換顆心整個(gè)世界就變了
——兼評(píng)張聰聰、陸旭芳兩位老師《負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)》一課

劉 松（特級(jí)教師）

按照學(xué)校校本研訓(xùn)的傳統(tǒng)慣例（第一學(xué)期相對(duì)集中教師活動(dòng)，第二學(xué)期相對(duì)集中學(xué)生活動(dòng)），2016學(xué)年第一學(xué)期剛剛開(kāi)學(xué)，第十二屆“文海之星”教學(xué)比武活動(dòng)就轟轟烈烈地開(kāi)始了。為了充分發(fā)揮學(xué)校九年一貫制辦學(xué)的優(yōu)勢(shì)，加強(qiáng)中小學(xué)銜接及學(xué)科整合，集團(tuán)師訓(xùn)中心發(fā)出了“中小學(xué)老師同上一節(jié)課”的倡議，筆者甚感興趣。數(shù)學(xué)組有兩位老師不約而同地選擇了《負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)》一課，如此一節(jié)可謂被研究透了的課，兩位老師又會(huì)有怎樣的創(chuàng)新和突破呢？帶著問(wèn)題和好奇心，筆者參與了兩位老師從定好選題到最終課堂展示的全過(guò)程。

張聰聰老師是一位工作還不到三年的小學(xué)老師，雖然年輕，但有著省級(jí)優(yōu)秀大學(xué)生背景的她，不僅教學(xué)基本功扎實(shí)，而且教學(xué)研究也頗有套路。為了充分了解學(xué)情，抓準(zhǔn)教學(xué)的起點(diǎn)。課前，她專門(mén)組織了隨機(jī)抽樣測(cè)試，測(cè)試對(duì)象為本校80名五年級(jí)學(xué)生，具體數(shù)據(jù)如下。

由前測(cè)分析情況可以發(fā)現(xiàn)，本校五年級(jí)的學(xué)生對(duì)于正負(fù)數(shù)的寫(xiě)法，基本上已經(jīng)掌握。但關(guān)于正負(fù)數(shù)是一對(duì)相反意義的量，學(xué)生的理解不深刻，在用自己的話說(shuō)說(shuō)什么是負(fù)數(shù)時(shí)，沒(méi)有一個(gè)學(xué)生從相反意義的角度解讀。在數(shù)軸上找數(shù)，接近三分之一的學(xué)生有困難。關(guān)于“0”的歸屬問(wèn)題，更是學(xué)生的難點(diǎn)所在。

前測(cè)內(nèi)容 前測(cè)情況分析1.請(qǐng)寫(xiě)出三個(gè)正數(shù)和三個(gè)負(fù)數(shù)。78人正確寫(xiě)出正負(fù)數(shù)，但一律寫(xiě)的是正、負(fù)整數(shù)，占97.5%；1人只寫(xiě)出正整數(shù)；1人寫(xiě)了正整數(shù)和正小數(shù)。2.如果向東走5米記作+5，向西走10米記作（ ）。71人正確填寫(xiě)出負(fù)數(shù)，占88.75%；5人未填；4人填了正數(shù)。3.請(qǐng)你在數(shù)直線上找 出 0.5、-1、-1 2和-3.5。65人正確在數(shù)軸上找出各數(shù)，占68.75%；25人找不出負(fù)數(shù)的位置，占32.25%。4."0"是正數(shù)還是負(fù)數(shù)？17人認(rèn)為“0”既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，占21.25%；61人認(rèn)為“0”是正數(shù)，占76.25%；1人認(rèn)為“0”是負(fù)數(shù)；1人填寫(xiě)“不知道”。5.用自己的話說(shuō)說(shuō)什么是負(fù)數(shù)。69人認(rèn)為負(fù)數(shù)是比0小的數(shù)，占86.25%；6人認(rèn)為負(fù)數(shù)是帶“-”的數(shù)；3人認(rèn)為負(fù)數(shù)是小數(shù)減大數(shù)產(chǎn)生的；2人填“不知道”。

