考慮絲束變形和鋪層力學(xué)方向的鋪放線型規(guī)劃

張吉法，胡　斌，徐東亮，張小玉，李卓球

(1．武漢理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，430070武漢; 2．武漢理工大學(xué)理學(xué)院，430070武漢)

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考慮絲束變形和鋪層力學(xué)方向的鋪放線型規(guī)劃

張吉法1，胡斌1，徐東亮1，張小玉2，李卓球2

(1．武漢理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，430070武漢; 2．武漢理工大學(xué)理學(xué)院，430070武漢)

摘要:為規(guī)劃不連續(xù)預(yù)浸絲束在構(gòu)件曲面上的合理排布形式，分析構(gòu)件外形、預(yù)浸絲束變形和鋪層力學(xué)方向?qū)?gòu)件曲面上鋪放路徑規(guī)劃的影響，提出一種工程實(shí)用的鋪放線型規(guī)劃方法．分別計(jì)算當(dāng)前路徑點(diǎn)的力學(xué)方向和材料容許鋪放方向相對(duì)于測(cè)地線方向的偏角，通過偏角比例控制系數(shù)來確定多約束條件下的鋪放方向，依次求得新的路徑點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)構(gòu)件曲面的鋪放路徑規(guī)劃;以曲面均勻鋪滿為目標(biāo)，引入重疊系數(shù)進(jìn)行線型的覆蓋性分析，計(jì)算絲束增減的合理位置，完成構(gòu)件曲面的鋪放線型規(guī)劃．以某自由曲面鋪放線型規(guī)劃為例，驗(yàn)證了該規(guī)劃方法的有效性．

關(guān)鍵詞:預(yù)浸絲束;鋪放路徑;線型規(guī)劃;容許偏角;覆蓋性分析;邊界處理

復(fù)合材料的廣泛應(yīng)用，在很大程度上取決于復(fù)合材料的成型制造技術(shù)．采用先進(jìn)制造技術(shù)可以降低復(fù)合材料構(gòu)件成本，保障產(chǎn)品質(zhì)量，提高生產(chǎn)效率．自動(dòng)鋪絲技術(shù)是在20世紀(jì)70年代提出來的，旨在克服纏繞技術(shù)周期性、穩(wěn)定性和非架空的特點(diǎn)給復(fù)雜構(gòu)件的成型帶來的不便及自動(dòng)鋪帶必須沿自然路徑進(jìn)行鋪放的限制．它綜合了自動(dòng)鋪帶技術(shù)和纖維纏繞技術(shù)的優(yōu)點(diǎn)，將多股預(yù)浸絲束集成一條寬度可變的預(yù)浸帶后自動(dòng)按照一定線型鋪到構(gòu)件表面，可實(shí)現(xiàn)復(fù)雜、甚至帶窗口構(gòu)件的鋪放生產(chǎn)，在大型、超大型復(fù)合結(jié)構(gòu)部件的成型制造中具有極大的優(yōu)越性［1－3］．自動(dòng)鋪放線型規(guī)劃過程是一個(gè)環(huán)節(jié)多、影響因素多、涉及面廣的復(fù)雜過程．尤其是復(fù)雜構(gòu)件曲面，需同時(shí)考慮構(gòu)件曲面幾何結(jié)構(gòu)、原材料間和鋪層力學(xué)性能的耦合關(guān)系．線型反映了絲束在構(gòu)件曲面上的排布形式，決定了構(gòu)件的復(fù)合材料結(jié)構(gòu)和性能，也是鋪絲運(yùn)動(dòng)規(guī)劃、自動(dòng)NC編程以及軌跡仿真模擬的重要依據(jù)．最近，F(xiàn)ayazbakhsh和Croft等［4－5］將自動(dòng)鋪放過程中出現(xiàn)的絲束離縫和重疊等缺陷分布作為變量，研究了其對(duì)制品力學(xué)性能的影響; Beakou等［6］研究了鋪放過程中壓緊力、預(yù)浸絲束黏性、鋪放速度和絲束回彈等對(duì)絲束局部曲皺的影響，建立了曲面上絲束不屈皺的鋪放路徑的最小彎曲半徑的數(shù)學(xué)模型; Gürdal等［7－11］提出了用變剛度方法進(jìn)行復(fù)合材料層壓結(jié)構(gòu)鋪層順序的優(yōu)化．這些研究工作為鋪放線型規(guī)劃提供了一定的理論依據(jù)．在鋪放路徑規(guī)劃方面，Lewis等［12］首先提出了自然路徑規(guī)劃法來保證自動(dòng)鋪放過程中預(yù)浸帶整體變形最?。撕螅瑖鴥?nèi)外學(xué)者基于此算法從精度和效率上進(jìn)行了不斷的改進(jìn)．胡翠玲和羅海燕等［13－14］將復(fù)雜曲面三角網(wǎng)格化，采用測(cè)地線構(gòu)造原理求解了該曲面上自然鋪放路徑．該方法計(jì)算簡便，適用于較規(guī)則構(gòu)件曲面．Shirinzadeh等［15－16］對(duì)復(fù)雜曲面上纖維鋪放路徑規(guī)劃進(jìn)行了研究，解決了纖維在多個(gè)方向上實(shí)現(xiàn)連續(xù)排布和轉(zhuǎn)向排布的問題，并提出了能實(shí)現(xiàn)曲面上纖維均勻排布的鋪放路徑算法SCAR．韓振宇和邵忠喜等［17－18］為研究纖維鋪放路徑規(guī)劃和優(yōu)化算法，在分析與某一參考線成固定角度規(guī)劃法和等距偏置法的基礎(chǔ)上，提出了纖維帶鋪放絲束數(shù)量計(jì)算方法．該規(guī)劃算法主要涉及到構(gòu)件曲面特征和剛度要求，未考慮到沿規(guī)劃路徑進(jìn)行鋪放時(shí)預(yù)浸料可能產(chǎn)生的變形對(duì)構(gòu)件結(jié)構(gòu)強(qiáng)度的影響．李俊斐等［19］及熊文磊等［20］分析了鋪放過程中預(yù)浸料產(chǎn)生畸變的原因及影響路徑可鋪放性的因素，提出了使路徑能夠保證預(yù)浸料良好可鋪放性的同時(shí)又滿足構(gòu)件的強(qiáng)度分布要求的自調(diào)節(jié)路徑規(guī)劃算法．文獻(xiàn)［12－20］對(duì)鋪放路徑規(guī)劃做了大量的工作，但在考慮影響規(guī)劃過程的因素方面?zhèn)戎攸c(diǎn)有所不同．

