考慮動態(tài)損耗的超磁致伸縮換能器的多場耦合模型

黃文美　薛胤龍　王　莉　翁　玲　王博文

(電磁場與電器可靠性省部共建重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(河北工業(yè)大學(xué))　天津　300130)

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考慮動態(tài)損耗的超磁致伸縮換能器的多場耦合模型

黃文美薛胤龍王莉翁玲王博文

(電磁場與電器可靠性省部共建重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(河北工業(yè)大學(xué))天津300130)

摘要在熱力學(xué)理論、Jiles-Atherton模型、能量守恒定律和換能器結(jié)構(gòu)動力學(xué)原理的基礎(chǔ)上，考慮動態(tài)損耗帶來的影響，建立了包含磁-機(jī)-熱的耦合項(xiàng)的超磁致伸縮換能器的多場耦合模型。運(yùn)用數(shù)值計算方法對所建立的模型進(jìn)行了計算，計算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好，說明所建立的多場耦合動態(tài)模型能夠描述驅(qū)動磁場和換能器的輸出應(yīng)變之間的關(guān)系，能很好地描述換能器的實(shí)際工作狀態(tài)，為超磁致伸縮換能器設(shè)計研發(fā)提供理論指導(dǎo)。

關(guān)鍵詞：超磁致伸縮換能器多場耦合模型動態(tài)損耗溫度效應(yīng)

0引言

超磁致伸縮材料(Giant Magnetostrictive Material，GMM)是一種新型智能材料，Terfenol-D作為其中的一種，具有磁致伸縮應(yīng)變大、機(jī)電轉(zhuǎn)換效率高和能量耦合系數(shù)大等性能。超磁致伸縮換能器是以此材料為核心元件構(gòu)成的一種將電能轉(zhuǎn)化成機(jī)械能的裝置，結(jié)構(gòu)緊湊，能量密度大，可廣泛用于微位移控制、機(jī)械精密加工、金屬探傷、水下物體探測等領(lǐng)域。

超磁致伸縮換能器在工作中表現(xiàn)出強(qiáng)非線性的磁-機(jī)-熱多物理場耦合特性，多場耦合對換能器的作用異常復(fù)雜，這就使得考慮動態(tài)損耗的同時，建立能反映其換能器系統(tǒng)層次的多場耦合特性、頻率相關(guān)的磁化過程以及動態(tài)磁滯非線性的模型更為復(fù)雜。為了能夠有效模擬換能器的真實(shí)工作狀態(tài)，為換能器的廣泛應(yīng)用提供理論基礎(chǔ)，有必要建立換能器的非線性動態(tài)模型。文獻(xiàn)[1，2]分別提出了基于能量的磁致伸縮材料的靜態(tài)和動態(tài)磁滯模型，模型和實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好，但它們都只是磁致伸縮材料層次的模型，沒有考慮換能器系統(tǒng)的整體層次。文獻(xiàn)[3]基于熱力學(xué)原理，建立了超磁致伸縮材料磁-機(jī)-熱耦合本構(gòu)模型，展現(xiàn)了強(qiáng)非線性特性，描述了溫度對于磁致伸縮應(yīng)變和磁化強(qiáng)度的影響，但沒有考慮渦流及異常損耗，僅適用于低頻階段，且仍沒有結(jié)合換能器層次進(jìn)行考慮。文獻(xiàn)[4，5]建立了超磁致伸縮換能器動態(tài)磁-機(jī)耦合模型，結(jié)合了換能器結(jié)構(gòu)動力學(xué)原理，是建立在系統(tǒng)層次的模型，考慮了動態(tài)損耗的影響，然而這些模型忽略了溫度效應(yīng)的影響。文獻(xiàn)[6]建立了考慮應(yīng)力變化的換能器動態(tài)模型，并對溫升對換能器的影響做了實(shí)驗(yàn)，表明溫度是不可忽略的因素。文獻(xiàn)[7]以磁致伸縮材料多場耦合為基礎(chǔ)，建立了磁-機(jī)雙向耦合的動態(tài)模型，但沒有考慮負(fù)載引起的棒內(nèi)應(yīng)力和磁場變化，沒有真正實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)層次的耦合。文獻(xiàn)中很少有模型從磁致伸縮換能器系統(tǒng)層次來描述其多場耦合特性。本課題組建立了超磁致伸縮材料的磁-彈-熱多場耦合本構(gòu)關(guān)系，建立了考慮動態(tài)損耗的磁-機(jī)-熱多場耦合磁致伸縮換能器模型，并通過數(shù)值計算方法對其求解。

