一種融合無(wú)時(shí)滯測(cè)量值和含時(shí)滯測(cè)量值的狀態(tài)估計(jì)方法

王金萍，趙忠蓋，劉飛（江南大學(xué)輕工過(guò)程先進(jìn)控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無(wú)錫 214122）

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一種融合無(wú)時(shí)滯測(cè)量值和含時(shí)滯測(cè)量值的狀態(tài)估計(jì)方法

王金萍，趙忠蓋，劉飛
（江南大學(xué)輕工過(guò)程先進(jìn)控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無(wú)錫 214122）

摘要：在很多工業(yè)過(guò)程中，常?？色@得兩種測(cè)量數(shù)據(jù)，無(wú)時(shí)滯測(cè)量值和含時(shí)滯測(cè)量值，其中，無(wú)時(shí)滯測(cè)量值直接由傳感器在線測(cè)得，即時(shí)卻精度較低，含時(shí)滯測(cè)量值通過(guò)人工實(shí)驗(yàn)分析離線得到，精度高卻有時(shí)滯。引入狀態(tài)增廣卡爾曼濾波法對(duì)上述兩種數(shù)據(jù)進(jìn)行融合以估計(jì)當(dāng)前狀態(tài)值?？紤]到無(wú)時(shí)滯測(cè)量值建立的在線軟測(cè)量模型存在不可避免的模型不匹配問(wèn)題，引入模型偏差作為待估計(jì)狀態(tài)，通過(guò)離線測(cè)量值對(duì)其進(jìn)行估計(jì)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)在線軟測(cè)量模型的校正。最后將所提方法運(yùn)用到線性化的非線性二元蒸餾塔模型中估計(jì)填料壓板各成分濃度，取得了良好效果。

關(guān)鍵詞：時(shí)滯；狀態(tài)增廣卡爾曼濾波；測(cè)量模型；校正；蒸餾塔

2015-12-11收到初稿，2015-12-21收到修改稿。

聯(lián)系人：趙忠蓋。第一作者：王金萍（1989—），女，碩士研究生。

引 言

很多工業(yè)過(guò)程中，通?？色@得在線測(cè)量值和離線測(cè)量值。在不同工業(yè)過(guò)程中，在線測(cè)量值和離線測(cè)量值所代表的意義、精度和實(shí)時(shí)性也不同。在線測(cè)量值可分為兩種，直接在線測(cè)量值，如常規(guī)變量流量、液位等，和可通過(guò)間接計(jì)算得到的變量，即間接在線測(cè)量值，如濃度或成分，直接測(cè)量會(huì)有些困難，可以通過(guò)在線分析儀進(jìn)行測(cè)量，但是會(huì)有一定時(shí)間的滯后，還可以通過(guò)測(cè)量溫度、流量等間接變量，建立軟測(cè)量模型，計(jì)算得到所需要測(cè)量的變量[1-3]。本文所指在線測(cè)量值即為無(wú)時(shí)滯的間接在線測(cè)量值，通過(guò)建立軟測(cè)量模型計(jì)算得到所需要測(cè)量的變量。這類在線測(cè)量值由傳感器檢測(cè)得到，有規(guī)律、采樣周期小且無(wú)時(shí)滯，但是測(cè)量精度較低。離線測(cè)量值無(wú)法由傳感器直接檢測(cè)，需要通過(guò)人工檢測(cè)分析得到，無(wú)規(guī)律、采樣周期大且含時(shí)滯，測(cè)量精度較高。例如，在蒸餾塔中，蒸餾物和底物的成分經(jīng)常需要實(shí)驗(yàn)分析才能得到，而填料壓板的溫度則可以通過(guò)傳感器直接測(cè)量得到[4-5]。雖然蒸餾物和底物的成分也可以通過(guò)填料壓板的溫度間接估計(jì)，但估計(jì)值通常會(huì)受到模型誤差、傳感器偏差或者非模型干擾等問(wèn)題的影響，得到的估計(jì)值效果不好，而離線分析得到的測(cè)量值更為準(zhǔn)確但含有滯后，主要由采樣產(chǎn)生的時(shí)間滯后與人工檢測(cè)分析產(chǎn)生的化驗(yàn)滯后組成。在這種情況下，針對(duì)兩種測(cè)量值進(jìn)行融合以得到精確度更高的狀態(tài)值已成為焦點(diǎn)問(wèn)題。在工業(yè)過(guò)程中，常常存在無(wú)法在線測(cè)量的關(guān)鍵變量，可以建立軟測(cè)量模型利用一些可直接測(cè)量的輔助變量進(jìn)行計(jì)算。卡爾曼濾波法已成為現(xiàn)今工業(yè)過(guò)程中應(yīng)用最廣泛的狀態(tài)估計(jì)方法[6]，然而，簡(jiǎn)單的卡爾曼濾波器公式只能應(yīng)用于沒(méi)有延時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)。

