數(shù)形有機(jī)結(jié)合關(guān)系自然求聯(lián)
——《平面圖形的面積關(guān)系》教學(xué)設(shè)計與思考

張翼文（特級教師）

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識技能：通過已學(xué)知識梳理，學(xué)生能自主地解答長方形、平行四邊形、三角形與梯形面積的問題。

2.數(shù)學(xué)思考：通過經(jīng)歷畫畫、說說、想想等數(shù)學(xué)活動，學(xué)生能主動理解梯形的面積公式對于長方形、平行四邊形、三角形的面積計算也是適用的。

3.問題解決：通過對長方形、平行四邊形、三角形與梯形的面積公式的溝通，學(xué)生能主動地解決一些相關(guān)問題，以此促進(jìn)數(shù)學(xué)推理能力的提升。

4.情感態(tài)度：通過數(shù)學(xué)探索活動，學(xué)生感受事物間的相互聯(lián)系，并體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合看問題的內(nèi)在魅力，從而激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

【教學(xué)過程】

一、出示課題，談話引入

師：今天我們一起來研究《平面圖形的面積關(guān)系》，你看了這個課題后，你覺得哪個詞是這節(jié)課的關(guān)鍵詞呢？（板書：平面圖形的面積關(guān)系）

生：我認(rèn)為應(yīng)該是“圖形”。

生：我認(rèn)為應(yīng)該是“關(guān)系”。

生：我認(rèn)為應(yīng)該是“面積”。

師：同學(xué)看法不一致，那怎么辦？

生：往下學(xué)習(xí)就可以知道了！

師：那我們就往下研究即可知。

【設(shè)計意圖：課堂伊始，師生圍繞課題進(jìn)行簡單對話，既能集中學(xué)生注意力，又能喚起探索的心向與欲望?！?/p>

二、回顧梳理，主動探索

1.知識的簡單回顧與梳理。

（1）媒體出示，并說一說以下幾種平面圖形的面積計算公式。

（2）梳理展示。

S長方形=a×b

S平行四邊形=a×h

S三角形=a×h÷2

S梯形 =（b+a）×h÷2

（3）問題暗示，引入探索。

師:這幾個平面圖形的面積計算過程中，你覺得哪個相對麻煩些呢？為什么？

生：我們認(rèn)為梯形的面積計算相對麻煩些，因?yàn)?，計算的步驟會多些。

師：今天就從計算相對比較煩的梯形面積公式開始研究，看能否給我們帶來什么啟示？

【設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)對原有的幾種平面圖形的面積計算的知識進(jìn)行簡單回顧與梳理，這樣面向全體的活動，可以夯實(shí)學(xué)生基礎(chǔ)，起到溫故而知新的效果。同時，在師生對話交流過程中，教師具有一定傾向性的問題暗示，可以進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的探索欲望，為課堂后續(xù)學(xué)習(xí)注入熱情?！?/p>

2.任務(wù)驅(qū)動，實(shí)踐操作。

（1）任務(wù)驅(qū)動。

活動要求：請在下面格子圖內(nèi)畫出高為4厘米，面積為20平方厘米的梯形。

（每個小正方形的邊長為1厘米。）

（2）自主實(shí)踐。（略）

（3）匯報交流。

師：完成這個作品前，你們是怎么想的呢？

生：我是用梯形公式倒過來推算的，求出梯形的上下底之和（即面積20乘2除以高4，得到上下底之和為10），然后確定上底為4，下底為6，最后再畫的。

（4）展示作品。

師：老師也準(zhǔn)備好這四幅作品，為了便于看清楚，老師已經(jīng)按等比例擴(kuò)大。

（逐一把四幅作品展示黑板上）

【設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)通過畫梯形這一任務(wù)驅(qū)動，促使學(xué)生對計算梯形面積相關(guān)知識的有意回憶，過程中學(xué)生進(jìn)行有序地思考，學(xué)習(xí)任務(wù)完成的過程即思行合一的過程，進(jìn)一步使學(xué)生知其然亦知其所以然?！?/p>

三、問題驅(qū)動，溝通聯(lián)系

1.對話感知，引發(fā)思考。

師：上下底之和為10，高為4的梯形，只能畫出這四幅作品嗎？

生：如果梯形上下底的長度不一定是整數(shù)，可以是小數(shù)的話，那就有很多可能？

師：你們明白他剛才說的意思嗎？你們能舉例說明嗎？

生：上底為3.5,下底為6.5,高為4。

生:上底為1.8,下底為8.2,高為4。

……

師:有多少種呢?

生:有無數(shù)種情況。

……

【設(shè)計意圖：此環(huán)節(jié)通過啟發(fā)式的引導(dǎo)，順其自然地促進(jìn)學(xué)生解決問題所需采集的數(shù)據(jù)從整數(shù)向小數(shù)延伸，伴隨著學(xué)生的思維就由局限走向開放，彰顯了課堂動態(tài)推進(jìn)的過程中變與不變、有限與無限的關(guān)系?！?/p>

2.問題跟進(jìn)，素材展現(xiàn)。

師：如果老師也來說幾種，可以嗎？

生：贊同！

師：上底為 0.9，下底為 9.1，高為 4；（實(shí)物展示黑板上，并標(biāo)把上下底數(shù)據(jù)標(biāo)上）

上底為0.8,下底為9.2,高為4;

上底為0.2,下底為9.8,高為4;