本文從彈性Gibbs自由能角度出發(fā)，在熱力學(xué)關(guān)系、Jiles-Atherton模型、能量守恒定律、換能器結(jié)構(gòu)動力學(xué)原理的基礎(chǔ)上，考慮交流驅(qū)動時的動態(tài)損耗，建立了超磁致伸縮換能器的磁-彈-熱多場耦合動態(tài)模型，利用此模型模擬換能器的輸出應(yīng)變在溫度和動態(tài)損耗影響下的實(shí)際工作狀態(tài)。

1超磁致伸縮換能器結(jié)構(gòu)和工作原理

超磁致伸縮換能器的結(jié)構(gòu)示意如圖1所示。其工作原理為：在換能器的勵磁線圈中通入交流電流，會有交變磁場產(chǎn)生，此時Terfenol-D棒在驅(qū)動磁場作用下發(fā)生沿棒方向的伸縮變化，從而完成將電磁能轉(zhuǎn)換成機(jī)械能，以振動的形式來推動尾質(zhì)量運(yùn)動，實(shí)現(xiàn)位移和力的輸出。圖1中，配重的作用是確保Terfenol-D棒有單方向的位移輸出；預(yù)緊螺栓和蝶簧的作用是向Terfenol-D棒提供適當(dāng)大小的軸向預(yù)壓應(yīng)力，因?yàn)門erfenol-D棒在壓應(yīng)力的作用下會有更大的磁致伸縮應(yīng)變；永久磁鐵向Terfenol-D棒提供適當(dāng)?shù)钠么艌?，使Terfenol-D棒的機(jī)械頻率等于驅(qū)動磁場的頻率，從而避免“倍頻”現(xiàn)象。

圖1　超磁致伸縮換能器結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1　Schematic diagram of magnetostrictive transducer

2考慮動態(tài)損耗的多場耦合模型

2.1磁致伸縮材料整體應(yīng)變模型

Terfenol-D棒通常被等效為一個熱力學(xué)系統(tǒng)來分析磁致伸縮材料復(fù)雜的磁-彈-熱多場耦合關(guān)系，根據(jù)彈性Gibbs自由能以及對其物理意義和實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的分析，可以認(rèn)為超磁致伸縮材料的應(yīng)變可以寫成三部分[8]，即

ε=εσ+εT+λ

(1)

式中，第一部分為僅由應(yīng)力產(chǎn)生的應(yīng)變，第二部分為僅由溫度變化產(chǎn)生的熱膨脹應(yīng)變，第三部分是磁致伸縮應(yīng)變，是超磁致伸縮換能器設(shè)計及模型研究的核心問題。D.C.Jiles[9]描述磁化強(qiáng)度與磁致伸縮之間的關(guān)系式為

(2)

式中，γi(σ)是和應(yīng)力有關(guān)的參數(shù)，σ表示應(yīng)力；M為磁化強(qiáng)度。式(2)體現(xiàn)了磁-機(jī)耦合的關(guān)系，但并未考慮溫度的影響。基于式(2)，本文提出一個考慮溫度效應(yīng)的磁化強(qiáng)度與磁致伸縮之間關(guān)系的拓展模型，即

(3)

式中，ΔT為溫度差值，ΔT=Ta-Tr，Ta為實(shí)際的環(huán)境溫度，Tr為自旋再取向溫度(對Terfenol-D來說，Tr=0 ℃)；γi(σ，ΔT)是與應(yīng)力和溫度有關(guān)的系數(shù)。為了方便實(shí)際應(yīng)用，取i=2。其中常數(shù)項(xiàng)僅為應(yīng)力溫度系數(shù)，對多場耦合效應(yīng)影響很小，從實(shí)用性角度出發(fā)，可以忽略，從而得到磁致伸縮表達(dá)式為

λ(M,σ,ΔT)=γ1(σ,ΔT)M2+γ2(σ,ΔT)M4

(4)

式中，γi(σ， ΔT)可用泰勒級數(shù)將其展開成關(guān)于應(yīng)力溫度的多項(xiàng)式，即

(5)

式中，γix是當(dāng)ΔT=0時的關(guān)于應(yīng)力的偏導(dǎo)數(shù)；γiy是當(dāng)σ=0時的關(guān)于溫度的偏導(dǎo)數(shù)，分別僅保留關(guān)于應(yīng)力溫度的線性部分，可得

γ1(σ,ΔT)=γ11+γ12σ+γ13ΔT

(6)