對(duì)于含滯后的測(cè)量值，Alexander[7]提出了一種序列化處理時(shí)滯測(cè)量值的方法，該方法利用滯后測(cè)量值對(duì)濾波器的估計(jì)進(jìn)行修正，Larsen等[8]對(duì)上述方法進(jìn)行了擴(kuò)展與延伸，該方法可以解決采樣的滯后測(cè)量值測(cè)量誤差協(xié)方差不確定的情況。含滯后的多采樣率估計(jì)值也經(jīng)常會(huì)用狀態(tài)增廣來(lái)處理。Gudi 等[9-10]在發(fā)酵過(guò)程的生物反應(yīng)器中應(yīng)用了帶延遲測(cè)量值的多采樣率狀態(tài)估計(jì)技術(shù)。在過(guò)程系統(tǒng)中，狀態(tài)增廣卡爾曼濾波算法[11]只是進(jìn)行了簡(jiǎn)單的狀態(tài)增廣，增益矩陣進(jìn)行相應(yīng)改變，即可轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)空間模型，實(shí)現(xiàn)比較簡(jiǎn)單。

但是，軟測(cè)量模型存在不可避免的模型不匹配，即存在模型偏差，需要對(duì)在線軟測(cè)量模型進(jìn)行校正[12]。Shao等[13]和Deng等[14]分別介紹了用貝葉斯方法和期望最大化法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行校正，彭小奇等[15]提出構(gòu)建軟測(cè)量模型性能評(píng)價(jià)指標(biāo)來(lái)判斷是否需要校正并根據(jù)情況進(jìn)行自適應(yīng)校正，但是這類方法僅能用于無(wú)延時(shí)模型的校正。

本文考慮離線采樣間隔存在無(wú)規(guī)律性，首先利用狀態(tài)增廣卡爾曼濾波算法將無(wú)時(shí)滯測(cè)量值與含時(shí)滯測(cè)量值進(jìn)行融合，估計(jì)當(dāng)前狀態(tài)值，并在狀態(tài)增廣卡爾曼濾波算法的基礎(chǔ)上，在離線測(cè)量值到達(dá)后對(duì)在線軟測(cè)量模型進(jìn)行校正，得到更為精確的軟測(cè)量模型，以降低模型不匹配對(duì)估計(jì)值的不利影響。

1 狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題描述

本章節(jié)首先對(duì)離散線性系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波器進(jìn)行描述，然后對(duì)含有在線測(cè)量值和含滯后的離線測(cè)量值的狀態(tài)空間模型進(jìn)行描述及分析。

