基于主成分分析的函數(shù)型產(chǎn)品質(zhì)量特性的優(yōu)化方法研究

許　靜, 何　楨, 陳喆芝, 袁　蓉

(天津大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部, 天津 300072)

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基于主成分分析的函數(shù)型產(chǎn)品質(zhì)量特性的優(yōu)化方法研究

許靜, 何楨, 陳喆芝, 袁蓉

(天津大學(xué) 管理與經(jīng)濟(jì)學(xué)部, 天津 300072)

摘要：針對(duì)質(zhì)量特性為輪廓(Profile)的輸出響應(yīng)的優(yōu)化問題展開研究，提出一種基于主成分分析的雙響應(yīng)曲面法和滿意度函數(shù)相結(jié)合的函數(shù)響應(yīng)優(yōu)化方法。將Profile的每個(gè)觀測(cè)點(diǎn)看成一個(gè)獨(dú)立響應(yīng)，將Profile問題轉(zhuǎn)化為多響應(yīng)問題。求得多個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的均值和方差的滿意度函數(shù)值，通過主成分分析法，將多個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的均值和方差的滿意度函數(shù)值轉(zhuǎn)化為主成分綜合得分，并將這兩者的加權(quán)和作為最終的優(yōu)化指標(biāo)。本文所提方法可以有效解決觀測(cè)點(diǎn)之間存在的相關(guān)性的問題，并且優(yōu)化過程同時(shí)考慮到每個(gè)觀測(cè)點(diǎn)響應(yīng)的均值和方差影響。實(shí)例證明，該方法簡(jiǎn)單易行，優(yōu)化結(jié)果滿意。

關(guān)鍵詞：函數(shù)響應(yīng); 主成分分析; 雙響應(yīng)曲面法; 滿意度函數(shù)

1函數(shù)響應(yīng)優(yōu)化方法的綜述

1.1主成分分析法

主成分分析，就是利用降維的思想，將多個(gè)變量轉(zhuǎn)化為少數(shù)幾個(gè)主成分的統(tǒng)計(jì)分析方法。其最早是由Pearson[16]提出后經(jīng)Hotelling[17]進(jìn)一步發(fā)展。利用主成分分析法將P個(gè)輸出響應(yīng)(需提前對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化以消除量綱的影響)轉(zhuǎn)化為q(q≤p)個(gè)無關(guān)的主成分，并取特征值大于1的主成分作為優(yōu)化指標(biāo)。

用Yj表示第j個(gè)輸出響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)，可以得到

(1)

用矩陣表示為

Z=A′Y。

(2)

Liao[6]曾指出此方法的兩個(gè)缺陷就是:1)當(dāng)特征值大于1主成分不止一個(gè)時(shí)，仍為多響應(yīng)問題; 2)舍棄特征值小于1的主成分會(huì)導(dǎo)致部分信息的缺失。鑒于此，Liao[18]又提出了一種加權(quán)主成分分析法，將每個(gè)主成分的方差貢獻(xiàn)率作為權(quán)重系數(shù)，將所有主成分的綜合得分做為最終的多響應(yīng)績(jī)效指標(biāo)。為解決上述問題，Liao提出了一種基于加權(quán)主成分分析的多響應(yīng)優(yōu)化方法，選取每個(gè)主成分的方差貢獻(xiàn)率作為權(quán)重系數(shù)，以所有主成分的加權(quán)和做為最終的多響應(yīng)績(jī)效指標(biāo)。主成分的方差貢獻(xiàn)率表示為

(3)

其中，wk為第k個(gè)主成分的方差貢獻(xiàn)率，λk為Y的協(xié)方差矩陣的第k個(gè)特征值。方差貢獻(xiàn)率為每個(gè)主成分所解釋的方差占總方差的比例，表示該主成分對(duì)總方差的影響及其相對(duì)重要程度，也反映了主成分的信息含量值，保證信息的完整性。所有主成分的加權(quán)和即多響應(yīng)的績(jī)效指標(biāo)為

(4)