γ2(σ,ΔT)=γ21+γ22σ+γ23ΔT

(7)

式中，γ11、γ12、γ13、γ21、γ22及γ23為材料的磁致伸縮系數(shù)，結(jié)合實(shí)驗(yàn)曲線，在邊界給定的情況下，可通過測量不同應(yīng)力溫度(如：σ=0 MPa；ΔT=20 ℃、40 ℃、60 ℃和ΔT=20 ℃；σ=5 MPa、10 MPa、15 MPa)下飽和磁化強(qiáng)度與飽和磁致伸縮獲得一組齊次方程，求解結(jié)果見表1。

表1　磁致伸縮模型參數(shù)取值

因此，結(jié)合式(4)～式(7)，整理化簡便可得磁致伸縮λ(M，σ，ΔT)的表達(dá)式為

λ(M,σ,ΔT)=γ11M2+γ21M4+σ(γ12M2+γ22M4)+

ΔT(γ13M2+γ23M4)

(8)

式中，前兩項(xiàng)是僅與磁化強(qiáng)度有關(guān)的磁致伸縮，第三項(xiàng)是磁化強(qiáng)度和應(yīng)力耦合引起的磁致伸縮，第四項(xiàng)是磁化強(qiáng)度和溫度耦合引起的磁致伸縮。式(8)能清晰地體現(xiàn)換能器的多場耦合特性。從式(8)看出，式中的每一項(xiàng)都和磁化強(qiáng)度有關(guān)，由于磁致伸縮的六個系數(shù)確定，只要確定磁化強(qiáng)度，就能算出磁致伸縮應(yīng)變的大小。

2.2磁化強(qiáng)度模型

有效磁場He將磁致伸縮模型和磁化強(qiáng)度耦合在一起來構(gòu)成多場耦合的非線性模型。從自由能密度函數(shù)角度出發(fā)，可得到有效磁場標(biāo)準(zhǔn)形式為

(9)

式中，H為外加磁場強(qiáng)度；μ0為真空磁導(dǎo)率；α為疇壁相互作用系數(shù)。將式(8)代入到式(9)中得

σ(3γ12M+6γ22M3)+ΔT(3γ13M+6γ23M3)]

(10)

可將式(10)簡寫成

He=H+qM

(11)

這里

ΔT(3γ13+6γ23M2)]

(12)

為了使模型能夠運(yùn)用在動態(tài)加載的情況下，因此考慮了動態(tài)損耗對磁化過程的影響。根據(jù)微磁學(xué)理論，材料或多或少會存在缺陷，使得疇壁停在材料內(nèi)不動，形成釘扎效應(yīng)，無論靜態(tài)還是動態(tài)，都會有釘扎損耗ΔLm，文獻(xiàn)[10]給出了動態(tài)加載條件下鐵磁材料中存在渦流損耗ΔLe和附加損耗ΔLa。

基于能量守恒關(guān)系，有

ΔWw=ΔWq+ΔLm+ΔLe+ΔLa

(13)式中，ΔWw為外加驅(qū)動磁場產(chǎn)生的能量；ΔWq為磁化過程中單位體積中的靜磁能。分別代入各能量表達(dá)式有

-μ0∫MdHe=-μ0∫MandHe-μ0∫ξKB(1-cB)dMirr+

(14)

式中，Mirr為不可磁化強(qiáng)度；D為棒的直徑；Sc為棒的橫截面積；β為材料的幾何因子，對于圓柱體，β=16；無量綱常數(shù)G0=0.135 6；H0是和材料疇壁相關(guān)的參數(shù)；ρ為材料的電阻率；ξ用來保證計算結(jié)果和其物理特性一致，在文獻(xiàn)[11]中有注明；KB和cB分別為考慮溫度T影響的釘扎系數(shù)和可逆因子，表達(dá)式分別為[12，13]

(15)

(16)

式中，K0為釘扎系數(shù)的初始值；c0為可逆系數(shù)的初始值。文獻(xiàn)[3]中給出的可逆磁化強(qiáng)度Man表達(dá)式為

(17)

等式兩邊同除μ0以后再進(jìn)行微分，則式(14)變?yōu)?/p>

(18)

基于Jiles和Atherton的假設(shè)[14]，有

(19)

這里，δ是用來保證理論計算和Terfenol-D物理特性一致的參數(shù)。

式(19)兩邊乘上dH/dt，可得

(20)

再結(jié)合復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，可得

(21)

