基于學(xué)生視角探尋數(shù)學(xué)概念引入的有效性
——《2倍和一半》教學(xué)磨課與思考倪燦東

倪燦東 朱燕鋒

【第一次教學(xué)】

2倍的概念理解是學(xué)生建立幾倍的概念起始，其實(shí)質(zhì)是同數(shù)相加。在第一次教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，筆者從“先引入2倍”入手，重視學(xué)生對“倍”概念的培養(yǎng)，借助童趣的情境努力將直觀的形和抽象的數(shù)巧妙結(jié)合，讓學(xué)生“心中有數(shù)”，發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系。

（出示情境圖：2只包子，3個(gè)蘋果，4顆糖）

師：美羊羊剛要吃包子，懶羊羊就說了：2只包子太少了，再來一份。同學(xué)們，再來一份是什么意思？

生：就是再來2個(gè)包子。

師：原來的2個(gè)包子為一份，再來一份就是增加一份（教師貼圖）。那么增加的一份和原來的一份有什么關(guān)系？

生：新增加的一份和原來的一份是一樣的。

師：現(xiàn)在桌上有幾個(gè)包子？你能用算式來表示嗎？

生：4個(gè)，2+2=4個(gè)。

師：這里的兩個(gè)2分別表示什么意思？

生：第一個(gè)2表示原來1份的2個(gè)，第二個(gè)2表示增加的1份。

（3個(gè)蘋果、4顆糖教學(xué)過程略）

師：同學(xué)們請你觀察一下，原來的 2、3、4 與現(xiàn)在的 4、6、8有什么關(guān)系？

生：原來的2個(gè)再加2個(gè)就是4個(gè)，原來的3個(gè)再加3個(gè)就是6個(gè)，原來的4顆再加4顆就是8顆。

師：是的，在原來一份的基礎(chǔ)上，再增加與它相同的一份，就有2份，這2份所代表的數(shù)量就是原來1份數(shù)的2倍。2+2=4，所以我們說2的2倍是4。（板書2倍）你會(huì)這樣說嗎？

生：3+3=6，3的 2倍是6。

生：4+4=8，4的 2倍是8。

【反思：2倍概念認(rèn)識(shí)的直接基礎(chǔ)是“一個(gè)數(shù)里面有2個(gè)幾”的認(rèn)識(shí)。課始教師提出“再來一份”是什么意思？通過學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生能體會(huì)到原來的2個(gè)包子為一份，再來一份就是增加與之相同的一份。再結(jié)合貼圖演示，學(xué)生對于2個(gè)2的認(rèn)識(shí)似乎順理成章。接著3個(gè)蘋果2倍和4顆糖的2倍依次展開，總結(jié)歸納后引出2的2倍，3的2倍，4的2倍。在這樣步步為營的教學(xué)引入中，筆者試圖慶幸自己破解了2倍認(rèn)識(shí)的難題，繼而再進(jìn)行“一半”的教學(xué)必然勢如破竹。然而教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)：1.學(xué)生還僅僅停留在2個(gè)相同的相加關(guān)系，不能上升到結(jié)果的數(shù)和運(yùn)算的數(shù)之間的2倍關(guān)系。2.再來一份學(xué)生有生活經(jīng)驗(yàn)，但是學(xué)生的已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)是“一個(gè)數(shù)里面有幾個(gè)幾”，即4可以分成2和2。3.整個(gè)操作過程，教師為操作而操作，把操作、理解概念沒有有機(jī)地結(jié)合起來。讓學(xué)生看著擺出的圖來說概念，這樣才能降低理解和表述的難度?！?/p>

【第二次教學(xué)】

鑒于第一次的教學(xué)效果不盡理想，筆者決定循著學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)——一個(gè)數(shù)里面有幾個(gè)幾，從一半的教學(xué)引入，再進(jìn)行2倍概念的教學(xué)。

