排列組合的一題多解

劉小朋+陳雪宏

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2016）04-0218-01

問題：有數(shù)字1，2，3，4可組成多少個恰有兩個重復(fù)數(shù)字的不同的三位數(shù)？

這道排列組合的題一般有兩種不同的思路：一是正向思維，二是逆向思維，所以也就決定了常規(guī)的解法只有兩種。

解法一：把符合條件的三位數(shù)分成三類：個位數(shù)與十位數(shù)重復(fù)；個位數(shù)與百位數(shù)重復(fù)；十位數(shù)與百位數(shù)重復(fù)。每一步均要兩步，第一步確定重復(fù)的數(shù)字，有4種不同的方法，第二歩確定另一個數(shù)字，有三種不同的方法，所以共有43+43+43=36（個）

解法二：由1、2、3、4組成的不同的三位數(shù)可分為三類：沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)；恰有兩個重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)；三個數(shù)字都重復(fù)的三位數(shù)。第一類沒有重復(fù)的數(shù)字有43=24，第二類三個數(shù)字都重復(fù)的三位數(shù)有4個，所以恰有兩個數(shù)字重復(fù)的三位數(shù)共有64-24-4=36

解法三：先從4個數(shù)中選出兩個數(shù)字共有種，再從選中的兩個數(shù)中確定一個重復(fù)的數(shù)字有種，然后，這三個數(shù)字全排種，如被選的重復(fù)數(shù)字是a=b，不重復(fù)的是c，則它排成的三位數(shù)是：abc，acb，bac，bca，cba，cab.我們可以看到得到的這三位數(shù)剛好重復(fù)了2次。

所以，根據(jù)分布計數(shù)原理，可選數(shù)字共有兩種，再從選中的兩個數(shù)中確定一個重復(fù)的數(shù)字恰有兩位重復(fù)的數(shù)字有：。我稱這種方法叫做：實踐歸納法

解法四：先從4個數(shù)中選出兩個數(shù)，再從選中的兩個數(shù)中選一個數(shù)有種，如被選的重復(fù)數(shù)字是a，不重復(fù)的是b，如圖插空法b的填法就有三種不同的方法：

所以恰有兩位重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有（個）

其實第四種方法還可以推廣到有n個數(shù)字，其中有k（n>=k）個數(shù)字重復(fù)的情況，但是這種情況非常復(fù)雜，在高中研究是沒有什么作用的。因此，在這里就不再深入了。