將式(11)對t求導(dǎo)并代入式(21)，可得

(22)

結(jié)合式(18)～式(22)，整理可得磁化方程為

(23)

運(yùn)用牛頓迭代法可求解磁化強(qiáng)度變化率dM/dt，從而能夠計算出磁化強(qiáng)度，利用式(1)及式(8)求得Terfenol-D材料層次的應(yīng)變，再結(jié)合下文的換能器的結(jié)構(gòu)動力學(xué)原理來求解器件層次的換能器系統(tǒng)輸出應(yīng)變。

2.3換能器結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型

從換能器系統(tǒng)層次上看，換能器模型還必須考慮加負(fù)載的情況，同時要考慮動態(tài)應(yīng)力σ對磁化過程及整體應(yīng)變的影響，文獻(xiàn)[15]簡潔地給出了下一時刻動態(tài)應(yīng)力的公式，即

(24)

式中，ΔL為磁致伸縮棒的長度變化量；KL為等效剛度矩陣，相比文獻(xiàn)[16]中的動態(tài)應(yīng)力復(fù)雜計算方法，其減少了計算時間，提高了效率，但未考慮棒本身阻尼的影響。基于結(jié)構(gòu)動力學(xué)原理，文獻(xiàn)[17]只是將磁致伸縮作為了換能器輸出應(yīng)變，給出了二階暫態(tài)動力學(xué)模型，本部分基于這些已有模型對換能器系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型進(jìn)行了推導(dǎo)。

對式(4)Terfenol-D應(yīng)變的簡化表達(dá)為

(25)

式中

(26)

將文獻(xiàn)[17]換能器的結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型中磁致伸縮λ(t)替換成ω(t)，得到改進(jìn)的模型為

(27)

式中，u(t)為位移矢量；ML、CL分別為等效質(zhì)量和負(fù)載等效阻尼系數(shù)矩陣；F[ω(t)]為激勵矢量，各單元激勵源表達(dá)式為

(28)

式中，φ′(x)為數(shù)值計算的過程量，在文獻(xiàn)[17]中有說明。

通過對二階暫態(tài)動力學(xué)方程(式(27))的求解，可以得到換能器末端t時刻的位移矢量u(t)，從而求得換能器的整體輸出應(yīng)變

(29)

式中，L為磁致伸縮棒的長度。

計算出t時刻的輸出應(yīng)變，完成對換能器輸出的一次求解，再根據(jù)式(24)求解t+Δt時刻的動態(tài)應(yīng)力，重新結(jié)合式(25)～式(29)，完成t+Δt時刻的計算，以此循環(huán)求解任意時刻的輸出應(yīng)變。

3計算結(jié)果與分析

利用本課題組的實(shí)驗(yàn)測試結(jié)果[8]及文獻(xiàn)[16]中的部分?jǐn)?shù)據(jù)，對所建立的磁致伸縮換能器系統(tǒng)的動態(tài)模型進(jìn)行了數(shù)值計算。用Matlab編程，模型計算時間2 min左右。

圖2為不同溫度下的λ-M關(guān)系曲線。從圖2可以看出，當(dāng)環(huán)境溫度一定時，隨著磁化強(qiáng)度的增加，磁致伸縮增加。而當(dāng)磁化強(qiáng)度為定值時，磁致伸縮隨著溫度的升高而減小。出現(xiàn)這種情況是因?yàn)闇囟壬?，熱擾動對磁疇內(nèi)磁矩的有序排列增加，而磁化強(qiáng)度的增加不會削弱熱擾動帶來的影響。為了得到相同的磁致伸縮，100 ℃時需要的磁化強(qiáng)度要比0 ℃時大，因此磁致伸縮棒磁化過程中不能忽略溫度帶來的影響。

圖2　不同溫度下磁致伸縮-磁化強(qiáng)度關(guān)系Fig.2　Magnetostriction vs.magnetization at different temperatures

圖3　不同溫度的磁致伸縮-驅(qū)動磁場關(guān)系Fig.3　Magnetization vs.magnetic-field at different temperatures

圖3是預(yù)應(yīng)力為-10 MPa下、不同溫度(20 ℃、40 ℃和80 ℃)的磁致伸縮曲線。圖中符號為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，連線為模型的計算結(jié)果。從曲線上可以看出，在中低磁場時，磁致伸縮隨著驅(qū)動磁場增加得很快；當(dāng)磁場增加到一定值時，大部分的磁疇已經(jīng)轉(zhuǎn)向了平行于驅(qū)動磁場的方向，磁致伸縮增加的幅度減弱，并逐漸趨向飽和。由于熱擾動的存在，阻礙磁疇的旋轉(zhuǎn)，使得溫度高時，磁致伸縮值較低，溫度對磁致伸縮飽和值的影響更為明顯。所以，溫度效應(yīng)會影響磁致伸縮應(yīng)變的大小，從而會影響換能器整體應(yīng)變的輸出。