本文從構(gòu)件曲面外形、絲束變形和鋪層力學(xué)方向?qū)︿伔怕窂揭?guī)劃過程的影響入手，引入絲束最小彎曲半徑、鋪放方向容許偏角控制系數(shù)和最大重疊系數(shù)，將鋪放路徑看作網(wǎng)格化曲面上的空間曲線，應(yīng)用曲面微分幾何和空間解析幾何理論求解，提出一種復(fù)雜曲面工程實(shí)用的鋪放線型規(guī)劃方法．

1　鋪放路徑工藝性

鋪放路徑是空間曲面上的曲線．如圖1，C為曲面S上過點(diǎn)P的一條曲線，kn、kg、n和τ分別為曲面上曲線在P點(diǎn)的法曲率、測(cè)地曲率、單位法曲率向量和單位測(cè)地曲率向量，t和k分別為曲線在P點(diǎn)單位切向量和主法向量，s為弧長參數(shù)．根據(jù)微分幾何理論，曲面上曲線測(cè)地曲率和法曲率為

由于絲束帶很薄(0．125～0．200 mm)，kn不會(huì)對(duì)絲束的鋪放工藝性產(chǎn)生影響，而kg的存在會(huì)使絲束在幅寬方向產(chǎn)生側(cè)彎進(jìn)而影響其可鋪性．對(duì)于曲面上絲束的變形，熊文磊等［20］已作詳細(xì)分析，并得到了曲面上寬度為w的絲束微元內(nèi)側(cè)纖維的壓縮應(yīng)變?yōu)棣?－2w/(2/kg+ w)．一定寬度絲束發(fā)生極限變形時(shí)，其變形程度可用最小側(cè)彎半徑ρmin來表示，即絲束鋪放側(cè)彎過程中，絲束中心的測(cè)地曲率半徑ρg(ρg=1/kg)必須大于ρmin，否則絲束會(huì)產(chǎn)生局部屈皺，將大大影響固化構(gòu)件的力學(xué)性能．絲束不產(chǎn)生曲皺的條件為壓縮應(yīng)變的絕對(duì)值|ε|≤|εmax| (εmax為鋪放材料容許壓縮應(yīng)變)，令ε=εmax，則單絲束最小相對(duì)側(cè)彎半徑:．對(duì)于絲束數(shù)為n和寬度為n·w的絲束帶，當(dāng)其鋪放路徑的測(cè)地曲率不為零時(shí)，絲束帶內(nèi)側(cè)的曲率最大，所以只要保證內(nèi)側(cè)絲束不產(chǎn)生屈皺就能使絲束具有良好的可鋪放性．內(nèi)側(cè)絲束產(chǎn)生極限變形時(shí)，絲束帶的最小側(cè)彎半徑為