主成分分析法多是應(yīng)用在多響應(yīng)優(yōu)化中，本文將主成分分析法應(yīng)用到函數(shù)響應(yīng)及Profile的優(yōu)化中，將每個(gè)觀測(cè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的觀測(cè)點(diǎn)看成獨(dú)立的響應(yīng)，將Profile優(yōu)化轉(zhuǎn)化為多響應(yīng)的優(yōu)化問題，通過加權(quán)主成分分析法對(duì)多個(gè)響應(yīng)賦予合理的系數(shù)，最終將多響應(yīng)問題轉(zhuǎn)化為單響應(yīng)的優(yōu)化問題，并解釋原問題的全部方差，保證信息的完整性。但是此方法的最大缺點(diǎn)就是其優(yōu)化過程只考慮了響應(yīng)的均值而沒有考慮響應(yīng)方差的優(yōu)化，缺乏穩(wěn)健性。本文就是基于此將雙響應(yīng)曲面法與其結(jié)合，解決這一問題。

1.2滿意度函數(shù)法

(5)

對(duì)于望大型響應(yīng)，個(gè)體滿意度函數(shù)為：

diYi()=0, YiTi。ì?í??????

(6)

對(duì)于望小型響應(yīng)，個(gè)體滿意度函數(shù)為：

diYi()=1, YiUi。ì?í??????

(7)

1.3雙響應(yīng)曲面法

雙響應(yīng)曲面法最早由Myers 和Carter[20]提出，彌補(bǔ)波動(dòng)較大時(shí)單響應(yīng)模型失效情況。隨后Vining和Myers[21]對(duì)此法進(jìn)一步改進(jìn)并擴(kuò)大到了多響應(yīng)優(yōu)化中。雙響應(yīng)曲面法通過同時(shí)優(yōu)化響應(yīng)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，在保證響應(yīng)均值盡量接近目標(biāo)值前提下，使響應(yīng)的波動(dòng)盡量最小。假定共有k個(gè)可控變量，分別為x1,x2,…xk，則

(8)

(9)

其中，μ為響應(yīng)均值，σ為響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差，β和γ是模型系數(shù)，ε為隨機(jī)誤差。關(guān)于雙響應(yīng)曲面優(yōu)化方法主要有以下幾種。

1) Vining和Myers[22]為代表的約束優(yōu)化法。約束優(yōu)化就是以均值作為約束條件，標(biāo)準(zhǔn)差為目標(biāo)函數(shù)，通過最小化標(biāo)準(zhǔn)差以達(dá)到優(yōu)化的目的，以望目型為例，假設(shè)響應(yīng)目標(biāo)值為T，其約束優(yōu)化問題如下表示：

minσ,

s.tμ=T。

(10)

2) 均方誤差法。

此法由Lin和Tu[23]提出，其形式為

(11)

以均值的偏差來?yè)Q取方差的極大程度減小。權(quán)重λ可根據(jù)實(shí)際情況選取。最小化WMSE所得到一組可控變量組合即為該問題的最優(yōu)解。

3)拉格朗日乘子法。

此法是由Mayer提出的。他將兩個(gè)響應(yīng)進(jìn)行主次區(qū)分。雙響應(yīng)優(yōu)化就將兩個(gè)響應(yīng)做主次區(qū)分并將次響應(yīng)作為約束條件，對(duì)主響應(yīng)進(jìn)行最大或最小處理[24]。具體形式為

L=b0+bX′+X′BX+λ(c0+X′C+X′CX-T),

(12)

雙響應(yīng)曲面法是單響應(yīng)優(yōu)化最常用的方法，后來Quesada[25]將雙響應(yīng)曲面方法擴(kuò)展至多響應(yīng)問題的優(yōu)化。其算法如下：

(13)

2本文的方法

本文所提方法具體步驟如下。

(14)

(15)

其中，μq和σq表示第q個(gè)觀測(cè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，βij與γij是模型系數(shù)，εij為隨機(jī)誤差。

3)利用式(1)對(duì)均值和滿意度值進(jìn)行主成分分析。

均值第m個(gè)主成分值為

(16)

