能學(xué)，更會(huì)學(xué)

竇劍眉

在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，練習(xí)題目的數(shù)量大幅增加。很多教師和學(xué)生都熱衷于通過加大練習(xí)數(shù)量來鞏固知識(shí)學(xué)習(xí)效果，使課業(yè)負(fù)擔(dān)成倍增加。然而，大量做習(xí)題并不一定能使學(xué)習(xí)效果得到提高。即使教師在每一次課堂教學(xué)后都為學(xué)生布置很多練習(xí)，仍然會(huì)有不少學(xué)生頻繁出錯(cuò)。究其原因，問題并不是出在教師所布置的習(xí)題本身，而是解題之后對(duì)于習(xí)題的處理。解題之后的反思不足，會(huì)使數(shù)學(xué)習(xí)題的訓(xùn)練效果大打折扣。

一、尋找題中陷阱，促進(jìn)查缺補(bǔ)漏

什么樣的題目應(yīng)在解答后進(jìn)行反思？錯(cuò)題必然是首選。很多情況下，學(xué)生之所以會(huì)做錯(cuò)題，并不是知識(shí)點(diǎn)不清楚，而是沒有注意到題目中所設(shè)置的陷阱。這需要引起教師的重視。學(xué)生總是無法發(fā)現(xiàn)題中陷阱，表面看來是解題過程中疏忽了、馬虎了，實(shí)則是由于對(duì)一些容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的內(nèi)容不敏感、不清晰所導(dǎo)致的。因此，怎樣發(fā)現(xiàn)和識(shí)別題中陷阱，是解題后反思一個(gè)重要內(nèi)容。

例如，在運(yùn)用排列組合的知識(shí)進(jìn)行解題時(shí)，很多學(xué)生在這個(gè)問題的解答上都出現(xiàn)了問題：5個(gè)人分別編號(hào)為1，2，3，4，5，他們分別坐在編號(hào)為1，2，3，4，5的椅子上。那么，至多有兩個(gè)號(hào)碼一致的坐法有多少種？大多數(shù)學(xué)生都從對(duì)立事件的角度進(jìn)行考慮，認(rèn)為求出3個(gè)或4個(gè)號(hào)碼一致的情況，再做減法就可以了，于是有了A55-C35A22-1=99的答案。這道題出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因在于審題不清。當(dāng)3個(gè)號(hào)碼一致時(shí)，另兩個(gè)號(hào)便不能一致。即若選擇了1、2、3號(hào)一致，則4、5號(hào)人的坐法是唯一的，即A22種。正確解法應(yīng)為A55-C35-1=109。透過這個(gè)題設(shè)陷阱，學(xué)生清楚地看到了思考中的疏漏。

二、推廣一題多變，強(qiáng)化綜合能力

對(duì)所解題目進(jìn)行反思，其范圍不應(yīng)僅僅局限于該題目本身，而是要對(duì)之進(jìn)行最大限度的拓展，將每道習(xí)題的探究價(jià)值擴(kuò)充到最大。推廣一題多變，可以同時(shí)觸發(fā)一道題目中的多種可能性。在一題多變的過程中，一道題以不同形式予以展現(xiàn)，學(xué)生得以從多個(gè)側(cè)面與角度對(duì)知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行理解，能夠提高學(xué)習(xí)效果。

例如，我曾經(jīng)對(duì)這樣一道題目進(jìn)行拓展變化：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范圍。學(xué)生運(yùn)用函數(shù)思想進(jìn)行常規(guī)解答的比較多。在此基礎(chǔ)上，我繼續(xù)開辟思路，引導(dǎo)學(xué)生從換元、不等式和數(shù)形結(jié)合的角度出發(fā)，又分別通過三角換元、基本不等式及圓等方法順利求解。學(xué)生的知識(shí)體系一下子被打通了。隨后，我又將題目進(jìn)行改編，成為“已知x、y非負(fù)，M=a4+b4，a+b=1，求M的值”、“已知x、y≥0且x+y=1，求x8+y8的值”等形式，請(qǐng)學(xué)生繼續(xù)嘗試解答。

在落實(shí)一題多變過程中，教師可以突破變化題目本身這一界限，將觸角延伸至對(duì)于解題過程進(jìn)行變化上，也就是“一題多解”。對(duì)于比較典型、靈活的題目，即使學(xué)生已經(jīng)得出了正確解答，教師仍然應(yīng)將其他解答方法呈現(xiàn)給學(xué)生。每種不同的解法，都能開啟學(xué)生不同的思維角度，這對(duì)于提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果來講是具有積極意義的。

三、總結(jié)解題規(guī)律，提升學(xué)習(xí)效率

高中數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的習(xí)題數(shù)量和種類都是相當(dāng)龐大的。如果要求學(xué)生對(duì)之面面俱到地分別掌握，對(duì)于時(shí)間和精力都是一個(gè)極大的挑戰(zhàn)。為了提升解題效率，教師要將一些巧妙方法傳授給學(xué)生，從具體習(xí)題出發(fā)，總結(jié)解題規(guī)律。

例如，在學(xué)習(xí)數(shù)列時(shí)，出現(xiàn)了這樣一道習(xí)題：{an}是正項(xiàng)等比數(shù)列，且a1a5+2a3a5+a3a7=25，那么，a3+a5的值是多少？為了快速準(zhǔn)確求解，解答時(shí)需要運(yùn)用等比數(shù)列中am-pam+p=am2的性質(zhì)，將等式配方成為（a3+a5）2的形式便可輕松得到答案。由此，我?guī)ьI(lǐng)學(xué)生從中提煉出配方法的解題規(guī)律，并請(qǐng)學(xué)生運(yùn)用這一方法解答如下問題：已知，sin4α+cos4α=1，那么，sinα+cosα的值是多少？學(xué)生感到，配方這一解題規(guī)律的出現(xiàn)，使類似問題的解答難度明顯降低了。

經(jīng)過多次解題之后總結(jié)規(guī)律，學(xué)生深切感受到，一直以來的“點(diǎn)”式學(xué)習(xí)被串連成為了“線”式學(xué)習(xí)。知識(shí)點(diǎn)是具體的、零散的，而規(guī)律卻是系統(tǒng)的、普適的。在總結(jié)規(guī)律的同時(shí)，本身就是對(duì)解題過程的回顧與提煉，將得出的規(guī)律運(yùn)用到更多類似的數(shù)學(xué)題目中，能夠縮短思考時(shí)間，降低解題難度。因此，解題完成后，學(xué)生不要急于繼續(xù)解題，而是要回過頭來看一看，也許能夠從中發(fā)現(xiàn)更有價(jià)值的問題，從而提高學(xué)習(xí)效果。

總之，從某種意義上來講，解題后反思的過程要比解題過程本身更重要。如果在每一次解題之后都進(jìn)行深入到位的反思，不僅能從根本上夯實(shí)基礎(chǔ)，更能從中發(fā)現(xiàn)深化探索的入口，在反思的過程中，實(shí)現(xiàn)知識(shí)學(xué)習(xí)的升華。