數(shù)學(xué)開放題教學(xué)重在“開放”

諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者謝爾蓋·格拉肖認(rèn)為，培養(yǎng)杰出科學(xué)人才的關(guān)鍵在于“讓年輕人停止當(dāng)學(xué)生，使他們開始成為物理學(xué)研究者”。他的話從一個(gè)角度說明了當(dāng)前學(xué)校教育存在的弊端——教科書、學(xué)校及教師常常給學(xué)生設(shè)定了學(xué)習(xí)路徑和找尋正確答案的方向。隨著信息技術(shù)的飛速發(fā)展，社會(huì)形態(tài)越來越開放多元，隨時(shí)都會(huì)碰到問題，不知道問題是否能夠獲解，有時(shí)甚至不知用什么方法解決。為了幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)“學(xué)用”結(jié)合，學(xué)校教育亟須更多地開放，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)更接地氣，促進(jìn)學(xué)生更積極主動(dòng)地創(chuàng)新。學(xué)生是天生的創(chuàng)造者和探究者，從這個(gè)意義上說，以數(shù)學(xué)開放題為依托的開放課堂為學(xué)生問題解決能力的培養(yǎng)提供了另一種路徑，筆者以蘇教版義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》五年級(jí)上冊(cè)“平行四邊形面積”為例，談?wù)勛约旱膶?shí)踐與體悟。

一、 探究思路開放：猜想與實(shí)驗(yàn)的無縫對(duì)接

猜想和實(shí)驗(yàn)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的兩種重要方法。數(shù)學(xué)猜想是人們依據(jù)已有數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)用非邏輯的思維方法，憑借直覺而作出的假設(shè)和預(yù)測(cè)。它是人們探索數(shù)學(xué)規(guī)律、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的手段和策略。數(shù)學(xué)研究更需要實(shí)驗(yàn)，數(shù)學(xué)家有時(shí)通過成百上千次的實(shí)驗(yàn)、觀察、聯(lián)系、歸納、類比、猜想才發(fā)現(xiàn)一個(gè)真理，最后用特有的嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來。教科書一般都把問題背景和探索過程省略了，這就需要學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)進(jìn)行必要的“時(shí)空穿越”，以親臨其境的姿態(tài)進(jìn)行探尋。

從這個(gè)意義上說，教師應(yīng)在教學(xué)過程中為學(xué)生提供豐富的現(xiàn)實(shí)背景，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度進(jìn)行大膽猜想，并給予他們充足的自主探索、實(shí)驗(yàn)操作和合作交流時(shí)空，在問題解決過程中幫助學(xué)生積累廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)感，提高探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新能力。

課始，筆者用課件出示一個(gè)長(zhǎng)方形花壇和一個(gè)正方形花壇，問學(xué)生會(huì)算這兩幅圖形的面積嗎？因?yàn)闆]有標(biāo)出相關(guān)數(shù)據(jù)，學(xué)生無法直接解答。在得到否定回答后，教師給這兩幅圖分別覆蓋上方格圖（每個(gè)方格邊長(zhǎng)1厘米），學(xué)生很自然地就能調(diào)用原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)口答出兩幅圖的面積。這種通過數(shù)方格的方式推導(dǎo)平面圖形面積的方法為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)做了回顧、示范和鋪墊。教師接著設(shè)疑，出示一個(gè)平行四邊形，讓學(xué)生猜想一下它的面積會(huì)用怎樣的算式來計(jì)算呢？讓學(xué)生充分發(fā)表自己的觀點(diǎn)。因?yàn)槭艿介L(zhǎng)方形、正方形面積計(jì)算方法的影響，學(xué)生有可能出現(xiàn)三種不同的假設(shè)，即：6×5、6×4、5×4。教師及時(shí)抓住學(xué)生的疑惑，適時(shí)激發(fā)思考：這3種假設(shè)都正確嗎？可能有幾個(gè)正確算式？（提示：假設(shè)有可能都不對(duì)）教師指出：數(shù)學(xué)思考不能只停留在假設(shè)階段，更重要的是要尋找方法驗(yàn)證假設(shè)，并順勢(shì)板書：假設(shè)—驗(yàn)證，為本課學(xué)習(xí)歸納出第一條路徑。

