電力牽引貨運(yùn)列車節(jié)能運(yùn)行研究(一)：目標(biāo)速度曲線優(yōu)化

楊 杰，賈利民，盧少鋒，李卓玥

(1.北京交通大學(xué) 軌道交通控制與安全國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100044；2.江西理工大學(xué) 電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，江西 贛州 341000；3.西交利物浦大學(xué) 電氣與電子工程系，江蘇 蘇州 215123)

貨運(yùn)鐵路作為我國交通運(yùn)輸體系的重要組成部分，具有運(yùn)量大、成本低、污染小、連續(xù)性強(qiáng)的特點(diǎn)，對(duì)國民經(jīng)濟(jì)發(fā)展起著重要的基礎(chǔ)性、支撐性和服務(wù)性的作用。目前，我國鐵路運(yùn)輸總里程已經(jīng)突破12萬km。軌道交通在帶來便捷、高效運(yùn)輸服務(wù)的同時(shí)，也帶來了巨大的能源消耗。2014年我國國家鐵路能源消耗折算標(biāo)準(zhǔn)煤高達(dá)1 653萬t[1]。在能源、交通擁堵、空氣污染備受關(guān)注的今天，大力發(fā)展鐵路貨運(yùn)及其節(jié)能運(yùn)行越來越重要。

列車節(jié)能運(yùn)行控制是典型的非線性、多約束、多目標(biāo)的復(fù)雜時(shí)變過程，可分為控制目標(biāo)速度曲線優(yōu)化和目標(biāo)速度跟蹤控制兩大環(huán)節(jié)。其中，目標(biāo)速度曲線是控制系統(tǒng)跟蹤的對(duì)象，其動(dòng)態(tài)優(yōu)化涉及能耗機(jī)理建模、運(yùn)動(dòng)學(xué)分析、智能優(yōu)化等內(nèi)容。目標(biāo)速度跟蹤控制主要是針對(duì)列車運(yùn)行控制的時(shí)滯性、非線性和干擾的隨機(jī)性，設(shè)計(jì)安全穩(wěn)定性好、魯棒性強(qiáng)、自適應(yīng)范圍大的智能控制系統(tǒng)。該領(lǐng)域國內(nèi)外相關(guān)研究所采用的方法樹狀圖如圖1所示。

圖1 列車節(jié)能運(yùn)行控制國內(nèi)外研究方法樹狀圖

Sidelnikov最早提出了運(yùn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求解水平軌道無限速條件下的列車運(yùn)行模型[2]。1982年，南澳大學(xué)在Milroy的倡導(dǎo)下成立了交通控制小組SCG(Scheduling and Control Group)，30多年來，該團(tuán)隊(duì)的Howlett、程家興、Benjamin、Pudney、Xuan、Albrecht等專家與學(xué)者基于極大值原理證明了加速、勻速、惰行、制動(dòng)模態(tài)的存在，并基于理想的平直道給出了惰行-制動(dòng)模態(tài)切換點(diǎn)的速度值與勻速模態(tài)速度值之間的數(shù)學(xué)關(guān)系[3-8]。

目標(biāo)速度曲線優(yōu)化領(lǐng)域單篇引用率最高的兩篇文章分別來自Khmelnitsky[9]和Rongfang Liu & Golovitcher[10]，兩篇文章都是基于極大值原理解決任意坡道、任意限速變化、運(yùn)行阻力與列車所處位置有關(guān)的問題。文獻(xiàn)[9]以動(dòng)能為變量建立節(jié)能操縱模型，提出了數(shù)值求解算法。該方法基于極大值原理確定最優(yōu)速度曲線應(yīng)該包含的基本模態(tài)，通過對(duì)勻速值的迭代來唯一確定速度曲線。該方法的難度在于如何才能快速找準(zhǔn)勻速值或拉格朗日乘子。文獻(xiàn)[10]通過構(gòu)建共軛方程和互補(bǔ)松弛條件方程來幫助分析Hamiltonian方程。作者詳細(xì)歸納了不同控制模態(tài)出現(xiàn)的條件，分析了各種限速突變的場景，探討了控制模態(tài)的轉(zhuǎn)換條件，提出了模態(tài)轉(zhuǎn)換點(diǎn)的數(shù)值求解方法。但作者提出了當(dāng)列車處于陡下坡時(shí)為了維持速度恒定而存在部分制動(dòng)(Partial Braking)模態(tài)，本文并不贊同。因?yàn)榧词乖诙赶缕鲁霈F(xiàn)列車重力在下坡方向上的分量大于運(yùn)行阻力的情況時(shí)，也可以通過提前惰行而保持整個(gè)區(qū)段的通過時(shí)間相對(duì)穩(wěn)定，充分利用了列車勢能，減少了牽引時(shí)間，節(jié)約能耗。

