以《分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)》為例談數(shù)感培養(yǎng)

田秋月 黃利群 盛玲燕 徐偉榮

“數(shù)感”是小學(xué)數(shù)學(xué)核心概念之一，2001年版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》指出，數(shù)感主要表現(xiàn)在“理解數(shù)的意義，能用多種方法表示數(shù)，能在具體情境中把握數(shù)的相對大小，能用數(shù)來表達(dá)和交流信息，能為解決問題選擇適當(dāng)?shù)乃惴ǎ芄烙嬤\(yùn)算結(jié)果，并對結(jié)果的合理性做出解釋”?；诖耍瑑赡陙砉P者所在教研團(tuán)隊從五個維度在小學(xué)高段學(xué)生中開展了“數(shù)感”培養(yǎng)的實(shí)踐研究，這五個維度分別是：估算結(jié)果合理化、計算方法多樣化、算法解釋個性化、運(yùn)算方式簡便化、計算結(jié)果準(zhǔn)確化。現(xiàn)以《分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)》一課教學(xué)為例，嘗試說明我們在實(shí)踐中的一些做法，以求教大家。

【教材分析】

《分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)》位于浙教版新思維五年級下冊第二單元，主要內(nèi)容包括分?jǐn)?shù)單位相乘、幾分之幾乘幾分之幾的算法、算理及應(yīng)用。計算教學(xué)都有著共同的特點(diǎn)，即要在理解算理的基礎(chǔ)上探索算法、歸納法則。分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計算法則簡單說來有兩句話“分子相乘的積做分子，分母相乘的積做分母”、“過程中能約分的先約分”。從算理上看，分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算和整數(shù)的四則運(yùn)算在本質(zhì)上是一樣的，不同的是整數(shù)運(yùn)算中，整數(shù)的基本單位是“1”，而分?jǐn)?shù)的單位是多義的。分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理是分?jǐn)?shù)的意義的運(yùn)用，本質(zhì)是產(chǎn)生了新的分?jǐn)?shù)單位，如可理解為“把平均分成5份、取其中的1份，相當(dāng)于把單位‘1’平均分成15份、取其中的1份，就是”。這兩個分?jǐn)?shù)單位相乘得到新的分?jǐn)?shù)單位可以看成××2×4，即（2×4）個，就等于。

【教學(xué)與反思】

我們從“數(shù)感”培養(yǎng)的五個維度來反思教學(xué)設(shè)計與實(shí)施過程，突出研究指向，聚焦學(xué)生在“數(shù)感”方面的表現(xiàn)。

一、估算結(jié)果合理化

逐一呈現(xiàn)下列圖形，整體部分快速閃現(xiàn)并消失，學(xué)生通過留存下來的涂色部分回憶、想象其各占整個圖形的幾分之幾。

【評析：“分?jǐn)?shù)的意義”是本課開展學(xué)習(xí)活動的基礎(chǔ)，以游戲形式呈現(xiàn)的“涂色部分占整個圖形的幾分之幾”既增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的趣味性，又起到了復(fù)習(xí)舊知的作用（為后續(xù)探究埋下“作圖分析”的伏筆）。“閃現(xiàn)”是為了達(dá)成快速估測的目的，數(shù)感水平一方面取決于估算值的精確度，另一方面也以估算反應(yīng)的快慢來呈現(xiàn)。在接下來探索精確值之前，也請學(xué)生先估一下乘積的大小或取值范圍，不僅對運(yùn)算方法的推導(dǎo)有幫助，也是對運(yùn)算結(jié)果合理性的評估?！?/p>