這一過程從長(zhǎng)方形、正方形的面積計(jì)算方法引入，引發(fā)學(xué)生對(duì)舊知識(shí)回顧，再出示一個(gè)平行四邊形，讓學(xué)生根據(jù)自身已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)猜想，教師羅列出三種不同想法后，引導(dǎo)學(xué)生評(píng)判，從而進(jìn)一步誘發(fā)學(xué)生進(jìn)行校驗(yàn)，為學(xué)生搭建了概念學(xué)習(xí)的多元開放的探究架構(gòu)。

二、 探究過程開放：特例與歸納的內(nèi)在關(guān)聯(lián)

波利亞曾精辟地指出：“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一方面是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這個(gè)方面看，數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)，但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)，看起來卻像是一門試驗(yàn)性的歸納科學(xué)?！闭\哉斯言，數(shù)學(xué)不是一門實(shí)驗(yàn)性的科學(xué)，故而在學(xué)習(xí)過程中不能將觀察到的結(jié)果、實(shí)驗(yàn)性的驗(yàn)證作為判斷數(shù)學(xué)命題真假的充分依據(jù)，但實(shí)驗(yàn)對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)及探求數(shù)學(xué)問題的解決思路起著重要作用。正如歐拉所言：“數(shù)學(xué)這門學(xué)科，需要觀察，也需要實(shí)驗(yàn)?！?/p>

受長(zhǎng)方形面積計(jì)算方法的定勢(shì)和干擾，不少學(xué)生認(rèn)為平行四邊形的面積等于相鄰兩條邊的乘積，這是學(xué)生認(rèn)知中最大的障礙。為了突破這個(gè)難點(diǎn)，執(zhí)教者對(duì)教科書進(jìn)行了大膽重組，讓學(xué)生放開手腳在猜想驗(yàn)證中自主探索，體現(xiàn)研究思路多元，研究方法開放。在學(xué)生猜想同一個(gè)平行四邊形有三種不同的計(jì)算方法后，及時(shí)組織師生互動(dòng)，讓學(xué)生通過反思認(rèn)識(shí)到這三種假設(shè)有可能一個(gè)都不對(duì)，也有可能只對(duì)一個(gè)。正所謂不憤不啟，學(xué)生身處思維的困頓之中，教師啟發(fā)、點(diǎn)撥學(xué)生可以用數(shù)方格的方法嘗試實(shí)驗(yàn)。

師生合作用邊長(zhǎng)1厘米的小正方形鋪一鋪，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)圖2中用20個(gè)完全一樣的小正方形一個(gè)一個(gè)地鋪平行四邊形，無法鋪滿整個(gè)平行四邊形，即平行四邊形的面積比20cm2大。因此，5×4=20cm2是錯(cuò)誤的。繼續(xù)用小正方形鋪，如圖3所示鋪上28個(gè)小正方形時(shí)，就會(huì)超出平行四邊形，也就是說平行四邊形的面積小于28cm2，故5×6=30 cm2也是錯(cuò)誤的。剩下的假設(shè)——6×4=24cm2就一定正確嗎？教師放手學(xué)生繼續(xù)猜測(cè)。師生合作、討論，尋找問題解決的辦法，教師注意搜集整理學(xué)生想法，誘發(fā)學(xué)生思考，揭示轉(zhuǎn)化策略，并和學(xué)生一道借助課件演示嘗試通過剪、拼的方式，把圖中多余部分平移、擦去后（圖4），學(xué)生發(fā)現(xiàn)平行四邊形的面積恰好是6×4=24cm2。教師適時(shí)與學(xué)生一起回顧6cm、4cm分別在圖形中所擔(dān)負(fù)的角色——它們分別為一組對(duì)應(yīng)的底和高，從而概括出平行四邊形的面積=底×高。到這兒似乎大功告成了，殊不知這個(gè)實(shí)驗(yàn)僅是一個(gè)個(gè)例，這個(gè)計(jì)算公式是否具有普適性，還需要進(jìn)一步證明。拉普拉斯：“在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類比?！睔w納和類比環(huán)節(jié)在過往的教學(xué)實(shí)踐中常常被忽略。為了幫助學(xué)生親歷學(xué)習(xí)的整體過程，自覺經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生過程，筆者在教學(xué)時(shí)還設(shè)計(jì)了歸納、類比的環(huán)節(jié)，與上述猜、想實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)遙相呼應(yīng)，以數(shù)學(xué)的姿態(tài)逼近問題本質(zhì)。