文獻(xiàn)[11,12]針對(duì)列車節(jié)能運(yùn)行中的制動(dòng)能量回饋與管理問題，用動(dòng)態(tài)規(guī)劃和非線性優(yōu)化等方法來搜索列車運(yùn)行狀態(tài)點(diǎn)背后的能耗信息，求解能源管理的優(yōu)化策略，并對(duì)多種列車速度曲線優(yōu)化算法進(jìn)行了對(duì)比分析，同時(shí)建議運(yùn)用復(fù)合算法來提高系統(tǒng)的魯棒性。文獻(xiàn)[13]用非線性約束下的運(yùn)動(dòng)方程對(duì)列車運(yùn)行過程進(jìn)行描述，將極大值與司機(jī)駕駛經(jīng)驗(yàn)相結(jié)合，對(duì)由牽引力積分構(gòu)建的能耗目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行模型求解。在再生制動(dòng)受到越來越多關(guān)注的背景下，文獻(xiàn)[14,15]系統(tǒng)研究了電機(jī)能量轉(zhuǎn)換效率、接觸網(wǎng)饋電損耗、車載超級(jí)電容能量存儲(chǔ)等問題，以系統(tǒng)的電流和電壓為變量，利用梯度下降法和逐步二次規(guī)劃對(duì)理想平直道上的列車節(jié)能運(yùn)行進(jìn)行速度曲線優(yōu)化研究。迭代算法可以在數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上以迭代的方式進(jìn)行仿真與搜索計(jì)算，該方法具有比較理想的計(jì)算效率。但在較為復(fù)雜的工程應(yīng)用背景下，往往需要以工程化的方式對(duì)問題進(jìn)行簡化處理，這些簡化也勢必會(huì)影響計(jì)算的精度。

當(dāng)限速、坡道等約束條件比較復(fù)雜，傳統(tǒng)的最優(yōu)控制理論不適用的時(shí)候，許多學(xué)者采用了智能計(jì)算對(duì)可行操縱策略進(jìn)行搜索。文獻(xiàn)[16]針對(duì)列車的最佳惰行問題，綜合考慮列車的正點(diǎn)性、舒適性、節(jié)能性，采用遺傳算法來進(jìn)行多目標(biāo)尋優(yōu)，在列車發(fā)車前得到惰行控制表。文獻(xiàn)[17]在深入研究不同遺傳算法特性的基礎(chǔ)上，采用常規(guī)的遺傳算法來搜索地鐵列車單個(gè)惰行點(diǎn)的最優(yōu)方案，運(yùn)用分層遺傳算法解決具有多個(gè)惰行點(diǎn)的惰行策略優(yōu)化問題。文獻(xiàn)[18,19]綜合運(yùn)用了遺傳算法和粒子群算法的搜索功能，以及模糊邏輯對(duì)目標(biāo)特性的合理描述，對(duì)高速列車的列車時(shí)刻表優(yōu)化和節(jié)能駕駛統(tǒng)籌考慮，以模糊線性規(guī)劃對(duì)時(shí)刻表優(yōu)化及司機(jī)的響應(yīng)進(jìn)行建模，以遺傳算法進(jìn)行方案尋優(yōu)。遺傳算法不需要對(duì)約束條件和優(yōu)化對(duì)象進(jìn)行精確的數(shù)學(xué)建模，但搜索的隨機(jī)性大，最優(yōu)性無法保證，在搜索精度要求較高的時(shí)候計(jì)算量會(huì)很大。更重要的是，運(yùn)用遺傳算法得到的運(yùn)行方案往往控制級(jí)位變化頻率和幅度都較大，而列車操縱則要求控制手柄位的變化要盡可能的小，以保證列車的運(yùn)行平穩(wěn)，降低列車機(jī)械、電氣系統(tǒng)的損耗。