好教師不僅要讀懂教材，還要讀懂學(xué)生。優(yōu)質(zhì)教學(xué)的前提是優(yōu)質(zhì)的教學(xué)供給，而優(yōu)質(zhì)教學(xué)供給的前提則是教與學(xué)的針對(duì)性，即教學(xué)是否真正滿足了學(xué)生的需要，也就是否真正關(guān)注了學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及困惑點(diǎn)等。試想，教師若只是照本宣科，或者僅是從自己的角度出發(fā)，講的都是學(xué)生已知的，學(xué)生真正困惑和需要幫助的卻不提及，教學(xué)何談?dòng)行?，更談不上?yōu)效。從此意義上回看張老師的教學(xué)，教師在課堂上使力的方向十分明確，加之其充分關(guān)注到了學(xué)生的年齡學(xué)習(xí)特征，大量使用課件直觀演示，激活了學(xué)生豐富的生活經(jīng)驗(yàn)，教學(xué)效果還是不錯(cuò)的。正如她在課后交流中所言，本節(jié)課選取了學(xué)生熟悉的并與生活息息相關(guān)的情境，整堂課緊緊以“-3”為抓手。在探究意義的環(huán)節(jié)，首先從四個(gè)不同情境中引出“相反意義”；接著從小試牛刀的練習(xí)中突出“相反意義”；再?gòu)淖穯?wèn)中強(qiáng)化“相反意義”；最后小結(jié)提升“相反意義”。隨著教學(xué)一步步地展開(kāi)，加深了學(xué)生對(duì)負(fù)數(shù)意義的理解，凸顯了負(fù)數(shù)的本質(zhì)——是作為與正數(shù)相反意義的量而存在。同時(shí)，巧妙地把溫度計(jì)旋轉(zhuǎn)并抽象為數(shù)直線，更加深了學(xué)生對(duì)負(fù)數(shù)的直觀印象。在練習(xí)環(huán)節(jié)，有意增加盈虧問(wèn)題，滲透了負(fù)數(shù)的計(jì)算，進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)到負(fù)數(shù)與生活的密切聯(lián)系。如此教學(xué)，既開(kāi)放又聚攏，簡(jiǎn)約但不簡(jiǎn)單。不僅突出了負(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)，而且尊重了學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)。所以，好的教學(xué)關(guān)鍵是要在如何教才能更有利于學(xué)生學(xué)的層面上做出有針對(duì)性的突破。

但若細(xì)細(xì)品味張老師的教學(xué)，則不乏別人（尤其是名家）的影子。對(duì)年輕教師而言，此無(wú)可非議，甚至是必需的。但從個(gè)人專業(yè)發(fā)展的長(zhǎng)遠(yuǎn)角度看，若能在繼承與發(fā)揚(yáng)的基礎(chǔ)上，再有適當(dāng)光大與創(chuàng)新，可能就更好了。在她的課后反思中，這一點(diǎn)她自己似乎也略有省悟。

陸旭芳老師則是一位有著多年初中教學(xué)經(jīng)歷的資深教師。從課前慎思、課堂實(shí)錄及課后反思中，我們可以清晰地感覺(jué)到陸老師身上明顯的中學(xué)老師烙印——密度大、題量多、難度深等。由于長(zhǎng)期在九年一貫制學(xué)校工作的緣故，經(jīng)常聽(tīng)到許多初中部老師抱怨，聽(tīng)小學(xué)老師的課感覺(jué)太不過(guò)癮了，究其原因就是小學(xué)老師的課堂難度系數(shù)太低，信息量偏少。當(dāng)然，這不是小學(xué)老師的錯(cuò)，是學(xué)生年齡特點(diǎn)及接受程度使然。由于中考指揮棒及壓力的存在，初中教師當(dāng)然要更多地考慮難度、密度、深度等問(wèn)題，這絕不會(huì)僅僅表現(xiàn)在陸老師一個(gè)人身上。