圖1　曲面上曲線的曲率

1．1測(cè)地線鋪放方向

復(fù)合材料結(jié)構(gòu)中預(yù)浸絲束是主要承載材料，有限寬絲束只有在不發(fā)生曲皺的情況下才能承受最大載荷．曲面上kg為0的曲線是測(cè)地線，沿測(cè)地線方向鋪放時(shí)絲束不發(fā)生變形，所以測(cè)地線方向是絲束平整鋪放的理想方向．在復(fù)雜輪廓構(gòu)件的曲面上難以推導(dǎo)出鋪放路徑的精確數(shù)學(xué)模型，因此采用近似的方法將構(gòu)件曲面離散為若干三角面片．絲束的平整鋪放路徑是由網(wǎng)格面上若干條測(cè)地線所構(gòu)成．如圖2，一條測(cè)地線可表示為網(wǎng)格上點(diǎn)的序列P1、P2、…、PV、…(下標(biāo)V表示鋪放路徑上離散點(diǎn)的序號(hào))，其中PV是網(wǎng)格的頂點(diǎn)或者是邊上的一個(gè)點(diǎn)，但大多數(shù)情況是網(wǎng)格棱邊上的點(diǎn)．在這里若不考慮點(diǎn)PV－1和PV是網(wǎng)格內(nèi)點(diǎn)的情況，則可通過將網(wǎng)格棱邊上點(diǎn)與網(wǎng)格頂點(diǎn)統(tǒng)一作為網(wǎng)格頂點(diǎn)來處理．具體的做法是將棱邊上的點(diǎn)與此點(diǎn)相鄰的網(wǎng)格頂點(diǎn)相連，這樣鋪放路徑上的一系列的點(diǎn)都可看作為曲面網(wǎng)格頂點(diǎn)．

測(cè)地線的變化只能沿著曲面的法向方向，而不能在切平面上“左右”偏移．這樣，在點(diǎn)PV的微鄰域內(nèi)，測(cè)地線是逼近曲面沿給定方向的法截線．因此點(diǎn)PV處的法向量nPV和兩個(gè)切向量PV－1PV、PVPG是共面的，則有

一般情況下，PV點(diǎn)處單位法向量nPV可用通過與此點(diǎn)相鄰的三角面片的法向量做凸組合來近似替代．將交于該頂點(diǎn)的所有三角網(wǎng)格的法向量進(jìn)行重心加權(quán)平均［21］:

在這里重心權(quán)重

在已知各三角面片頂點(diǎn)以及點(diǎn)PV－1和點(diǎn)PV的情況下，根據(jù)上述共面條件易于求解點(diǎn)PG．點(diǎn)PG即是鋪放路徑測(cè)地方向上的點(diǎn)，向量PVPG的方向表示路徑在點(diǎn)PV處測(cè)地線的鋪放方向．

圖2　絲束當(dāng)前路徑點(diǎn)的法曲率

1．2力學(xué)鋪放方向及偏角計(jì)算

復(fù)合材料構(gòu)件的鋪層是一種可設(shè)計(jì)的材料結(jié)構(gòu)，其主要承載材料為纖維，為了使材料的性能得到最大的發(fā)揮，鋪放路徑上任一點(diǎn)的切向量必須滿足一定的鋪層力學(xué)方向要求，而這一方向往往與測(cè)地線的鋪放方向存在一個(gè)偏離角度．如圖3，路徑上點(diǎn)PV處力學(xué)方向?yàn)樗?jì)算的向量PVPVS的方向，其與已知參照向量PVPVC方向的夾角為αVC，與測(cè)地線方向PVPG的偏角為αVS．依據(jù)圖形幾何變換原理，在平面內(nèi)任一單位向量P繞該平面單位向量n旋轉(zhuǎn)θ后得到新的單位向量為

其中，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ＞0，順時(shí)針θ＜0．下面來計(jì)算向量PVPVS和αVS，圖中下標(biāo)I、J、K和L為網(wǎng)格頂點(diǎn)編號(hào)．

1)當(dāng)〈PVPVC，PVVI〉≥αVC，式中〈〉為向量夾角求取運(yùn)算符時(shí)，向量PVPVC與PVPVS同在單位法向量為nK三角面片PVVIVK內(nèi)，令

由式(1)有

2)當(dāng)〈PVPVC，PVVI〉＜αVC時(shí)，向量PVPVC與PVPVS不在1個(gè)三角面片內(nèi)，若PVPVS在單位法向量為nI三角面片PVVIVJ內(nèi)(在其它面片內(nèi)計(jì)算方法一樣)，向量PVPVC投影到三角面片PVVIVJ內(nèi)的向量為PVP'VC，設(shè)向量PVPVC與三角面片PVVIVJ的傾角為φPV，在三角面片PVVIVJ內(nèi)從向量PVP'VC旋轉(zhuǎn)到向量PVPVS的角度為α'VC，則根據(jù)空間立體幾何理論有cos αVC=cos φPV·cos α'VC．

令則有

根據(jù)以上分析，在曲面上可以計(jì)算出絲束力學(xué)路徑在點(diǎn)PV處的力學(xué)鋪放方向PVPVS，其相對(duì)于測(cè)地線鋪放方向的偏角為αVS=〈PVPG，PVPVS〉．

