的最終速度為V，根據(jù)題意有：

聯(lián)解得：

拓展思考：如果B在A上滑過的距離大于L，B最終能從A上滑出，A、B各自的滑出速度如何算？