《封閉圖形中的植樹問題》教學(xué)思考

王立松 李 偉

一、教學(xué)前思

《封閉圖形中的植樹問題》是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書（2014版）五年級上冊新增加的內(nèi)容，它是在教學(xué)沿著一定的線段路線植樹（兩端都植和一端植一端不植）之后的封閉圖形的植樹問題。對于新課改中增加的教學(xué)內(nèi)容，我們在教學(xué)中要理解增加背后的意圖，把握教學(xué)的整體目標，在學(xué)生的經(jīng)驗中尋找興趣點、提升點。

本單元《數(shù)學(xué)廣角》主要滲透有關(guān)植樹問題的一些思想方法，通過現(xiàn)實生活中一些常見的實際問題，借助線段圖等手段讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，抽取出其中的數(shù)學(xué)模型，然后用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來解決生活中的簡單實際問題，通過比較讓學(xué)生理解在封閉曲線上植樹與一端植一端不植中的植樹問題的聯(lián)系。

與原實驗教材相比，本次修訂后的《植樹問題》新增了《封閉圖形中的植樹問題》（新教材例3），將原來的“圍棋盤”（原實驗教材例3）移至練習(xí)二十四的第14題。另外，教材在“做一做”和練習(xí)中增加了“圓形滑冰場安裝路燈”和“項鏈上的水晶”等生活實際問題，一方面激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望；另一方面幫助學(xué)生多角度、有效地體會和運用植樹問題的數(shù)學(xué)思想和方法。

二、教學(xué)過程

1.創(chuàng)設(shè)情境，引入問題。

師：同學(xué)們喜歡玩游戲嗎？

生：（齊）喜歡。

師：你們喜歡玩“搶凳子”的游戲嗎？（喜歡）

（6人和5張凳子，每次淘汰1人，誰最后還能坐到凳子誰就是冠軍）

師：從這個游戲中你了解到了哪些數(shù)學(xué)信息？

生：6個人搶5張凳子，就像我們前面學(xué)過的兩端都植樹的問題。

師：它們有什么相同之處和不同之處？

生：相同之處就是6人就相當(dāng)于6棵數(shù)，5張凳子就相當(dāng)于5個間隔數(shù)；不同之處兩端都植樹是一條線段，而搶凳子是首尾相接的曲線，如果從一張凳子拿開并拉直就是一條線段的植樹問題。

師：說得太好了，今天這節(jié)課我們就來研究《封閉圖形的植樹問題》。（板書課題）

2.多元表征，感知模型。

（1）出示例 3：

張伯伯準備在圓形池塘周圍栽樹。池塘的周長是120m，如果每隔10m栽一棵，一共要栽多少棵樹？

你從題中知道了哪些信息？

這個植樹問題和以往的問題有什么不同？

（一個是線段，一個是封閉圖形）

師：就是這個問題，請用你喜歡的方法進行研究。

（2）借助操作，探究規(guī)律。

①初步體驗，化繁為簡。

師：我們用一個圓表示120米的池塘，每隔10米栽一棵樹，大家可以用自己喜歡的圖案表示樹，每隔10米栽一棵樹，照這樣一棵一棵栽下去……是不是很麻煩？

生：很麻煩。

師：為什么覺得麻煩？

生：因為120米里面有12個10米，畫起來比較麻煩。

師：我們可以先選取120米中一小段來研究。

②教師演示，直觀感知。

教師邊演示邊說明。

師：我們選取120米中的40米來研究。

用一個圓表示40米，每隔10米栽一棵樹。

如圖，我們把這個圓平均分成幾份？

也就是幾個間隔數(shù)？栽了幾棵樹？

③化曲為直，再度感知。

師：如果把圓拉直成線段，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（發(fā)現(xiàn)封閉圖形和在不封閉圖形中的“一端栽一端不栽”中棵數(shù)和間隔數(shù)的關(guān)系是一樣的，都是棵數(shù)等于間隔數(shù)。）

（3）借助表格，驗證規(guī)律。

師：不用畫圖，如果這個池塘是 10米、20米、30米、40米……又應(yīng)該栽幾棵樹呢？請同學(xué)們拿出學(xué)習(xí)紙，填寫表格。

（4）比較歸納，理解規(guī)律。

師：比較這兩種方法，你發(fā)現(xiàn)“封閉圖形中的植樹問題”中的間隔數(shù)和棵數(shù)有什么關(guān)系？

生：間隔數(shù)=棵樹。

（5）及時鞏固，強化規(guī)律。

師：同學(xué)們明白了封閉圖形中的植樹問題的間隔數(shù)和棵數(shù)之間的關(guān)系，老師出幾道題考考大家：6個間隔數(shù)種了幾棵樹？10棵數(shù)有幾個間隔數(shù)？操場周圍栽了8棵數(shù)，每兩棵樹之間的距離是25米，這個操場的周長是多少米？