二、計算方法多樣化及算法解釋個性化

方法一：方格圖均分法

將長方形紙看成單位“1”，把單位“1”平均分成5份，一份就是。

生：第一次平均分成5列，第二次平均分成2行，5列2行，5×2=10（份）。

師：怎么看出是10份？

生：第一次平均分成5列，第二次把每列再平均分成2列，5個2，就是10列。

方法二：線段圖均分法

師：還有別的畫法嗎？

生：題目要求平均分，后面4份也都要平均分成2份，從圖中知道的就是整個的。

方法三：圓形圖均分法

生：我是通過畫圓的方法，把5個圓形這個整體當(dāng)成單位“1”，一個圓形就是，再將每個圓平均分成2份，一份就是整個的。

師：方法一、二、三都是畫圖，你有什么想說的？

生：畫的圖形不同——長方形、線段、圓形。

師：僅僅是圖形形狀上的區(qū)別嗎？

生：方法一和方法二是把一個長方形或線段當(dāng)成單位“1”，而方法三是把5個圓形整體當(dāng)成單位“1”。

師：說得很棒！這是不同之處，那它們有相同點(diǎn)嗎？

生：把方法一的豎著分的圖壓扁就成了方法二的線段，再把線段“養(yǎng)胖”就成了方法三的圓形。

師：分的過程中有什么相同之處嗎？

生：單位“1”先被平均分成5份，第二次被平均分成10份。

師：經(jīng)過兩次平均分，什么發(fā)生了改變？

方法四：分?jǐn)?shù)小數(shù)互化法（推導(dǎo)1）

師：誰來點(diǎn)評一下這種方法？

生：把新知識轉(zhuǎn)化成上個學(xué)期學(xué)過的小數(shù)乘法很方便，但有些分?jǐn)?shù)不能化成有限小數(shù)。

師：根據(jù)分?jǐn)?shù)與小數(shù)的關(guān)系來推導(dǎo)，你的聯(lián)系能力很強(qiáng)！那么，有適用于所有分?jǐn)?shù)乘法的推導(dǎo)方法嗎？

方法五：分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系推導(dǎo)法（推導(dǎo)2）

生：其實(shí)和方法四是相同的，只是方法四除出了小數(shù)的商，而這里只是用除式表示。

師：你們找到了分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，還在思考它們的相同點(diǎn)，太棒了！

方法六：積不變的性質(zhì)化整法（推導(dǎo)3）

【評析：隨著“數(shù)感”課題研究的實(shí)施，學(xué)生的解題思路趨向多樣化、解決問題的策略更加靈活，這些方法不是憑空而出，都是在已有知識和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的拓展和延伸。方法多樣化不是簡單的羅列和重復(fù)，其過程也并非停留在形式上的多樣，而是基于不同理解所帶來的不同思路，學(xué)生在探求知識的發(fā)生、發(fā)展的過程中經(jīng)歷著差異化的思維方式，為總結(jié)、概括出更有價值的、更普適性的、應(yīng)對不同問題的最優(yōu)化方法創(chuàng)造了可能。另外，即使是對同樣的算法也可能有著不同的理解和解釋，同樣是畫圖，也有數(shù)感水平的差異。教學(xué)中強(qiáng)調(diào)學(xué)生用自己的理解來表達(dá)自己的思考，為自己的算法尋找依據(jù)，這種個性化的算法解釋就是在用數(shù)來表達(dá)和交流信息，增強(qiáng)了數(shù)感體驗(yàn)。】

三、運(yùn)算方式簡便化

師：這么多方法看起來各不相同，但它們之間是否有相同之處？

生：畫圖和推導(dǎo)兩種方式都說明幾分之一乘幾分之一，分母相乘做分母，分子都是1。

師：從最后的結(jié)論上，我們都能看到這樣的相同點(diǎn)。為什么分母是10，分子是1呢？

師：是的，不管是圖示，還是推導(dǎo)，我們都能發(fā)現(xiàn)分母10是原來兩個分母相乘的積，分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位發(fā)生了變化。那分子呢？

生：分子也是原來兩個分子的積。

生：不好說，這里只能體現(xiàn)出來是1。

師：現(xiàn)在能總結(jié)一下分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計算方法了嗎？

生：用分子相乘的積作分子，用分母相乘的積作分母。

生：我是用方法五分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)的：

師：剛才研究分?jǐn)?shù)單位相乘有六種方法，現(xiàn)在怎么只用推導(dǎo)的方法？

生：掌握了運(yùn)算的法則，直接用最簡單。

【評析：運(yùn)算方式簡便化是基于算理剖析之后對計算法則的概括和歸納。教師在引導(dǎo)學(xué)生比較算法的相同點(diǎn)時，說明不管是圖示還是推導(dǎo)，根據(jù)“分?jǐn)?shù)的意義”都可以看出分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的本質(zhì)是產(chǎn)生了新的分?jǐn)?shù)單位，這個新分?jǐn)?shù)的分母等于原來兩個分?jǐn)?shù)的分母的乘積，進(jìn)而，再推導(dǎo)出分子也等于原來兩個分?jǐn)?shù)的分子的乘積。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)概括出計算法則，讓學(xué)生覺得運(yùn)用法則計算的簡便性，促進(jìn)了算理和算法的對照、理解?！?/p>

四、計算結(jié)果正確性

1.填空題。

2.根據(jù)算理填空。

3.解決問題。

【評析：計算結(jié)果的正確性是課堂教學(xué)質(zhì)量的直接檢驗(yàn)，也是學(xué)生數(shù)感水平量化的直接顯現(xiàn)。通過學(xué)生現(xiàn)場反饋，這三題全班正確率 100%（共 36人），只有一位同學(xué)的結(jié)果未在過程中約分；全班都運(yùn)用計算法則進(jìn)行計算?！?/p>