方差的第m個(gè)主成分值為

(17)

4)計(jì)算各響應(yīng)系數(shù)和方差滿意函數(shù)值的主成分綜合得分為：

(18)

(19)

其中權(quán)重ω即為主成分的方差貢獻(xiàn)率。

5)利用加權(quán)均方誤差函數(shù)，計(jì)算最終的函數(shù)響應(yīng)績(jī)效指標(biāo)OPI：

OPI=λ1WPCμ+λ2WPCs,λ1+λ2=1,λ1,λ2∈[0,1]。

(20)

其中，權(quán)重λi可根據(jù)位置滿意度值和散度滿意度值的相對(duì)重要程度，或歷史經(jīng)驗(yàn)及實(shí)驗(yàn)者的偏好而定。在本文中，主成分得分越小越好，故OPI越小代表質(zhì)量水平越高，即優(yōu)化以O(shè)PI望小為目標(biāo)。

3應(yīng)用實(shí)例

3.1數(shù)據(jù)分析

本例數(shù)據(jù)來自Gohel和Amin[28]對(duì)雙氯芬酸鈉緩釋片的緩釋率進(jìn)行的試驗(yàn)研究。雙氯芬酸鈉緩釋片是非甾體抗炎藥的主要成分。雙氯芬酸鈉緩釋片的制備可以通過使用不同的包封劑和制備技術(shù)來改變藥品緩釋速率。響應(yīng)Y表示雙氯芬酸鈉緩釋片的釋放比例，其在三個(gè)不同的時(shí)間點(diǎn)1h，6h，8h上觀測(cè)值分別為Y(1)，Y(2)，Y(3)，其溶解度的允許范圍及其目標(biāo)值如表1所示，Y(1)，Y(2)，Y(3)是望目特性。

本實(shí)驗(yàn)包括3個(gè)可控因子如表2所示。采用中心復(fù)合試驗(yàn)(CCD)，詳細(xì)數(shù)據(jù)參考文獻(xiàn)[15]。試驗(yàn)的目的就是研究攪拌速度(x1)，氯化鈣包封劑濃度(x2)，分散介質(zhì)中液體石蠟的所占百分比(x3)在給定的藥品靶釋值(如表1所示)前提下，對(duì)緩釋藥品的影響，確定雙氯芬酸鈉緩釋片的最優(yōu)因子設(shè)置。

表1　響應(yīng)規(guī)格域

表2　可控因子表

根據(jù)式(14)～(15)擬合得到每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的響應(yīng)均值和標(biāo)準(zhǔn)差的最佳回歸方程為：

根據(jù)式(5)～(6)利用JMP軟件得到各個(gè)觀測(cè)。

點(diǎn)響應(yīng)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差的滿意度值如表3所示。

利用JMP軟件，對(duì)3個(gè)觀測(cè)點(diǎn)響應(yīng)值的均值滿意度值進(jìn)行主成分分析，得到結(jié)果如表4所示。

根據(jù)式(16)得到相應(yīng)的主成分函數(shù)為：

根據(jù)式(17)得到各響應(yīng)位置特性值的加權(quán)主成分為：

表3　均值和標(biāo)準(zhǔn)差的滿意度值

表4　均值滿意度值的主成分分析表

根據(jù)式子利用JMP軟件，得到標(biāo)準(zhǔn)差的渴求函數(shù)值與可控變量的擬合回歸方程為：

進(jìn)而得到：

同上，對(duì)3個(gè)觀測(cè)點(diǎn)響應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差滿意度值進(jìn)行主成分分析，可得到如表5結(jié)果。

表5　標(biāo)準(zhǔn)差滿意度值的主成分分析表

根據(jù)式(18)同上求出相應(yīng)方差渴求函數(shù)值的主成分函數(shù)為：

根據(jù)式(19)得到各響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差特征值的主成分綜合得分為：