1.1 標(biāo)準(zhǔn)卡爾曼濾波

離散線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型如下

式中，Pk、Kk分別為狀態(tài)誤差協(xié)方差和卡爾曼濾波增益。

1.2 含滯后狀態(tài)空間模型

圖1 含時(shí)滯測(cè)量值的系統(tǒng)Fig.1 System with measurements with time delay

在線測(cè)量值與含滯后離線測(cè)量值測(cè)量時(shí)間與測(cè)量到達(dá)時(shí)間的關(guān)系如圖1所示。其中，k為當(dāng)前測(cè)量時(shí)間，表示在線測(cè)量值，表示離線測(cè)量值，，s表示離線采樣時(shí)間。在線測(cè)量值沒(méi)有滯后且采樣周期小，使用垂直箭頭表示。離線測(cè)量值在s時(shí)刻采樣后，需進(jìn)行人工實(shí)驗(yàn)分析，化驗(yàn)結(jié)果經(jīng)過(guò)ds個(gè)采樣間隔才能獲得，使用虛線箭頭表示，且離線測(cè)量值的采樣周期大，在s時(shí)刻采樣后，下一個(gè)采樣點(diǎn)為s+ ms，ms為兩個(gè)離線采樣點(diǎn)的間隔數(shù)量。由于離線采樣不規(guī)律，即ms為不定值，且采樣之后要經(jīng)過(guò)人工實(shí)驗(yàn)分析才能得到，即ds也為不定值。通常只有在線測(cè)量值的時(shí)刻稱為次要時(shí)刻，在線測(cè)量值與離線測(cè)量值同時(shí)到達(dá)的時(shí)刻稱為主要時(shí)刻[4]。

由圖1中測(cè)量時(shí)間與測(cè)量達(dá)到時(shí)間的關(guān)系，可以得到含時(shí)滯測(cè)量值的狀態(tài)空間模型

由于模型中含有時(shí)滯，無(wú)法直接利用式（3）～式（7）進(jìn)行計(jì)算，而狀態(tài)增廣卡爾曼算法則可通過(guò)對(duì)狀態(tài)的增廣，將模型式（8）～式（10）轉(zhuǎn)化成模型式（1）～式（2）的形式，即可直接利用式（3）～式（7）進(jìn)行計(jì)算，估計(jì)出當(dāng)前狀態(tài)值，方法簡(jiǎn)便，應(yīng)用性強(qiáng)。

2 含時(shí)滯的狀態(tài)估計(jì)

本文進(jìn)行含時(shí)滯的狀態(tài)估計(jì)所用方法為狀態(tài)增廣卡爾曼濾波算法。滯后的離線測(cè)量值不僅影響著它本身采樣點(diǎn)s時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)值，還影響了s時(shí)刻之后一直到s+ ds時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)值，將離線測(cè)量值到達(dá)時(shí)的狀態(tài)設(shè)為當(dāng)前時(shí)刻和過(guò)去ds個(gè)狀態(tài)的增廣，狀態(tài)增廣向量為

增廣狀態(tài)空間模型為

其中

上述狀態(tài)空間模型已經(jīng)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)的狀態(tài)空間模型，可以直接用卡爾曼濾波公式[式（3）～式（7）]進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)，可以得到估計(jì)值為

實(shí)際操作中，離線測(cè)量值是需要經(jīng)過(guò)人工實(shí)驗(yàn)分析才能得到，操作時(shí)間具有不確定性，即離線測(cè)量值的滯后時(shí)間不確定，采用可能產(chǎn)生的最大滯后時(shí)間dmax來(lái)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行增廣，而一旦測(cè)量值得到之后ds也就確定了，，測(cè)量方程也能隨之作相應(yīng)調(diào)整。本方法最大優(yōu)點(diǎn)為，將狀態(tài)矩陣及其他增益矩陣做了相應(yīng)增廣之后就能使用標(biāo)準(zhǔn)的卡爾曼公式進(jìn)行計(jì)算。

3 在線模型校正

本章節(jié)描述因在線軟測(cè)量模型所存在的不可避免的模型誤差對(duì)狀態(tài)估計(jì)值的不利影響，本文提出利用離線測(cè)量值對(duì)在線軟測(cè)量模型進(jìn)行校正的方法。

3.1 在線模型校正的必要性

在工業(yè)過(guò)程中，常常存在一些無(wú)法用傳感器直接測(cè)得的變量，如某種物質(zhì)的濃度或組成，因此需要借助一些傳感器可直接測(cè)量的變量，即輔助變量，如溫度、壓力、流量、溶氧量或pH等，通過(guò)建立相對(duì)應(yīng)的軟測(cè)量模型來(lái)間接獲得。然而，所建立的軟測(cè)量模型會(huì)存在無(wú)法避免的模型誤差，且會(huì)隨著生產(chǎn)過(guò)程的進(jìn)行而不斷發(fā)生變化，下面通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單示例展示一下當(dāng)存在模型誤差時(shí)，所得到估計(jì)狀態(tài)的結(jié)果。