圖3　絲束當(dāng)前路徑點(diǎn)力學(xué)鋪放方向

1．3材料容許的鋪放方向與偏角計(jì)算

預(yù)浸絲束有一定的幅寬限制，復(fù)合材料構(gòu)件不能完全按照鋪層理想的纖維方向進(jìn)行鋪放，被鋪絲束會(huì)產(chǎn)生屈皺或撕裂．根據(jù)微分幾何理論，曲面上曲線在某點(diǎn)有限鄰域內(nèi)的測(cè)地曲率半徑是此曲線投影到該點(diǎn)處的切平面上的弧長半徑，并且影響被鋪絲束變形程度的主要因素是鋪放路徑在該點(diǎn)處的測(cè)地曲率kg，存在這樣的rg，滿足rg≥rmin時(shí)，鋪放路徑在曲面上是可鋪的．此時(shí)的鋪放方向相對(duì)于測(cè)地線鋪放方向存在一個(gè)偏離角，如圖4，在網(wǎng)格曲面上鋪放路徑PV－1PV投影到點(diǎn)PV處的切平面上的線段PV－1TPV近似為半徑為rPV－1測(cè)地弧線段．由于網(wǎng)格邊長?rPV－1，在切平面上從點(diǎn)PV－1T到點(diǎn)PV的轉(zhuǎn)角為

向量PVPGT和PVPV+1T的方向分別為鋪放路徑在點(diǎn)PV處的測(cè)地線方向PVPG和與該方向偏角為αV的鋪放方向PVPV+1在切平面上的投影．向量PVPGT與PV－1TPV位于同一直線，且所夾α*VT的兩邊分別垂直于直線PVPGT和PVPV+1T，則有αV的投影:

向量PVPG和PVPV+1的位置可在同一個(gè)三角面片或不在三角面片內(nèi)．設(shè)切平面與三角面片PVVKVI和PVVIVJ的夾角分別為γK=〈nK，nPV〉和γI=〈nI，nPV〉，與它們的交線分別為PVHK和PVHI，PGHK⊥PVHK，PGHI⊥PV+1HI，直線PVHK與PVHI可不在同一直線上，其單位方向向量分別設(shè)為lK和lI，lK=nPV×nK，lI=nPV×nI．直線PVHK與PVPGT的夾角βVT=〈lK，PVPGT〉，在切平面上將向量lK繞單位向量nPV旋轉(zhuǎn)θ=－βVT－αVT，則有

圖4　曲面上點(diǎn)、線在切平面上投影

1)當(dāng)αVT≤∠PGTPVVIT時(shí)，向量PVPG和PVPV+1的位置在同一個(gè)三角面片PVVKVI內(nèi)、上，依立體解析幾何理論有

在三角面片PVVKVI上將向量lI繞單位向量nK旋轉(zhuǎn)θ=－∠PV+1PVHI，無論網(wǎng)格曲面是凸曲面還是凹曲面，都有

2)當(dāng)αVT＞∠PGTPVVIT時(shí)，向量PVPG和PVPV+1的位置不在同一個(gè)三角面片內(nèi)，若向量PVPV+1在三角面片PVVIVJ內(nèi)(在其它面片內(nèi)計(jì)算方法一樣)．依立體解析幾何理論有

在三角面片PVVIVJ上將向量lI繞單位向量nI旋轉(zhuǎn)θ=－∠PV+1PVHI，則有

根據(jù)以上分析，絲束在點(diǎn)PV處的可行鋪放方向PVPV+1及其與測(cè)地線鋪放方向PVPG的偏角αV=〈PVPG，PVPV+1〉可以求出．同時(shí)，當(dāng)rPV－1=rmin時(shí)，可得到絲束材料在點(diǎn)PV處的容許偏角αVmax．在實(shí)際工程中，絲束的容許鋪放方向與力學(xué)鋪放方向必在測(cè)地線鋪放方向的同側(cè)，不在同側(cè)的鋪放方向及其偏角的計(jì)算方法與在同側(cè)相同，不再贅述．

2　鋪放線型規(guī)劃

鋪放線型規(guī)劃內(nèi)容包括鋪放路徑規(guī)劃和覆蓋性分析．規(guī)定曲面線型由上向下，從左向右進(jìn)行規(guī)劃，沿鋪放方向用當(dāng)前鋪放絲束帶的左側(cè)絲束去拼接上一相鄰線型段右側(cè)絲束，原則上要求當(dāng)前絲束帶幅寬最大．以開曲面為研究對(duì)象，總體過程:在待鋪曲面上確定當(dāng)前線型段的參考點(diǎn)，以此參考點(diǎn)在該曲面上向垂直于該點(diǎn)的力學(xué)方向右側(cè)偏移半個(gè)絲束帶寬得到路徑規(guī)劃基點(diǎn)，并計(jì)算出該點(diǎn)的力學(xué)方向;再以力學(xué)方向?yàn)槟繕?biāo)同時(shí)兼顧絲束的可鋪性確定當(dāng)前路徑及其鋪放終點(diǎn)，更新待鋪曲面邊界;在待鋪曲面邊界上選取下一條線型段的參考點(diǎn)，以此參考點(diǎn)按上述類似的方法從左向右遍歷整個(gè)曲面，從而得到完整鋪放線型．

2．1鋪放路徑規(guī)劃

在路徑規(guī)劃過程中同時(shí)兼顧鋪層力學(xué)方向和絲束的可鋪性的影響，通過利用絲束的有限變形，使復(fù)合材料結(jié)構(gòu)中纖維承載能力得到充分發(fā)揮．