利用所建立的模型，在驅(qū)動磁場為20 kA/m且沒有偏置磁場、激勵頻率為1 kHz、環(huán)境溫度20 ℃、預(yù)應(yīng)力-10 MPa的情況下，對驅(qū)動磁場和磁化強(qiáng)度的關(guān)系進(jìn)行了模擬。從圖4可以看出，模型有效地描述了磁致伸縮棒的動態(tài)磁滯特性，理論計算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果[8]吻合較好，偏差量不超過3.86%。由于動態(tài)能量損耗的影響使得產(chǎn)生的磁滯損耗相比于靜態(tài)磁滯損耗要大得多。圖5描述了換能器的整體應(yīng)變和驅(qū)動磁場之間的關(guān)系[16]，可以看出，在動態(tài)加載的情形下，忽略動態(tài)損耗的理論預(yù)測結(jié)果明顯高于換能器輸出應(yīng)變的實(shí)驗(yàn)值，同時磁滯回線的能量損耗也變小，而仿真和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好，輸出應(yīng)變最大偏移量不超過4.21%，說明了所建立的考慮溫度變化和動態(tài)損耗影響的模型能夠準(zhǔn)確描述超磁致伸縮換能器動態(tài)運(yùn)行的特性，能夠描述在加載情況下?lián)Q能器的真實(shí)運(yùn)行情況。

圖4　頻率為1 000 Hz的磁化強(qiáng)度-驅(qū)動磁場關(guān)系Fig.4　Magnetization vs.magnetic field at 1 000 Hz

圖5　換能器輸出應(yīng)變-驅(qū)動磁場的關(guān)系Fig.5　Output strain vs.magnetic field

4結(jié)論

為了反映超磁致伸縮換能器在實(shí)際動態(tài)加載下的工作情況，本文基于熱力學(xué)理論、Jiles-Atherton模型、能量守恒定律、換能器結(jié)構(gòu)動力學(xué)原理建立了考慮動態(tài)損耗的電磁-機(jī)械-熱多場耦合模型，通過數(shù)值計算的方法模擬了換能器輸出應(yīng)變和驅(qū)動磁場的關(guān)系，模型數(shù)值計算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好，說明該模型能夠準(zhǔn)確反映換能器系統(tǒng)層次的多場耦合效應(yīng)與頻率相關(guān)的磁化過程和超磁致伸縮換能器的動態(tài)磁滯非線性特性。

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黃文美女，1969年生，博士，教授，研究方向?yàn)榇判圆牧吓c器件、電機(jī)電器及其控制。

E-mail：huzwm@hebut.edu.cn(通信作者)

薛胤龍男，1989年生，碩士研究生，研究方向?yàn)榇判圆牧吓c器件、電機(jī)電器及其控制。

E-mail：984871361@qq.com

Multi-Field Coupling Model Considering Dynamic Losses for Giant Magnetostrictive Transducers

HuangWenmeiXueYinlongWangLiWengLingWangBowen

(Key Laboratory of Electro-Magnetic Field and Electrical Apparatus Reliability of Hebei Province Hebei University of TechnologyTianjin300130China)

AbstractBased on the thermodynamic theory, the Jiles-Atherton model, the energy balance principle, and the structural dynamics principle of the transducer system, a multi-field coupling model of the giant magnetostrictive transducer is founded, which includes the magnetic-mechanical-thermal coupling terms and takes the dynamic losses into account. According to the proposed model, the relation between the magnet field and the output strain of the transducer is calculated using the numerical algorithm. Simulation results are in good agreement with the experimental ones, which indicates that the multi-fields coupling model considering the dynamic losses can well describe the actual working conditions of the transducer and provide theoretical guidance for design and development of the transducer in future.

Keywords：Giant magnetostrictive transducer, multi-field coupling model, dynamic losses, temperature effect

作者簡介

中圖分類號：TM153

收稿日期2014-06-19改稿日期2015-09-18

國家自然科學(xué)基金(51171057、51201055)，河北省自然科學(xué)基金(E2014202246)和河北省高等學(xué)校科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(ZD2015085)資助。