筆者經(jīng)常跨中小學(xué)部聽(tīng)課，對(duì)此現(xiàn)象總結(jié)了一句口頭禪：小學(xué)老師若不聽(tīng)中學(xué)老師的課，不知道自己是多膚淺；中學(xué)老師若不聽(tīng)小學(xué)老師的課，不知道自己是多死板。所以極力呼吁若有可能，中小學(xué)老師要經(jīng)?；ハ嗦?tīng)課，尤其小學(xué)中高段與初中部教師。事實(shí)上，張聰聰老師課中絕對(duì)值的意義、相反數(shù)的概念及負(fù)數(shù)沒(méi)有最大及最小的極限思想的滲透等，就是在聽(tīng)了陸老師的試教課后，受到啟發(fā)后改變的，從而使教學(xué)在濃濃的生活氣息中，平添了些許數(shù)學(xué)的味道。當(dāng)然，陸老師的教學(xué)一點(diǎn)也不死板，不僅密度大、題量多，甚至把中考題都搬進(jìn)了小學(xué)課堂，難能可貴的是，“學(xué)為中心”的教學(xué)理念在她的課堂上也得到了較好的體現(xiàn)。其中，課的核心板塊——解讀負(fù)數(shù)的意義，基本上都是由學(xué)生自主完成的。筆者非常欣賞陸老師說(shuō)過(guò)的三句話：既不能淺嘗輒止，也并非要冰凍三尺；既不能相對(duì)簡(jiǎn)單，也不能過(guò)于復(fù)雜；既不能流于形式，也不能丟失本質(zhì)……是面對(duì)六年級(jí)學(xué)生教學(xué)負(fù)數(shù)時(shí)應(yīng)該注意的問(wèn)題。從這三句話就可以看出，陸老師課前也在思考教學(xué)的針對(duì)性問(wèn)題，而且思考地相對(duì)更深、更廣、更適切。

陸老師不愧為中學(xué)教師，能以相對(duì)較高的視點(diǎn)審視小學(xué)數(shù)學(xué)。對(duì)于負(fù)數(shù)的產(chǎn)生，許多小學(xué)教師的做法是，僅僅從相反意義量的角度解釋。整節(jié)課往往從相反意義量開(kāi)始，又在相反意義量中結(jié)束。相反意義量當(dāng)然是重要的，甚至怎么強(qiáng)調(diào)也不為過(guò)。但反觀數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，相反意義量并非說(shuō)明負(fù)數(shù)產(chǎn)生的唯一或全部，其產(chǎn)生還與解方程相關(guān)。筆者最最欣賞的，是陸老師課的開(kāi)始及結(jié)尾設(shè)計(jì)，以列方程解決實(shí)際問(wèn)題為背景，從數(shù)系擴(kuò)充的角度引入并結(jié)束，不僅使整節(jié)課首尾呼應(yīng)、渾然一體，更重要的是，本節(jié)課學(xué)生收獲的不只是負(fù)數(shù)的知識(shí)，還學(xué)會(huì)了從知識(shí)發(fā)生的本源處思考問(wèn)題，繼而會(huì)用發(fā)展的眼光看待數(shù)學(xué)，自然也就深刻理解了數(shù)學(xué)，順帶還學(xué)會(huì)了學(xué)習(xí)。學(xué)生以后再遇到一個(gè)新的數(shù)的概念，可能就會(huì)自我追問(wèn)：為什么又要產(chǎn)生新的數(shù)?。吭瓉?lái)的數(shù)系怎么又不夠用了？新數(shù)的概念是從什么角度思考的？……試想，學(xué)生若能人人如此，教學(xué)的價(jià)值豈不最大化矣！