2．1．1路徑規(guī)劃方法

一般曲面上路徑規(guī)劃基點(diǎn)的初始方向是鋪層力學(xué)設(shè)計(jì)要求的方向，但當(dāng)按照基點(diǎn)和初始方向生成整根鋪放路徑時(shí)，得到路徑上任意點(diǎn)的力學(xué)鋪放方向和測(cè)地線鋪放方向往往是不一致的．因此，在滿足構(gòu)件整體結(jié)構(gòu)性能的前提下，提出一種實(shí)用的路徑規(guī)劃方法．定義力學(xué)鋪放方向偏角與容許偏角的比例控制系數(shù)為

λV反映了路徑當(dāng)前點(diǎn)處鋪層力學(xué)的設(shè)計(jì)方向超出材料容許形變的程度．規(guī)劃過程中每步依靠當(dāng)前λV的值來確定當(dāng)前路徑點(diǎn)的合理鋪放方向，再根據(jù)所規(guī)劃的鋪放方向來計(jì)算下一路徑點(diǎn)PV+1．如圖5．

1)當(dāng)λV∈[0，1 ]，在絲束容許變形范圍內(nèi)，按路徑當(dāng)前點(diǎn)的力學(xué)鋪放方向進(jìn)行鋪放，鋪放質(zhì)量良好，能夠滿足構(gòu)件整體結(jié)構(gòu)性能要求，此時(shí)實(shí)際鋪放方向PVPV+1為力學(xué)鋪放方向PVPVS．

2)當(dāng)λV∈(1，λ ] (λ為鋪放工藝性的協(xié)調(diào)參數(shù)，它表示力學(xué)鋪放方向超出材料容許形變程度的可接受值，可根據(jù)構(gòu)件曲面外形、制造精度要求和絲束規(guī)格等鋪放路徑工藝設(shè)計(jì)原則綜合確定)，將實(shí)際鋪放方向PVPV+1取為材料容許的鋪放方向PVPVR．

3)當(dāng)λV∈(λ，∞ )，鋪放路徑當(dāng)前點(diǎn)的力學(xué)方向超出材料容許形變程度的可接受值，按照現(xiàn)有的曲面外形和絲寬以及鋪層力學(xué)方向的要求不能規(guī)劃出當(dāng)前路徑點(diǎn)PV處合理的鋪放方向，此時(shí)，可通過綜合考慮各影響因素，采用更窄的絲束進(jìn)行鋪放，或局部修改鋪層設(shè)計(jì)來微調(diào)力學(xué)鋪放方向．

圖5　力學(xué)鋪放方向偏角與材料容許偏角

鋪放路徑基點(diǎn)P0的方向與力學(xué)方向一致，因此在網(wǎng)格化曲面上，易于計(jì)算出路徑上與其相鄰點(diǎn)P1，當(dāng)前點(diǎn)PV的鋪放方向及下一路徑點(diǎn)PV+1的計(jì)算過程如下:

1)對(duì)相交于點(diǎn)PV的三角面片的法向量做凸組合來計(jì)算出該點(diǎn)處單位法向量nPV;根據(jù)向量PV－1PV，應(yīng)用測(cè)地線的法截面算法，求出路徑的測(cè)地線鋪放方向PVPG及點(diǎn)PG．

2)根據(jù)給定的參照向量PVPVC，應(yīng)用圖形變換原理和空間解析幾何理論計(jì)算出點(diǎn)PV處力學(xué)鋪放方向PVPVS及該方向與PVPG的夾角αVS．

3)在點(diǎn)PV的切平面上，已知絲束最小側(cè)彎半徑rmin，求出從PV－1的投影點(diǎn)到PV的近似轉(zhuǎn)角，此角度為點(diǎn)PV的鋪放方向PVPVR相對(duì)于向量PVPG的容許偏角αVmax在切平面上的投影．

4)根據(jù)相交于點(diǎn)PV的各線段間的幾何關(guān)系，計(jì)算出PVPV+1所在的三角面片與切平面交線的單位方向向量;再根據(jù)圖形變換原理和立體解析幾何理論，求出向量PVPVR及其相對(duì)于向量PVPG的偏角αVmax．

5)計(jì)算λV的值和確定下一路徑點(diǎn)PV+1

①λV∈[0，1 ]，點(diǎn)PV的鋪放方向PVPV+1取向量PVPVS的方向，點(diǎn)PV+1為向量PVPVS所表示的直線與點(diǎn)PV鄰域內(nèi)的網(wǎng)格邊的交點(diǎn);

②λV∈(1，λ ]，點(diǎn)PV的鋪放方向PVPV+1取向量PVPVR的方向，點(diǎn)PV+1為向量PVPVR所表示的直線與點(diǎn)PV鄰域內(nèi)的網(wǎng)格邊的交點(diǎn);

③λV∈(λ，∞)，點(diǎn)PV處不能計(jì)算出合理的鋪放方向，計(jì)算結(jié)束．

6)重復(fù)步驟1)～5)，計(jì)算出點(diǎn)PV+1的鋪放方向及其相鄰待規(guī)劃點(diǎn)，直到構(gòu)件邊界，或在某點(diǎn)處力學(xué)鋪放方向的偏角與材料容許的偏角間的比值大于λ，計(jì)算終止．連接P0、P1、…、PV、…，構(gòu)成鋪放路徑．