文獻(xiàn)[20-22]對(duì)列車節(jié)能運(yùn)行以及與運(yùn)行圖聯(lián)合優(yōu)化等進(jìn)行了研究。

1 問題描述

現(xiàn)有研究成果顯示，列車節(jié)能運(yùn)行包括如圖2所示的最大加速、勻速、惰行、最大制動(dòng)四個(gè)模態(tài)[5]。圍繞這四個(gè)模態(tài)對(duì)其切換點(diǎn)的求解，特別是惰行模態(tài)的起始點(diǎn)與結(jié)束點(diǎn)的關(guān)系，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量卓有成效的研究工作。

圖2 四階段理論示意圖

對(duì)于理想的平直道，問題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確地找到兩個(gè)速度值：一是勻速模態(tài)的速度值Vh，二是惰行模態(tài)向制動(dòng)模態(tài)切換的制動(dòng)起始點(diǎn)的速度值Vb。根據(jù)計(jì)劃運(yùn)行時(shí)分和運(yùn)行距離，采用勻速值-制動(dòng)點(diǎn)的二維窮舉法可以求出理想平直道的最優(yōu)目標(biāo)速度曲線。固定運(yùn)行時(shí)分下，不同Vh與Vb的速度曲線對(duì)比如圖3所示。

圖3 理想平直道上基于Vh-Vb二維窮舉策略示意圖

二維窮舉法雖然能夠比較出能耗最低的目標(biāo)速度曲線，如圖3中的紅色曲線，但是運(yùn)算量較大，在實(shí)際線路條件下難以適用。目前比較常用的方法是運(yùn)用最優(yōu)控制、演化算法以及一些混合智能算法來尋求速度曲線或者部分區(qū)間的滿意解。

以極大值原理為典型代表的最優(yōu)控制方法是建立在精確的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)之上的。而現(xiàn)有模型誤差范圍較大，且存在一定的未建模動(dòng)態(tài)，對(duì)于各種復(fù)雜的約束條件也不能很好地處理。基于智能計(jì)算的優(yōu)化方法對(duì)模型的依賴性比較低，靠大規(guī)模的搜索與比較尋找可行解，且通過程序設(shè)計(jì)比較容易處理各種約束條件。但該類方法往往存在計(jì)算量與計(jì)算精度之間的矛盾。同時(shí)，控制策略的工程可行性要求控制級(jí)位變化頻率不宜太高，變化幅度不能太大，且要考慮電氣、機(jī)械系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間。況且，我國鐵路交路長、機(jī)車型號(hào)多、線路復(fù)雜、行車密度大，國外已有的節(jié)能運(yùn)行控制系統(tǒng)難以適應(yīng)中國復(fù)雜的路網(wǎng)環(huán)境。

本文結(jié)合我國鐵路行業(yè)的特殊背景，聚焦貨運(yùn)列車節(jié)能操縱的基礎(chǔ)理論，旨在突破工程角度最優(yōu)的目標(biāo)速度曲線優(yōu)化核心算法，完善列車節(jié)能運(yùn)行控制相關(guān)理論，為實(shí)現(xiàn)貨運(yùn)列車的運(yùn)行控制，從以司機(jī)為主的半自動(dòng)模式轉(zhuǎn)向以機(jī)器為主的全過程智能控制模式奠定理論基礎(chǔ)。