有狀態(tài)空間模型如下

模型偏差未知，進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)時(shí)仍然采用模型(16)，從而得到狀態(tài)真實(shí)值與估計(jì)值結(jié)果如圖2所示。

從圖2可以看出，模型偏差的存在，使所求狀態(tài)真實(shí)值與估計(jì)值之間的差距逐漸加大，需要對(duì)軟測(cè)量模型進(jìn)行適時(shí)的校正，以得到更好的估計(jì)結(jié)果。

3.2 在線模型校正

由3.1節(jié)可知，為降低因模型偏差所帶來(lái)的不利影響，需要對(duì)在線模型進(jìn)行適時(shí)的校正，而在本文所介紹的模型中，校正所包含的測(cè)量信息包括在線測(cè)量值和離線實(shí)驗(yàn)分析數(shù)據(jù)。而離線分析數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性更高，當(dāng)離線實(shí)驗(yàn)分析數(shù)據(jù)得到之后，再對(duì)在線軟測(cè)量模型進(jìn)行校正。模型偏差項(xiàng)bk未知且不斷變化，也作為待估計(jì)的狀態(tài)出現(xiàn)，且只有當(dāng)離線實(shí)驗(yàn)分析數(shù)據(jù)到達(dá)之后再對(duì)bk進(jìn)行校正，bk只有在到達(dá)的時(shí)刻才作為待估計(jì)的狀態(tài)出現(xiàn)，而在只有在線測(cè)量值的時(shí)候作為常量進(jìn)行計(jì)算，在線模型校正與離線數(shù)據(jù)滯后并存的狀態(tài)空間模型如式（18）～式（21）

圖2 模型存在偏差時(shí)的估計(jì)效果Fig.2 Estimation effects when model has deviation

其狀態(tài)空間模型如下

其中

然而，離線測(cè)量值帶有一定的滯后，bk能否可觀測(cè)到仍存有疑問(wèn)，因此首先需要對(duì)系統(tǒng)的能觀性進(jìn)行判斷，如系統(tǒng)完全可觀，即xk與bk均可觀，則可對(duì)在線測(cè)量模型進(jìn)行校正，否則將無(wú)法進(jìn)行校正。

對(duì)標(biāo)準(zhǔn)模型即式（1）、式（2），x完全能觀的充要條件是nm×n矩陣

的秩為n[17]，N為能觀性矩陣。

對(duì)在線模型較真與離線數(shù)據(jù)滯后并存的狀態(tài)空間模型，即式（18）～式（21），其變換后的標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)空間模型為式（23）～式（24），，完全能觀的充要條件為[(n+ m )×1矩陣

若

4 實(shí)例仿真

在這部分，將引用兩個(gè)例子來(lái)說(shuō)明本文介紹方法的優(yōu)點(diǎn)，一個(gè)是對(duì)3.1節(jié)中所介紹的模型進(jìn)行校正后的估計(jì)效果，另一個(gè)是采用線性化的非線性二元蒸餾塔模型[2]。蒸餾塔模型分為兩種情況進(jìn)行仿真，一種是不考慮模型偏差，直接利用狀態(tài)增廣卡爾曼濾波法進(jìn)行估計(jì)，另一種是考慮模型偏差，對(duì)在線模型進(jìn)行校正。

4.1 數(shù)字算例仿真

由3.1節(jié)可以知道，模型偏差的存在，狀態(tài)真實(shí)值與估計(jì)值間的差距較大，現(xiàn)采用3.2節(jié)中所介紹的方法對(duì)在線模型進(jìn)行校正，引入模型偏差bk，其噪聲的協(xié)方差Qb較大，設(shè)定為Qb= I，校正后的估計(jì)效果如圖3所示。