第一層次：思想滲透。出示圖5，學(xué)生猜測(cè)后教師啟發(fā)方法，課件演示驗(yàn)證，將學(xué)生懵懂的表象認(rèn)知轉(zhuǎn)化為清清晰的認(rèn)知，即：把不規(guī)則圖形通過剪、移、拼，轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，面積不變。

第二層次：數(shù)據(jù)實(shí)證。操作實(shí)驗(yàn)時(shí)，學(xué)生通過小組合作把一個(gè)平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形。教師給出活動(dòng)小貼士：

選一選：從信封中任意選擇一個(gè)平行四邊形。

說一說：小聲商量一下，我們小組準(zhǔn)備怎樣轉(zhuǎn)化。

動(dòng)動(dòng)手：兩人一組，剪一剪、移一移、拼一拼，我們有什么發(fā)現(xiàn)？

小組活動(dòng)后展示交流，重點(diǎn)呈現(xiàn)同一圖形不同小組不同的剪法，凸顯轉(zhuǎn)化效果相同，即通過剪、移、拼，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成了長(zhǎng)方形。讓學(xué)生感悟開普勒的言論：數(shù)學(xué)就是研究千變?nèi)f化中不變的關(guān)系。自然過渡到數(shù)據(jù)整理階段，因?yàn)榻處熓孪忍峁┝?種不同的平行四邊形，小組合作輕松完成表格的填寫（表1）。對(duì)照表格中的數(shù)據(jù)，討論并回答教科書第8頁的三個(gè)思考題，從眾多的事實(shí)中通過不完全歸納得出平行四邊形的面積計(jì)算方法。

這樣，通過實(shí)證的教學(xué)模式，引導(dǎo)學(xué)生參與猜測(cè)、動(dòng)手操作、收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)的全過程，使學(xué)生在親身體驗(yàn)和思考過程中，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、建構(gòu)知識(shí)，逐漸學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察身邊的事實(shí)，從層層遞進(jìn)中追根溯源，不斷釋疑明理，讓數(shù)學(xué)知識(shí)以科學(xué)的形態(tài)出現(xiàn)，讓學(xué)生在開放探究中深刻感悟到知識(shí)本質(zhì)，體驗(yàn)到探索與發(fā)現(xiàn)的快樂，初步懂得孤證不一定為假，多證不一定為真的道理，最終實(shí)現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)習(xí)得、基本技能練習(xí)、數(shù)學(xué)思想方法滲透、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累的有機(jī)達(dá)成。

三、 練習(xí)視角開放：傳統(tǒng)與創(chuàng)生的有機(jī)結(jié)合

蘇步青先生認(rèn)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要多做習(xí)題，邊做邊思索；先知其然，然后知其所以然。從這個(gè)角度看，基本知識(shí)習(xí)得、基本技能訓(xùn)練、基本思想方法內(nèi)化、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的反芻需要恰到好處的、適當(dāng)?shù)?、開放性的練習(xí)。傳統(tǒng)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明：新知識(shí)鞏固的最佳路徑是從不同維度設(shè)計(jì)指向性問題。一道好題的價(jià)值之一就在于它能產(chǎn)生其他一些好題，數(shù)學(xué)開放題作為一種答案不惟一的習(xí)題，自上世紀(jì)70年代出現(xiàn)后一直方興未艾，日常數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中滲透開放題能有效撬動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考模式，打開別樣思路，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展，特別是學(xué)生的創(chuàng)造性思維培養(yǎng)。