2 全要素能耗機(jī)理集總模型

受研究方法的限制，現(xiàn)有研究在對(duì)列車節(jié)能運(yùn)行進(jìn)行建模時(shí)通常只對(duì)列車運(yùn)動(dòng)方程和主要的運(yùn)行約束進(jìn)行建模，本文采用迭代法展開設(shè)計(jì)，比較容易處理各種復(fù)雜約束。因此，本文將系統(tǒng)介紹所用到的模型。其中，有些部分難免會(huì)與已有文獻(xiàn)類似，稍顯拖沓冗長，但本著嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的原則，本文逐一整理列出。

設(shè)獨(dú)立變量t∈[0,T]?R，狀態(tài)變量x=x(t)∈[0,S]?R,v=v(x)∈[0,V]?R滿足方程

( 1 )

( 2 )

式中：t為時(shí)間；x為位移；v為速度。(x,v)∈[0,S]×(0,V]?R2。以電力機(jī)車為例，控制級(jí)位可視為連續(xù)可調(diào)的，即u∈U?[-q,p]?R，p和q是最大牽引和制動(dòng)控制級(jí)位。

( 3 )

在不考慮再生制動(dòng)時(shí)，牽引能耗函數(shù)f:[-q,p]?R為u∈[0,p]區(qū)間的連續(xù)單調(diào)增函數(shù)，[-q,0]內(nèi)f(u)=0。當(dāng)考慮再生制動(dòng)時(shí)，f在整個(gè)[-q,p]區(qū)間單調(diào)遞增，且f(0)=0。

2.1 列車運(yùn)行受力分析

列車在運(yùn)行過程中受力比較復(fù)雜，總體來看，主要是機(jī)車牽引力f、制動(dòng)力b0和運(yùn)行阻力w。牽引力f和制動(dòng)力b0不同時(shí)出現(xiàn)。運(yùn)行阻力w又分為基本阻力w0和附加阻力wj。wj又可分為坡道附加阻力ij、曲線附加阻力wr和隧道空氣附加阻力ws。

列車運(yùn)行基本阻力可以描述為

ω0=ρa(bǔ)+ρb·v+ρc·v2

( 4 )

式中：ρa(bǔ)為基準(zhǔn)阻力參數(shù)；ρb為滾動(dòng)阻力參數(shù)；ρc為空氣阻力參數(shù)。

列車運(yùn)行附加阻力可以描述為

( 5 )

式中：ij為列車的坡道附加阻力；α為曲線中心角；Lc為列車長度；Ls為隧道長度；ρr和ρt分別為彎道和隧道阻力參數(shù)。

制動(dòng)力：電力機(jī)車常用的制動(dòng)方式可以分為空氣制動(dòng)、電力制動(dòng)和聯(lián)合制動(dòng)。電力制動(dòng)可以參考機(jī)車制動(dòng)特性圖進(jìn)行擬合、插值。采用空氣制動(dòng)時(shí)的制動(dòng)力可以描述為

( 6 )

式中：Kb為換算閘瓦壓力；?h為換算制動(dòng)系數(shù)；M為總質(zhì)量；φh為換算摩擦系數(shù)；?hc為常用制動(dòng)換算制動(dòng)率，?hc=?h·βc，βc為常用制動(dòng)系數(shù)。

2.2 列車運(yùn)動(dòng)方程分析

理想狀態(tài)下單質(zhì)點(diǎn)列車運(yùn)動(dòng)方程可以簡單離散化描述為

ci=f(vi,ui)-ω0(vi)-b0(vi,ui)-ωij

( 7 )

式中：ci為時(shí)間步長i內(nèi)列車所受到的合力；vi為列車的運(yùn)行速度；ui為此時(shí)的控制級(jí)位。

2.3 運(yùn)行約束分析

安全性約束：列車在起動(dòng)和制動(dòng)過程中的安全性主要取決于列車起動(dòng)加速度的大小及其變化率，加速度或其斜率過大必然導(dǎo)致列車縱向沖動(dòng)過大，引起斷鉤、運(yùn)輸物資的損壞等。