由圖3可以看出，校正后的估計(jì)值更加接近真實(shí)值，校正后估計(jì)效果改善較多。通常可以采用均方根誤差值(RMSE)來(lái)評(píng)判方法的有效性。無(wú)校正與校正后估計(jì)值與真實(shí)值的均方根誤差值分別為RMSE1和RMSE2，如表1所示。由表1可以更客觀地看出利用離線測(cè)量值對(duì)在線測(cè)量模型進(jìn)行校正后估計(jì)效果更加良好。

4.2 蒸餾塔模型仿真

圖3 模型校正后的估計(jì)效果Fig.3 Estimation effects after online model is corrected

表1 在線模型無(wú)校正與有校正的RMSE值Table 1 RMSE values of online model with no correctionand after correction

圖4 多采樣率數(shù)據(jù)狀態(tài)估計(jì)Fig.4 State estimations with multiple sampling rates

首先只考慮不需要進(jìn)行校正的情況，這時(shí)有兩種情況，即只有在線檢測(cè)值進(jìn)行估計(jì)及考慮在線檢測(cè)值、含滯后的離線分析數(shù)據(jù)共同作用的情況。假設(shè)樣本總數(shù)為100，而離線采樣點(diǎn)間隔為ms=6，滯后時(shí)間ds=5，其仿真效果如圖4所示。

由圖4可看出，當(dāng)只有在線測(cè)量值時(shí)，估計(jì)值在30個(gè)樣本點(diǎn)之后才接近真實(shí)值，而明顯地，在線測(cè)量值和含滯后的離線分析值共同作用時(shí)，估計(jì)值會(huì)更快地接近真實(shí)值。

同樣采用RMSE來(lái)評(píng)判所采用方法的有效性。RMSE3表示只有在線測(cè)量值進(jìn)行估計(jì)時(shí)，估計(jì)值與真實(shí)值之間的均方根誤差，RMSE4表示在線測(cè)量值與離線分析值共同估計(jì)時(shí)估計(jì)值與真實(shí)值之間的均方根誤差。根據(jù)采樣間隔和滯后時(shí)間的不同，分為3組進(jìn)行比較，分別是，、和、，其RMSE如表2所示。

表2 多采樣率狀態(tài)估計(jì)RMSE值Table 2 RMSE values of state estimation with multiple sampling rates

由表2可以看出，使用更為精確的離線分析值進(jìn)行估計(jì)顯然比只有在線測(cè)量值估計(jì)的效果要好，而采樣間隔和滯后時(shí)間越小，估計(jì)結(jié)果越好，且采樣間隔對(duì)估計(jì)結(jié)果的影響比滯后時(shí)間對(duì)估計(jì)結(jié)果的影響要小。

現(xiàn)在來(lái)考慮需要校正的情況。首先應(yīng)判斷xk與是否可觀測(cè)，由式（30）～式（32）可知，n =4，，假定則根據(jù)式（27）可計(jì)算出能觀性矩陣N（由于空間問(wèn)題，此處簡(jiǎn)略），經(jīng)判斷，N的秩為36，xk與bk是可觀測(cè)的，可以對(duì)在線模型進(jìn)行校正。

利用3.2節(jié)中所述校正方法進(jìn)行校正，此時(shí)，偏差項(xiàng)bk的噪聲的協(xié)方差較大，設(shè)定為Qb= I，仿真結(jié)果如圖5所示。由圖5可以看出，當(dāng)沒(méi)有進(jìn)行校正時(shí)，估計(jì)值會(huì)逐漸偏離真實(shí)值，進(jìn)行校正后，估計(jì)值會(huì)基本接近真實(shí)值。

圖5 帶校正多采樣率狀態(tài)估計(jì)Fig.5 State estimations with multiple sampling rates after correction

同樣用RMSE來(lái)評(píng)判校正的效果，并采用3組不同的采樣間隔和滯后時(shí)間進(jìn)行比較，RMSE5和RMSE6分別表示無(wú)校正和有校正的均方根誤差。其RMSE如表3所示。由表3可知，校正后的效果明顯比沒(méi)有校正的效果好，但相比于表2可知，由于不是每時(shí)每刻都在校正，其相應(yīng)的RMSE要比沒(méi)有偏差的時(shí)候稍大。其采樣間隔和滯后時(shí)間對(duì)RMSE的影響同上述不需要進(jìn)行校正的情況相同，在此不多贅述。