師：同學(xué)們，懶羊羊請來了喜羊羊和美羊羊一起吃東西?，F(xiàn)在它們有4個(gè)包子，6個(gè)蘋果，8顆糖?？磻醒蜓虼蛩愠远嗌伲?/p>

（出示：每樣?xùn)|西都吃一半）

師：4個(gè)包子的一半是多少？怎么分？

生：4個(gè)包子的一半是2個(gè)，每人分2個(gè)包子。

（教師板演分的過程）

師：4個(gè)包子把它分成同樣多的2份，每一份都是2個(gè)包子，其中的一份就是一半。

師：現(xiàn)在老師把4分成幾和幾？

生：2和 2。

師：我們就說4的一半是2。

小結(jié)：像這樣分到的只數(shù)相同這種分法叫做對半平分。一半就是對半平分后的其中一份。

（3個(gè)蘋果，4顆糖教學(xué)過程略）

【反思：在第二次的教學(xué)調(diào)整中，先進(jìn)行一半的認(rèn)識(shí)再接著進(jìn)行2倍的認(rèn)識(shí)，學(xué)生似乎在理解上更加順暢點(diǎn)。但是筆者發(fā)現(xiàn)：1.本課的難點(diǎn)在于2倍與一半的互逆關(guān)系理解。而分解引入兩者概念的教學(xué)中似乎很難實(shí)現(xiàn)難點(diǎn)突破。2.2倍與一半的概念是數(shù)與數(shù)之間的一種客觀存在。人為割裂二者，進(jìn)行分開的教學(xué)引入，固然能降低學(xué)生理解的難度，但也打破了學(xué)生對于數(shù)與數(shù)之間這種互逆關(guān)系理解的整體性?！?/p>

【第三次教學(xué)】

根據(jù)以上兩次教學(xué)實(shí)踐，筆者繼續(xù)進(jìn)行反思與分析：本課的概念引入不能進(jìn)行人為的割裂，2倍與一半應(yīng)當(dāng)是相伴而生，可以同時(shí)呈現(xiàn)在學(xué)生面前?；趯W(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，一半的理解應(yīng)當(dāng)易于2倍的理解，也應(yīng)當(dāng)先與2倍的呈現(xiàn)。

在概念的理解上，要實(shí)現(xiàn)由具體到抽象的過程，在實(shí)物理解的基礎(chǔ)上可以更多的實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化，讓學(xué)生走向?qū)?shù)與數(shù)之間的理解。

1.認(rèn)識(shí)一半和2倍。

師：同學(xué)們，懶羊羊請來了喜羊羊一起吃東西。首先它請喜羊羊吃包子,有4個(gè)包子,看懶羊羊打算怎么安排？（出示：喜羊羊和懶羊羊都吃一半）

師：4個(gè)包子的一半是多少？怎么分？

生：4個(gè)包子的一半是2個(gè)，每人分2個(gè)包子。

師：4個(gè)包子把它分成同樣多的2份，每一份都是2個(gè)包子，其中的一份就是一半。

師：現(xiàn)在老師把4分成幾和幾？

生：2和2。

師：我們就說4的一半是2。

小結(jié)：像這樣分到的個(gè)數(shù)相同的分法叫做對半平分。一半就是對半平分后的其中一份。

師:如果我們把2個(gè)包子看作一份，那么4個(gè)包子里有幾個(gè)這樣的一份？

師：我們一起來圈一圈，數(shù)一數(shù)。原來4個(gè)包子有2個(gè)這樣的一份，也就是2個(gè)2。像這樣我們就說原來的包子數(shù)是每人吃的包子數(shù)的2倍。

（板書：4是2的2倍）

……

2.一半和2倍的自我表達(dá)。

師：你能找出2個(gè)數(shù)，說一說( )是( )的一半，( )是( )的2倍嗎？

生：10是20的一半，20是10的2倍。

生：50是100的一半，100是50的2倍。

3.進(jìn)一步建構(gòu)2倍和一半的互逆關(guān)系。

例：找規(guī)律填數(shù)。

小結(jié)：2倍就是把2個(gè)相同的數(shù)相加，2倍后的數(shù)變大；一半就是把一個(gè)數(shù)分成2個(gè)相同的數(shù)，一半后的數(shù)變小了。

【反思：通過三次教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)踐，筆者認(rèn)為一年級學(xué)生樂于在故事情境、生活原型和實(shí)踐操作中，感知并理解2倍與一半的含義。1.情境中，教師讓學(xué)生幫忙分一分，回憶起已有的知識(shí)基礎(chǔ)，再發(fā)現(xiàn)數(shù)的關(guān)系，以更深刻地感受“一個(gè)數(shù)里面有2個(gè)幾”與“2倍”的聯(lián)系，在圖片操作演示和動(dòng)手圈一圈中，讓學(xué)生獲得豐富感性認(rèn)識(shí)，使抽象知識(shí)具體化、形象化。比較中突出：要看一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的2倍，就看這個(gè)數(shù)里面有2個(gè)幾，提升了思維的水平。2.對于數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)識(shí)和理解，有時(shí)需要具有豐富的生活經(jīng)驗(yàn)背景，讓生活經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)“有效對接”，使得日常生活經(jīng)驗(yàn)“數(shù)學(xué)化”。因此，我們要善于捕捉生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將生活經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過程，積累“數(shù)學(xué)化”的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在這節(jié)課上，教師積極創(chuàng)設(shè)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生經(jīng)歷探索、發(fā)現(xiàn)的過程。】