精確性約束：列車的正點(diǎn)性體現(xiàn)了列車通過區(qū)間所耗費(fèi)的時(shí)間對(duì)運(yùn)行圖的滿足程度。準(zhǔn)確停車體現(xiàn)列車位移對(duì)運(yùn)行距離的滿足程度。

動(dòng)、靜態(tài)限速：動(dòng)、靜態(tài)限速可以描述為

0≤vi≤vlim

( 8 )

( 9 )

(10)

除了上述約束外，列車運(yùn)行還會(huì)受到環(huán)境狀況、天氣條件、列車狀態(tài)等方面因素的影響，包括風(fēng)速、雨雪天氣、氣溫、線路信號(hào)制式、黏著系數(shù)、軌道平順度、牽引定數(shù)、編組方式，以及不同列車之間機(jī)車牽引特性、基準(zhǔn)阻力參數(shù)、滾動(dòng)阻力參數(shù)、空氣阻力參數(shù)、換算摩擦系數(shù)、電機(jī)效率等參數(shù)的不一致性等。限于篇幅，本文暫不作討論。

2.4 先驗(yàn)知識(shí)分析

此處，先驗(yàn)知識(shí)指的是一些業(yè)內(nèi)具有共識(shí)的重要理論基礎(chǔ)和司機(jī)人工駕駛所形成的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)。優(yōu)秀司機(jī)的駕駛與決策行為(即人類智能)有許多值得機(jī)器智能研究學(xué)習(xí)與效仿的地方。例如，《鐵路機(jī)車操作規(guī)則》中關(guān)于司機(jī)駕駛的“起車穩(wěn)、加速快、防止空轉(zhuǎn)”等原則。還比如司機(jī)在發(fā)車前對(duì)行程的規(guī)劃，是先從宏觀上大致預(yù)估途中運(yùn)行的勻速值，再考慮線路條件等細(xì)節(jié)信息進(jìn)行調(diào)整。這些都是本文算法設(shè)計(jì)中有所借鑒的先驗(yàn)知識(shí)。

另外，SCG最重要的成果之一是給出了在不考慮再生制動(dòng)的情況下，列車最優(yōu)惰行的數(shù)學(xué)模型。

(11)

式中：ψ(v)=v2r′(v)，φ(v)=v·r(v)，r(v)=a+b·v+c·v2。有了這個(gè)模型，圖3所示的理想平直道的問題只要找到恰當(dāng)?shù)腣h即可唯一對(duì)應(yīng)一條滿足時(shí)間約束的、包含了最大加速、勻速、惰行、制動(dòng)四個(gè)模態(tài)的最優(yōu)速度曲線。這個(gè)理想化的最優(yōu)速度曲線正是我們求解復(fù)雜條件下目標(biāo)速度曲線的基礎(chǔ)。

2.5 四種模態(tài)下的能耗計(jì)算模型

2.5.1 牽引模態(tài)

新型電力機(jī)車的牽引系統(tǒng)經(jīng)過設(shè)計(jì)，除了速度極低的情況以外，電機(jī)效率基本恒定。因此，在第i個(gè)時(shí)間步長內(nèi)列車牽引力做功可以表示為

(12)

(13)

2.5.2 勻速模態(tài)

在列車運(yùn)行過程中盡量保持勻速行駛是一種被廣泛認(rèn)可的節(jié)能駕駛策略。同時(shí)，勻速模態(tài)是牽引、惰行及制動(dòng)模態(tài)的紐帶。新型電力機(jī)車的逆變系統(tǒng)采用了VVVF技術(shù)，理論上車速和牽引力連續(xù)可調(diào)。在勻速模態(tài)下有

fh(vi,ui)=ω0(vi)+ωj

(14)

2.5.3 惰行模態(tài)