上底為0.1,下底為9.9,高為4。

……

【設(shè)計意圖:此環(huán)節(jié)通過師生對話，教師適機(jī)有選擇地展現(xiàn)一些梯形,并標(biāo)有相關(guān)數(shù)據(jù),為接下來,學(xué)生進(jìn)行長方形、平行四邊形、三角形與梯形的面積計算公式進(jìn)行有效溝通提供直觀的素材。換句話說，也就是要促進(jìn)學(xué)生思維走向深刻是需要教師幫助學(xué)生搭建“腳手架”的。】

3.數(shù)形結(jié)合，觀察發(fā)現(xiàn)。

師：請仔細(xì)觀察以上一組梯形，你有什么發(fā)現(xiàn)，或有什么想說的嗎？

生：從左往右看，我發(fā)現(xiàn)梯形的上底越來越短，下底越來越長。

生：從左往右看，我發(fā)現(xiàn)梯形越來越像三角形了。

師：大家都觀察到了嗎？

（學(xué)生點(diǎn)頭默許）

師：你們是怎么看出來的呢？

生：我是從并排梯形樣子看出來的。

生：我發(fā)現(xiàn)，如果梯形上底越來越短，越來越短，它就會變成三角形。

生：我不太同意他的觀點(diǎn)，因?yàn)樘菪紊系妆M管越來越小，越來越小，但是再小，還是有長度的，只是我們看圖形像三角形，實(shí)際上還是梯形。

師：你們同意他的觀點(diǎn)嗎？

（學(xué)生點(diǎn)頭表示同意）

師：你們很會觀察與思考，這正如華羅庚先生所說“數(shù)缺形少直觀，形缺數(shù)難入微”。如果我們單從形看，越往右的梯形肉眼看就是三角形，如果看上下底提供的數(shù)據(jù)來看，哪怕上底越來越小，但是它還是梯形，只有當(dāng)數(shù)與形結(jié)合起來看，我們來分析問題就會更合理。

……

【設(shè)計意圖：從環(huán)節(jié)中可以看出，學(xué)生在課堂中精彩對話源自于適合的素材，本環(huán)節(jié)提供一組上下底標(biāo)有變化數(shù)據(jù)的梯形實(shí)物圖，幫助學(xué)生可以數(shù)形結(jié)合進(jìn)行有效觀察，并發(fā)現(xiàn)梯形與三角形之間的微妙關(guān)系，以此適機(jī)進(jìn)行梯形面積公式適用于三角形的面積計算的有效溝通。以此真正意義上落實(shí)“數(shù)缺形少直觀，形缺數(shù)難入微”之?dāng)?shù)形結(jié)合幫助學(xué)生進(jìn)行合情推理的課堂教學(xué)理念?！?/p>

4.適機(jī)整合，溝通聯(lián)系。

（1）引導(dǎo)溝通。

師：大家剛才發(fā)現(xiàn)，越往右梯形的上底越來越小，如果我把梯形上下底標(biāo)上字母（在展示的圖形上標(biāo)出）。上底越來越小，也就是上底A點(diǎn)與B點(diǎn)慢慢逼近，AB點(diǎn)之間的距離越來越小，距離越來越接近“0”，如果 AB點(diǎn)距離為“0”時，那梯形就成為三角形；這時候三角形的面積可以怎么計算呢？

生：（0+10）×4÷2。

（2）自主求聯(lián)。

師：梯形的面積公式也適用于三角形的面積。

（并規(guī)范板書 S三角形 =（b+a）×h÷2(b=0)）

（3）整體求聯(lián)。

師：從左往右來看以下梯形的上底不斷變長，如果繼續(xù)增長，梯形又可能變成什么圖形呢？

生：平行四邊形。

師：那么梯形的面積也適用于平行四邊形。

（板書示意溝通梯形、三角形、平行四邊形、長方形的面積關(guān)系圖）

（4）適機(jī)點(diǎn)題。

師:到現(xiàn)在為止,你明白這個課題的關(guān)鍵詞應(yīng)該是什么呢?

生:應(yīng)該是“關(guān)系”！（異口同聲地說）

【設(shè)計意圖：此環(huán)節(jié)通過適當(dāng)?shù)膯栴}驅(qū)動，引領(lǐng)學(xué)生靜態(tài)觀察與動態(tài)思考，從而促進(jìn)梯形面積公式適應(yīng)于三角形、平行四邊形與長方形的面積計算進(jìn)行“無縫”對接，正如蘇格拉底所描寫的教師好似“助產(chǎn)師”，教學(xué)行進(jìn)過程中不斷助推學(xué)生的學(xué)習(xí)引向深處?！?/p>

四、學(xué)以致用，解決問題

1.基礎(chǔ)性練習(xí)。

下面四個圖形的面積相等，另外三個圖形的底是多少？（口答）

2.實(shí)踐性練習(xí)。

（1）在上底為8，下底為10的梯形中添上一條線，使它分成兩個面積相同的部分，你有幾種不同的畫法？并用數(shù)據(jù)表示出結(jié)果。

（2）把上底為8，下底為10的梯形分成面積相等的平行四邊形、三角形與梯形的三部分，你能完成嗎？并用數(shù)據(jù)表示出結(jié)果。

3.綜合性練習(xí)。

拓展題：求出陰影部分的面積

【設(shè)計意圖：練習(xí)設(shè)計應(yīng)該體現(xiàn)一定的層次性和靈活性。目的之一是夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)，基礎(chǔ)知識和基本技能是學(xué)生發(fā)展的根本，教學(xué)中不能淡化；另一方面讓學(xué)生的思維走向深刻，著眼學(xué)生的后續(xù)發(fā)展。】