哲人說(shuō)：樹(shù)有多高，影子就有多長(zhǎng)。最亮眼處往往就是盲區(qū)。陸老師課的引入就是“56-58”的問(wèn)題，若能在結(jié)束時(shí)從加減法封閉性的角度多提一句，在沒(méi)有引入負(fù)數(shù)的概念時(shí)，減法是不可以像加法一樣具備封閉性的，引入負(fù)數(shù)后，減法就和加法平起平坐，也具備了封閉性（任意兩個(gè)數(shù)都可以互相相減）。如此，本節(jié)課的數(shù)學(xué)味道就會(huì)更上一層，其意義可能比那幾道簡(jiǎn)單的中考題要大得多。

在兩位老師磨課期間，筆者也隨機(jī)采訪了一些學(xué)生，發(fā)現(xiàn)部分聰明（或家教比較好）的小學(xué)生，甚至在一二年級(jí)，就知道3-4等于-1，但追問(wèn)-1表示什么意思，卻都說(shuō)不清。其實(shí)，這一點(diǎn)都不能怪學(xué)生。關(guān)于負(fù)數(shù)的合理性問(wèn)題，甚至一些大名鼎鼎的世界級(jí)數(shù)學(xué)家一開(kāi)始都是不接受的，比如帕斯卡認(rèn)為從0減去4是純粹的胡說(shuō)，帕斯卡的朋友阿潤(rùn)德還提出一個(gè)有趣的說(shuō)法，來(lái)反對(duì)負(fù)數(shù)，他說(shuō)（-1）：1=1：（-1），那么較小的數(shù)與較大的數(shù)的比怎么能等于較大的數(shù)與較小的數(shù)的比呢？直到1712年，連萊布尼茲也承認(rèn)這種說(shuō)法合理。就在一百多年前，英國(guó)重量級(jí)的數(shù)學(xué)家——德·摩根，還說(shuō)負(fù)數(shù)是荒唐的數(shù)。他特意舉了一個(gè)例子：“父親56歲，他兒子29歲，問(wèn)幾年后父親的歲數(shù)是兒子的兩倍？”通過(guò)列方程解得x=-2，他認(rèn)為這個(gè)結(jié)果是太荒唐了！即便如此，這一點(diǎn)也不影響這些大數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)史上的貢獻(xiàn)及美譽(yù)度。其之所以不接受，是受思維定勢(shì)及局限所致。當(dāng)我們把0的意義只理解為代表什么也沒(méi)有時(shí)，從0減去4當(dāng)然就是純粹的胡說(shuō)。筆者查閱了大量相關(guān)的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)錄，發(fā)現(xiàn)許多老師也這樣問(wèn)學(xué)生：0代表什么也沒(méi)有，怎么可以減4呢？殊不知，如此設(shè)問(wèn)，恰恰把學(xué)生帶進(jìn)了迷魂陣。試想，連一些世界級(jí)大數(shù)學(xué)家都理解不了的問(wèn)題，讓小學(xué)生怎么可以解釋得清楚。