基于這樣的考量，筆者設(shè)計(jì)了三個(gè)層次的練習(xí)，即基本練習(xí)、變式練習(xí)和開放練習(xí)。在基本練習(xí)中增添變式的介入，從對(duì)第三個(gè)平行四邊形面積的正確計(jì)算中強(qiáng)化平行四邊形面積等于對(duì)應(yīng)底乘對(duì)應(yīng)高，全面透徹地掌握基本概念。

在變式練習(xí)中設(shè)計(jì)一個(gè)操作活動(dòng)，將長(zhǎng)方形木框通過拉動(dòng)變形為平行四邊形，給學(xué)生提供了另一扇觀察變與不變的“窗戶”。辨析中從另一個(gè)維度再次證明平行四邊形的面積≠相鄰兩條邊的乘積，強(qiáng)化教學(xué)難點(diǎn)認(rèn)知。直觀再現(xiàn)拉動(dòng)前后周長(zhǎng)不變、面積變小的事實(shí)，給學(xué)生充分表達(dá)自我感受及見解的機(jī)會(huì)，提供課件演示讓模糊的感知變得更清晰，從而明晰兩者變與不變的內(nèi)在聯(lián)系。

開放練習(xí)是本課設(shè)計(jì)的亮點(diǎn)之一，根據(jù)教科書編制特點(diǎn)及對(duì)教學(xué)重難點(diǎn)的理解，將傳統(tǒng)數(shù)學(xué)習(xí)題改變問題呈現(xiàn)方式——“變封為開”，設(shè)計(jì)了“在方格圖上畫一個(gè)面積為12平方厘米的平行四邊形”的練習(xí)題，以期通過綜合開放題的練習(xí)實(shí)現(xiàn)對(duì)教學(xué)難點(diǎn)的深入突破。在日常數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中植入開放題元素，努力實(shí)現(xiàn)開放題教學(xué)與常態(tài)課堂教學(xué)的有機(jī)融合，這是一個(gè)頗具挑戰(zhàn)性的問題，對(duì)學(xué)生空間想象力、發(fā)散思維能力的要求較高，成為本課中學(xué)生數(shù)學(xué)思維深化的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。學(xué)生在四年級(jí)時(shí)已有畫平行四邊形的經(jīng)驗(yàn)，問題解決中的主要挑戰(zhàn)來自于對(duì)等底等高平行四邊形的理解不夠熟練，囿于長(zhǎng)方形的長(zhǎng)期刺激所帶來的底和高對(duì)應(yīng)相等的平行四邊形的認(rèn)知局限等，限制了解決方案的數(shù)量。在這一過程中，學(xué)生的獨(dú)立思考、小組的合作討論、教師的適當(dāng)點(diǎn)撥、師生的互動(dòng)交流都能為豐富問題答案的呈現(xiàn)錦上添花，從而引導(dǎo)學(xué)生就某一底和高畫出不同的平行四邊形，也可從不同的底和高畫出更為豐富的平行四邊形。這樣把數(shù)學(xué)開放題引入常態(tài)課堂教學(xué)，不僅為封閉的數(shù)學(xué)習(xí)題系統(tǒng)注入了一池活水，還可以更大力度地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力，進(jìn)一步增強(qiáng)數(shù)學(xué)課堂的親和度和時(shí)代色彩。

總之，從開放題到開放教學(xué)，不僅是研究的深化，也是一種時(shí)代趨勢(shì)，更是一次前瞻轉(zhuǎn)型。以開放課堂牽引學(xué)生能力向縱深發(fā)展，破解學(xué)生能力培養(yǎng)方式的瓶頸，以數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升為有效出發(fā)點(diǎn)及落腳點(diǎn)，能更好地致力于學(xué)生的健康、快樂成長(zhǎng)。

參考文獻(xiàn)

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【責(zé)任編輯：陳國慶】