2．1．2路徑規(guī)劃驗(yàn)證

以某自由曲面鋪放路徑規(guī)劃為例進(jìn)行驗(yàn)證，在CATIA中將曲面模型網(wǎng)格化，轉(zhuǎn)化為STL文件，將其導(dǎo)入到VC++中進(jìn)行模型重構(gòu)，再對(duì)上述規(guī)劃過程進(jìn)行編程．給定預(yù)浸絲束的最小側(cè)彎半徑rmin=3 000 mm，鋪放工藝性的協(xié)調(diào)參數(shù)λ=1．5，鋪層力學(xué)的設(shè)計(jì)方向?yàn)?0°，基點(diǎn)的鋪放方向與力學(xué)方向重合．

圖6為測(cè)地線鋪放路徑、30°力學(xué)鋪放路徑和實(shí)際規(guī)劃的鋪放路徑示意圖，從圖6可以看出，開始時(shí)力學(xué)路徑與測(cè)地路徑比較接近，隨曲面上路徑點(diǎn)的曲率變化，二者分離，規(guī)劃所得到的路徑在這兩條路徑中間且靠近前者的一側(cè)．從仿真結(jié)果來看，達(dá)到了鋪放路徑規(guī)劃的目標(biāo)，驗(yàn)證了所規(guī)劃路徑的合理性．

圖6　鋪放路徑規(guī)劃算法驗(yàn)證

2．2覆蓋性分析

對(duì)于復(fù)雜構(gòu)件曲面，不能保證相鄰鋪絲路徑間的距離總是恒定值，若以相同的絲束數(shù)目進(jìn)行鋪放就會(huì)出現(xiàn)絲束帶間離縫或重疊．覆蓋性分析內(nèi)容包括線型規(guī)劃的初始參考點(diǎn)(線或面)、邊界處理和絲束增減位置計(jì)算．

2．2．1線型規(guī)劃的初始參考點(diǎn)

線型規(guī)劃的初始參考點(diǎn)位于曲面邊界上，要求沿鋪放方向的左側(cè)無待鋪區(qū)域，是線型的左極限點(diǎn)．如圖7，曲面邊界由曲線l0、l1、l2構(gòu)成，沿順時(shí)針方向遍歷整個(gè)邊界，采用定步長δ來求得線型的初始參考點(diǎn)Ci(N=［s/δ］，［］為取整運(yùn)算符，s為曲面邊界周長，i∈［1，N］)．點(diǎn)Ci處的法向量和力學(xué)方向分別為nCi和Ci S，過該點(diǎn)法向量為τCi的平面為FCi，其中τCi=nCi×CiS．在點(diǎn)Ci的領(lǐng)域內(nèi)選取m個(gè)考查點(diǎn)Ci1、Ci2、…、Cim，分別判斷這些點(diǎn)在平面FCi的左側(cè)或右側(cè)．若所有考查點(diǎn)都位于該平面的右側(cè)，則認(rèn)為點(diǎn)Ci為鋪放絲束帶的左極限點(diǎn)，同時(shí)將該點(diǎn)作為線型規(guī)劃的初始參考點(diǎn)．通過此方法求得的參考點(diǎn)可能有多個(gè)，但是求解線型的最終結(jié)果相同．

圖7　初始參考點(diǎn)與邊界處理

2．2．2線型規(guī)劃邊界處理

求得初始參考點(diǎn)Ci后，在被鋪曲面上將該點(diǎn)向垂直于Ci S方向右側(cè)偏移半個(gè)絲束帶寬，得到當(dāng)前鋪放路徑的基點(diǎn)Pi．如圖7，點(diǎn)Pi在待鋪曲面內(nèi)，計(jì)算出該點(diǎn)的力學(xué)方向Pi S．若按2．1節(jié)鋪放路徑規(guī)劃方法只能得到路徑PiPM(點(diǎn)PM為邊界上的鋪放路徑終點(diǎn))．為了求得完整的鋪放路徑，還需以點(diǎn)Pi向Pi S的反方向來求得另一路徑P0Pi(點(diǎn)P0為邊界上的鋪放路徑起始點(diǎn))，然后將這兩段路徑連接重構(gòu)，組成一條完整的鋪放路徑．反方向求解路徑方法與上述類似，在這里不再贅述．