表3 帶校正多采樣率狀態(tài)估計(jì)RMSE值Table 3 RMSE values of state estimation with multiple sampling rates after correction

離線測(cè)量值不僅含有時(shí)滯，其采樣也無(wú)規(guī)律，采樣周期遠(yuǎn)大于在線測(cè)量值。離線取樣由操作人員手工完成，其采樣間隔受操作人員的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)和過(guò)程的運(yùn)行狀況決定。在有些運(yùn)行階段，過(guò)程狀態(tài)變化小，離線取樣間隔往往較大，而在過(guò)程狀態(tài)變化較大的階段，取樣周期通常較小。此外，不同操作人員的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)存在差異，他們對(duì)過(guò)程運(yùn)行狀態(tài)判斷有所不同。但是本文提出的算法考慮分有離線采樣數(shù)據(jù)和無(wú)離線采樣數(shù)據(jù)兩種情況設(shè)計(jì)，離線取樣的間隔僅對(duì)估計(jì)結(jié)果存在影響，采樣間隔小的時(shí)段估計(jì)結(jié)果較好，采樣間隔大的時(shí)段估計(jì)結(jié)果較差。

5 結(jié) 論

本文描述了利用狀態(tài)增廣卡爾曼濾波法對(duì)在線測(cè)量值和離線測(cè)量值進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)的方法，其中在線測(cè)量值為有規(guī)律、采樣周期小且無(wú)時(shí)滯的，離線測(cè)量值為無(wú)規(guī)律、采樣周期大且含有一定時(shí)滯的，并由于模型建立的不匹配及生產(chǎn)過(guò)程中產(chǎn)生的模型偏差會(huì)對(duì)狀態(tài)的估計(jì)有不利影響，利用離線測(cè)量值對(duì)在線軟測(cè)量模型進(jìn)行校正。通過(guò)對(duì)蒸餾塔模型的仿真驗(yàn)證了所采用方法的有效性，并根據(jù)采樣間隔和滯后時(shí)間不同所進(jìn)行的仿真結(jié)果比較得知，采樣間隔和滯后時(shí)間越小，估計(jì)和校正效果越好，且采樣間隔對(duì)估計(jì)結(jié)果的影響比滯后時(shí)間對(duì)估計(jì)和校正效果的影響要小。

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研究論文

Received date: 2015-12-11.

Foundation item: supported by the National Natural Science Foundation of China (61573169, 61134007).

State estimation approach by incorporating measurements with delay-free and time delay

WANG Jinping, ZHAO Zhonggai, LIU Fei
(Key Laboratory of Advanced Process Control for Light Industry, Ministry of Education, Jiangnan University, Wuxi 214122, Jiangsu, China)

Abstract:In many industrial processes, in addition to the online measurements with delay-free and low inaccuracy, there exist delayed measurements accurately obtained by laboratory analysis. The augmented state Kalman filter is employed to estimate the state by incorporating both the delayed and the delay-free measurements. To overcome the model-plant mismatch of the online soft-sensor model built by the delay-free measurements, the model deviation is employed to update the soft-sensor model. To follow the model drift, the model deviation is treated as a state, and it will be estimated when the offline measurements arrive. In the end the proposed method is used to estimate the tray compositions in the linearized nonlinear binary distillation column model and obtains good results.

Key words:time delays; augmented Kalman filter; measurement model; update; distillation column

DOI：10.11949/j.issn.0438-1157.20151885

中圖分類號(hào)：TN 713.3；TP 274.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：0438—1157（2016）03—0940—07

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61573169）；國(guó)家自然科學(xué)重點(diǎn)基金項(xiàng)目（61134007）。

Corresponding author:Prof. ZHAO Zhonggai, gaizihao@jiangnan.edu.cn