隨著兩位老師不斷的試教，筆者也燃起了走上講臺(tái)的熱情，決定親自嘗試。當(dāng)然，除了學(xué)習(xí)借鑒以上兩位老師及眾多老師的優(yōu)秀做法以外，筆者最最關(guān)心的有一點(diǎn)，就是如何讓學(xué)生徹底明白負(fù)數(shù)的合理性。受自己上《分?jǐn)?shù)的意義》時(shí)突破單位“1”（離散量的集合）認(rèn)知的設(shè)計(jì)啟發(fā)，當(dāng)問(wèn)學(xué)生1加1等于幾時(shí)，學(xué)生無(wú)一例外都說(shuō)是2，當(dāng)然正確，且永遠(yuǎn)正確。但當(dāng)轉(zhuǎn)換思考問(wèn)題的角度時(shí)，1加1還等于1，在數(shù)學(xué)上也是成立的，如何理解？當(dāng)學(xué)生能想到諸如一塊橡皮泥加一塊橡皮泥、還是一塊橡皮泥等例子時(shí)，對(duì)離散的量的整體也可以看作是1的意義就不言自明了。既然如此，負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)為什么不可以從0切入呢？當(dāng)我們不把0只看作無(wú)，而是轉(zhuǎn)換角度，0還可以代表有，而且是真實(shí)的存在時(shí)（諸如起點(diǎn)、分界點(diǎn)等），那么，負(fù)數(shù)的合理性是否就更容易理解了呢。實(shí)踐證明，如此教學(xué)，學(xué)生理解起來(lái)順暢多了。事實(shí)上，對(duì)于0的“有”的意義的理解，不僅小學(xué)生容易忽視，雖然他們經(jīng)常使用尺子（各種尺子上幾乎都有0起點(diǎn)的標(biāo)示），我們成人可能也不例外。今年暑期，筆者帶家人到法國(guó)度假，在巴黎住酒店時(shí)，期間好多次拿著房卡跑錯(cuò)樓層，不僅是我們這些中國(guó)游客，甚至負(fù)責(zé)開(kāi)車的意大利司機(jī)也不例外。原因就是酒店的樓層設(shè)置與國(guó)內(nèi)不同，國(guó)內(nèi)一般是不設(shè)0層的，而在巴黎，0層是真實(shí)的存在，這讓我們這些中國(guó)游客一開(kāi)始很不適應(yīng)。出于職業(yè)的習(xí)慣，筆者當(dāng)時(shí)就想，如果整個(gè)歐洲的酒店樓層都是如此設(shè)置，那么學(xué)負(fù)數(shù)時(shí)，也許西方的孩子可能比中國(guó)的孩子理解起來(lái)會(huì)容易些，可他們的上述先輩們咋就那么“糊涂”呢。

貫通 0“無(wú)”和“有”的兩種意義，還有一個(gè)更大的好處，那就是對(duì)本節(jié)課難點(diǎn)的理解。通過(guò)大量前后測(cè)數(shù)據(jù)分析及學(xué)生訪談可知，本節(jié)課的最難理解之處就是0的歸屬問(wèn)題?？赡苁鞘茏匀粩?shù)包含0的影響，許多學(xué)生總認(rèn)為0是正數(shù)，即便是有些學(xué)生知道0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，但當(dāng)追問(wèn)他們?yōu)槭裁矗ɑ蛟趺蠢斫猓r(shí)，他們卻大都說(shuō)不清理由。筆者在試教時(shí)，一位學(xué)生給出了精彩的回答：在數(shù)直線上我們可以清楚地看出，有+5就會(huì)有-5、有+3就會(huì)有-3、有+1就會(huì)有-1……正數(shù)和負(fù)數(shù)總是成對(duì)出現(xiàn)的，而0則不然。假如有+0，在數(shù)直線上就是從0起點(diǎn)開(kāi)始，向正方向（右）移動(dòng)0個(gè)單位長(zhǎng)，而0個(gè)單位長(zhǎng)就等于沒(méi)有，也就是沒(méi)動(dòng)，還在原地；同理，假如有-0，在數(shù)直線上就是從0起點(diǎn)開(kāi)始，向負(fù)方向（左）移動(dòng)0個(gè)單位長(zhǎng)，而0個(gè)單位長(zhǎng)也等于沒(méi)有，也就是沒(méi)動(dòng)，也還在原地。+0、-0都還是它自己，所以，0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。在落實(shí)深度學(xué)習(xí)獲得廣泛共識(shí)的當(dāng)下，如此教學(xué)，是否比僅僅說(shuō)0就是分界點(diǎn)（分界線）要更進(jìn)一步呢。

哲人說(shuō)，作為凡人的我們，改變不了世界，但可以改變自己。只要換顆心，整個(gè)世界就變了。教學(xué)又何嘗不是如此呢？“不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中?！碑?dāng)我們能嘗試從多角度觀察、思量并能做到融會(huì)貫通時(shí)，解決問(wèn)題的曙光自然就會(huì)出現(xiàn)了。