以點(diǎn)P0為起始點(diǎn)，以點(diǎn)PM為終點(diǎn)進(jìn)行鋪放時(shí)，所得鋪放區(qū)域在點(diǎn)P0和PM處出現(xiàn)漏鋪的情況，如圖7區(qū)域A和B．為了能夠鋪滿這兩個(gè)區(qū)域，必須將該路徑向曲面外延伸．具體過程如下:以區(qū)域A鋪滿為例，求解第一個(gè)延伸點(diǎn)待鋪曲面上點(diǎn)P0的法向量為nP0，力學(xué)方向?yàn)镻0 S，令τP0=P0 S×nP0，過點(diǎn)P0作待鋪曲面的切平面T0．曲面上點(diǎn)P0處的絲束帶沿其寬度方向的測(cè)地線長度可近似為在該切平面上的帶寬，因此在T0平面上將點(diǎn)P0沿τP0方向平移單絲寬得到點(diǎn)后，再將點(diǎn)沿nP0反方向投影到曲面上得到點(diǎn)可近似為點(diǎn)P0右相鄰絲束路徑點(diǎn)．再按照2．1節(jié)鋪放路徑規(guī)劃的方法，以點(diǎn)反方向求得邊界上的點(diǎn)P01，連接點(diǎn)P01和構(gòu)成直線，將該直線沿τP0的反方向平移使得點(diǎn)與點(diǎn)P0重合，將點(diǎn)P01對(duì)應(yīng)的點(diǎn)看作為鋪放路徑的外延伸點(diǎn)．然后求解第二個(gè)延伸點(diǎn)將點(diǎn)P01在該點(diǎn)的切平面T01沿τP01方向平移單絲寬得到點(diǎn)后，求解點(diǎn)的方法與點(diǎn)相同．重復(fù)以上步驟，將路徑不斷向外延伸，直到下列情況停止延伸: 1)延伸點(diǎn)右側(cè)絲束數(shù)目為最大出絲數(shù)(總出絲n為偶數(shù)時(shí)，j=n/2; n為奇數(shù)時(shí)，j=(n + 1) /2)．2)當(dāng)將計(jì)算過程的點(diǎn)沿nP0j反方向投影時(shí)，在曲面上找不到對(duì)應(yīng)點(diǎn)．連接點(diǎn)構(gòu)成當(dāng)前路徑的延伸線．在區(qū)域B鋪滿的條件下，鋪放路徑的延伸點(diǎn)的求解方法與區(qū)域A類似，只是求解過程中所涉及的方向與區(qū)域A相反．連接點(diǎn)組成當(dāng)前鋪放路徑r0，保證了區(qū)域A和B能夠被鋪滿．更新當(dāng)前鋪放路徑和待鋪區(qū)域邊界，并以點(diǎn)對(duì)應(yīng)的鋪放右邊界上第一個(gè)點(diǎn))作為規(guī)劃下一鋪放路徑r1的參考點(diǎn)．確定了規(guī)劃參考點(diǎn)后，r1的求解過程與r0類似，依次求得待鋪曲面所有其它鋪放路徑．

2．2．3增絲和減絲位置計(jì)算

覆蓋性的目的是合理地分布絲束增/減位置，減小絲束帶間離縫或重疊．在這里引用重疊系數(shù)f (絲束帶間重疊部分寬度與單絲寬的比值)，最大重疊系數(shù)定義為fmax．為了確定絲束增/減位置，對(duì)于鋪放路徑上每個(gè)點(diǎn)都要計(jì)算出其對(duì)應(yīng)的絲束數(shù)目．

如圖8，待鋪區(qū)域邊界點(diǎn)C為當(dāng)前鋪放路徑的參考點(diǎn)，求得的鋪放路徑為r，規(guī)劃起始點(diǎn)(基點(diǎn)) P、鋪放起始點(diǎn)P0和終點(diǎn)PM，同時(shí)確定路徑延伸點(diǎn)(n為偶數(shù)時(shí)，j，k∈［1，n/2］; n為奇數(shù)時(shí)，j，k∈［1，(n + 1) /2］)．鋪絲頭沿路徑r從點(diǎn)進(jìn)行鋪放，可將路徑分為3段進(jìn)行覆蓋性分析．(1)鋪絲頭進(jìn)入待鋪曲面時(shí)，在點(diǎn)對(duì)應(yīng)的P0j進(jìn)行增絲操作;走出待鋪曲面，在點(diǎn)對(duì)應(yīng)的PMk進(jìn)行減絲操作．(2)鋪絲頭在待鋪曲面時(shí)，要計(jì)算出絲束數(shù)目來判斷絲束的增/減．

圖8　絲束增減位置計(jì)算

鋪放頭左側(cè)絲束增/減的判斷:當(dāng)前路徑點(diǎn)PV沿垂直于該點(diǎn)鋪放方向左側(cè)作測(cè)地線與邊界線的交點(diǎn)為，計(jì)算出測(cè)地線弧長為，則左側(cè)絲束的數(shù)目為

鋪放頭右側(cè)絲束增/減的判斷:鋪絲頭右側(cè)最大出絲數(shù)與左側(cè)相等．將當(dāng)前路徑點(diǎn)PV沿垂直于該點(diǎn)鋪放方向右側(cè)作測(cè)地線，如果該測(cè)地線向右延伸碰不到待鋪曲面邊界，則該測(cè)地線的長度最大長度為N'w，并計(jì)算出終點(diǎn);若碰到邊界，則計(jì)算出和交點(diǎn)．此時(shí)點(diǎn)為當(dāng)前路徑點(diǎn)PV處鋪絲頭的極右出絲點(diǎn)．再計(jì)算出右側(cè)絲束的數(shù)目判斷其與上一規(guī)劃點(diǎn)的左側(cè)絲束數(shù)目的關(guān)系．右側(cè)絲束增/減的判斷與左側(cè)相同，不再敘述．當(dāng)前路徑對(duì)應(yīng)的所有鋪絲頭極右出絲點(diǎn)依次連接而構(gòu)成的曲線作為下一鋪放路徑對(duì)應(yīng)的左邊界．