利用JMP軟件，得到方差的渴求函數(shù)值與可控變量的擬合回歸方程為：

進(jìn)而得到：

根據(jù)式(20)最終的績(jī)效指標(biāo)OPI：

令λ1=0.2,λ2=0.8，得

3.2結(jié)果討論

優(yōu)化結(jié)果如表6所示。本文提出的優(yōu)化方法，同時(shí)考慮均值和標(biāo)準(zhǔn)差，并根據(jù)λ取值的不同，決定方差和標(biāo)準(zhǔn)差的重要性。而Goethals的方法用重疊等直線圖來確定最優(yōu)因子水平的設(shè)置，這種方法只考慮到響應(yīng)的均值，沒有考慮響應(yīng)的方差。而Goethals的方法同時(shí)考慮響應(yīng)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，與本文的方法初衷相同，其結(jié)果與本文結(jié)果具有橫向比較的價(jià)值。本文令λ1=0.2,λ2=0.8，得到的結(jié)果可以使得響應(yīng)的均方差更小，結(jié)果更優(yōu)。本文利用主成分分析法將原響應(yīng)轉(zhuǎn)換成一系列不相關(guān)的部分，因而減少了函數(shù)響應(yīng)問題中設(shè)計(jì)參數(shù)優(yōu)化沖突的問題。

表6　優(yōu)化結(jié)果比較

4結(jié)論

本文目的在于如何利用試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方法對(duì)函數(shù)響應(yīng)進(jìn)行優(yōu)化。這種優(yōu)化方法思路就是將profile每個(gè)觀測(cè)點(diǎn)看成一個(gè)獨(dú)立的響應(yīng)，將profile問題轉(zhuǎn)化為多響應(yīng)問題?；诖藘?yōu)化思路本文提出了一種基于雙曲面方法的主成分分析和渴求函數(shù)相結(jié)合的profile優(yōu)化方法。首先通過主成分分析法對(duì)函數(shù)響應(yīng)問題進(jìn)行降維，考慮觀測(cè)點(diǎn)之間的相關(guān)性。然后通過將雙響應(yīng)曲面模型和滿意度函數(shù)進(jìn)行結(jié)合，將具有函數(shù)響應(yīng)性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為多響應(yīng)問題，并整合成單一指標(biāo)來決定最佳因子水平組合。實(shí)例分析的結(jié)果顯示，本文提出的方法切實(shí)可行有效，可操作性強(qiáng)，簡(jiǎn)單實(shí)用。此方法的不足之處在于，最后的評(píng)價(jià)指標(biāo)中關(guān)于權(quán)重系數(shù)λi沒有給出有效的確定方法。對(duì)于profile，我們是選取了其中個(gè)別具有代表性的點(diǎn)作為研究對(duì)象，這種方法不能很好地描述函數(shù)響應(yīng)的關(guān)系，具有一定的局限性。

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A Study of Optimizing Functional Response Problems Based on Principal Component Analysis

XU Jing HE Zhen CHEN Zhezhi YUAN Rong

(College of Management and Economics, Tianjin University, Tianjin 300072, China)

Abstract：A method is presented to optimize the profile based on functional response optimization method combining the dual response surface method with the satisfaction function based on principal component analysis. The response value of each observation point is treated as an independent response. The Profile has been as multi-response optimization problem of nominal-the-best type. First, desirability function is used to measure the mean and variance for each observed point. Finally, the principal component analysis (PCA) is adopted to derive the overall performance index (OPI) for multiple response which is the weighted sum of principal values of both the desirability values of mean and variance for each observed point. A methodology is utilized for optimizing the problem of correlated observed points while involving the simultaneous optimization of the process mean and variance. Examples show that the method is simple, with satisfactory optimization results.

Key words：functional response; principal component analysis; dual response surface method; desirability function approach

中圖分類號(hào)：F406.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1007-7375(2016)01- 0074- 07

doi:10.3969/j.issn.1007- 7375.2016.01.011

作者簡(jiǎn)介：許靜(1982-)，女，河南省人，博士研究生，主要研究方向?yàn)槠髽I(yè)管理、質(zhì)量管理.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金杰出青年基金資助項(xiàng)目(71225006)

收稿日期：2014- 09- 18