3.回歸生活，實際應(yīng)用。

（1）完成“做一做”。

出示“做一做”：圓形滑冰場的一周全長是150m。如果沿著這一圈每隔15m安裝一盞燈，一共需要裝幾盞燈？

師：用你喜歡的方法，解決這個問題。

（2）完成“練習(xí)二十四”第12題。

出示題目：一條項鏈長60cm，每隔5cm有一顆水晶。這條項鏈上共有多少顆水晶？

（3）張大爺在正方形魚塘邊上植樹，每邊等距離植樹10棵（四個角都植樹），每兩棵樹之間距離4米。魚塘的周長是多少米？

（4）20名同學(xué)在老師畫好的圓形場地周圍玩“丟手絹”游戲。開始的時候，他們每兩人間的間隔是2米。玩了一會兒，有12名同學(xué)被淘汰，剩下的同學(xué)繼續(xù)玩，間隔應(yīng)改為多少米才公平？

（5）完成“練習(xí)二十四”第14題。

課件出示圍棋棋盤，并將最外層分別放3枚、4枚、5枚……學(xué)生畫圖填表并理解。

4.對比小結(jié)，暢談收獲。

（1）暢談收獲。

師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？

（2）對比小結(jié)。

師：回憶一下，“植樹問題”有幾種類型？每種類型中棵數(shù)與間隔數(shù)之間有什么關(guān)系？

三、教后思考

學(xué)生在學(xué)習(xí)本課前已經(jīng)接觸了植樹問題，會解決在一條線段中的植樹問題（兩端都栽、只栽一端或兩端都不栽），了解了栽的棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系。本課主要研究封閉圖形上的植樹問題，重點是讓學(xué)生在頭腦中建立解決此類問題的模型，如何讓學(xué)生建立起封閉植樹和線段植樹的聯(lián)系是教學(xué)的關(guān)鍵。因此在設(shè)計教學(xué)時，主要通過學(xué)生課前預(yù)習(xí)，課上采用生活游戲引入、演示感官探索規(guī)律等，激活學(xué)生的生活經(jīng)驗，動態(tài)反饋學(xué)生思維，溝通知識之間的聯(lián)系，有效地突破教學(xué)難點，主要表現(xiàn)為以下幾個方面：

1.關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的方式與方法。

學(xué)生在學(xué)習(xí)了例1和例2后，對植樹問題有了一定的經(jīng)驗和基礎(chǔ)。在教學(xué)例3時，教師要引導(dǎo)學(xué)生認真觀察發(fā)現(xiàn)與前面植樹問題的相同點和不同點，再通過小組合作交流，自主探究，讓學(xué)生領(lǐng)會封閉圖形中植樹問題就相當(dāng)于一端栽一端不栽的情況。

2.注重建立模型的對比與溝通。

學(xué)生學(xué)習(xí)植樹問題的難點之一就是容易將兩端都栽、一端栽另一端不栽和兩端都不栽三種情況混淆。在學(xué)習(xí)完例3后，教師引導(dǎo)學(xué)生將這三種情況進行了對比與溝通，把只有一端栽作為基本的模型，再與兩端栽或兩端都不栽的實際情況進行比較，便于學(xué)生理解和記憶。

3.培養(yǎng)學(xué)生運用的意識與能力。

通過基本練習(xí)（“做一做”和練習(xí)二十四的第12題）和變式練習(xí)（求魚塘周長、“丟手絹”游戲和練習(xí)二十四的第14題），培養(yǎng)學(xué)生靈活運用所學(xué)知識的應(yīng)用意識和能力。求魚塘的周長是將封閉圖形中的圓形轉(zhuǎn)化成長方形；“丟手絹”游戲則是植樹問題數(shù)學(xué)模型的逆向應(yīng)用，是讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)和理解植樹問題中的“總長”、“間隔數(shù)長度”、“間隔數(shù)”和“棵數(shù)”之間的聯(lián)系；而棋盤中的植樹問題是從封閉圖形中的曲線到正方形，引導(dǎo)學(xué)生通過填表格，讓學(xué)生認真觀察、分析、思考，發(fā)現(xiàn)其中蘊含的規(guī)律，即“每邊放的棋子數(shù)”、“每邊間隔數(shù)”和“最外層總數(shù)”之間的關(guān)聯(lián)。