2．2．4線型規(guī)劃驗(yàn)證

在鋪放路徑驗(yàn)證的基礎(chǔ)上，給定單絲寬為5 mm、滿絲數(shù)目為6根和fmax=0．5，進(jìn)行線型規(guī)劃算法驗(yàn)證．圖9中，粗實(shí)線表示鋪放路徑，其兩側(cè)陰影區(qū)域表示絲束帶覆蓋范圍．兩相鄰路徑間顏色較深的區(qū)域?yàn)榻z束重疊部分，而白色部分為絲束帶間的間隙．從圖9中可看出，該曲面的鋪放過程中絲束數(shù)目有增有減，鋪放路徑向曲面外延伸．

由于受到構(gòu)建曲面外形、絲束變形能力和鋪層力學(xué)方向等因素的制約，在實(shí)際鋪放過程中就要求增/減絲束．一方面，對(duì)于絲束帶間的拼接，在合理的位置增/減絲束有助于提高鋪放效率和節(jié)約成本;另一方面，鋪放路徑向外延伸使得構(gòu)件曲面邊界能夠鋪滿，減少了構(gòu)件的后加工和原材料成本．根據(jù)以上分析和結(jié)合線型規(guī)劃結(jié)果，表明了這種規(guī)劃方法的有效性．

圖9　鋪放線型規(guī)劃效果

3　結(jié)　論

1)復(fù)雜曲面的鋪放路徑難以用精確的數(shù)學(xué)模型來表示，本文將曲面進(jìn)行網(wǎng)格化處理，應(yīng)用曲面微分幾何和空間解析幾何理論進(jìn)行分析計(jì)算，給出了絲束變形能力和鋪層方向約束條件下，能夠均勻鋪滿整個(gè)曲面的線型規(guī)劃方法．

2)該線型規(guī)劃算法引入了絲束最小彎曲半徑、鋪放方向容許偏角控制系數(shù)和最大重疊系數(shù)，很好地考慮了預(yù)浸絲束在鋪放過程中的形變適應(yīng)能力、鋪放制品的鋪層力學(xué)要求和規(guī)劃結(jié)果中絲束增減位置分布的要求．該規(guī)劃方法能充分利用絲束的有限變形，發(fā)揮纖維的承載能力，改善構(gòu)件鋪放質(zhì)量，提高鋪放效率和節(jié)約成本．

3)仿真結(jié)果表明，該線型規(guī)劃能協(xié)調(diào)處理力學(xué)方向和測(cè)地線方向不一致的情況，能根據(jù)重疊系數(shù)要求進(jìn)行合理的絲束增減處理，為解決自動(dòng)鋪放制造的實(shí)際工程應(yīng)用提供了一定的理論支持．

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(編輯楊波)

Pattern planning for the deformation of fiber tows and mechanics direction of placement layers

ZHANG Jifa1，HU Bin1，XU Dongliang1，ZHANG Xiaoyu2，LI Zhuoqiu2
(1．School of Mechanical and Electronic Engineering，Wuhan University of Technology，430070 Wuhan，China; 2．School of Science，Wuhan University of Technology，430070 Wuhan，China)

Abstract:To plan a reasonable placement pattern，this paper analyzes the influence of component surface shape，deformation of preimpregnated fiber tows and mechanics direction of placement layers on planning placement routes on the meshed surface，and presents a practical engineering approach for pattern planning．The deflection angles between geodesic direction and mechanical direction and allowable placement direction are calculated，respectively．Then，the multi-constraint placement directions are determined by proportional control coefficient of the deflection angles，and a new route point is obtained in turn．The placement route planning is implemented on the surface．In addition，to achieve a uniform covering surface，the overlap coefficient to the coverage analysis of placement pattern is introduced and the reasonable positions of increasing or decreasing fiber tows are calculated．Thus，the placement pattern planning is completed on the component surface．A placement pattern planning on a free form surface，for example，is used to verify the validity of these methods．

Keywords:preimpregnated fiber tows; placement route; pattern planning; allowable deflection angle; coverage analysis; boundary treatment

通信作者:徐東亮，xdl556@ 163．com．

作者簡介:張吉法(1974—)男，講師;李卓球(1950—)男，教授，博士生導(dǎo)師．

基金項(xiàng)目:國家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃(863計(jì)劃) (2013AA031306)．

收稿日期:2014－09－23．

doi:10．11918/j．issn．0367-6234．2016．01．026

中圖分類號(hào):V261; TP391

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

文章編號(hào):0367－6234(2016) 01－0172－08