列車在惰行模態(tài)下牽引系統(tǒng)和制動(dòng)系統(tǒng)均不做功，列車靠慣性滑行。其間，列車動(dòng)能克服阻力做功。合理地運(yùn)用惰行可以有效減少牽引力做功。但過多地在低速段采用惰行則會(huì)浪費(fèi)寶貴的運(yùn)行時(shí)分，從而導(dǎo)致全局總能耗的增加。

eci=fc(vi,ui)=0

(15)

2.5.4 制動(dòng)模態(tài)

如前文所述，列車的制動(dòng)方式分空氣制動(dòng)、電力制動(dòng)和聯(lián)合制動(dòng)等多種類型。新型電力機(jī)車均能夠采用再生制動(dòng)的方式將動(dòng)能轉(zhuǎn)化為電能回饋電網(wǎng)。再生制動(dòng)時(shí)的制動(dòng)力需要按照前文所述的制動(dòng)特性計(jì)算。再生制動(dòng)的能量回饋可以表示為

eri=pr·fbr(vi,ui)·vi·Δt

(16)

式中：pr為再生制動(dòng)的能量再生率(向電網(wǎng)回饋的制動(dòng)發(fā)電量與列車動(dòng)能損失量之間的比例)。

3 能耗敏感度分析

3.1 計(jì)劃運(yùn)行時(shí)分對(duì)運(yùn)行能耗的影響

對(duì)于給定的區(qū)間距離，計(jì)劃運(yùn)行時(shí)分不同，則相應(yīng)的運(yùn)行策略和速度曲線是不同的。圖4為20 km理想平直道上，不同計(jì)劃運(yùn)行時(shí)分所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)速度曲線簇。其中，勻速值Vh與制動(dòng)起始點(diǎn)速度值Vb的關(guān)系按照式(11)進(jìn)行約束。

圖4 不同計(jì)劃運(yùn)行時(shí)分的等距離速度曲線簇

算例1簡要步驟

步驟1根據(jù)給定的區(qū)間距離，求解節(jié)能運(yùn)行最短運(yùn)行時(shí)分及其對(duì)應(yīng)的速度曲線，即勻速運(yùn)行距離為0，列車由加速模態(tài)直接轉(zhuǎn)入惰行模態(tài)。

步驟2將計(jì)劃運(yùn)行時(shí)分以100 s為步長遞增，直到Vh不再明顯變化為止。

步驟3匯總顯示各步驟的速度曲線。

同樣，對(duì)于給定的區(qū)間距離，計(jì)劃運(yùn)行時(shí)分不同，則相應(yīng)的運(yùn)行能耗也是不同的。對(duì)圖4所示的速度曲線簇重新以1 s為步長遞增，進(jìn)行能耗計(jì)算。圖5為相應(yīng)的計(jì)劃運(yùn)行時(shí)分-能耗關(guān)系圖。其中，能耗計(jì)算按照式(12)～式(16)計(jì)算，且暫時(shí)不計(jì)入再生制動(dòng)的能量回饋。

圖5 固定線路條件下計(jì)劃運(yùn)行時(shí)分-能耗關(guān)系圖

3.2 惰行點(diǎn)對(duì)能耗的影響

如前文所述，理想條件下列車節(jié)能運(yùn)行的最優(yōu)惰行關(guān)系是可以求解的。而利用仿真分析的方法可以更為直觀地展現(xiàn)不同惰行策略對(duì)能耗值的影響。圖6為20 km理想平直道上，計(jì)劃運(yùn)行時(shí)分為2 400 s所對(duì)應(yīng)的惰行-能耗關(guān)系圖。與3.1節(jié)相同，暫時(shí)不計(jì)入再生制動(dòng)的能量回饋。

圖6 非再生制動(dòng)情況下惰行點(diǎn)對(duì)能耗的影響

算例2.1簡要步驟

步驟1根據(jù)給定的區(qū)間距離，按式(11)給出的最優(yōu)惰行關(guān)系，求解勻速模態(tài)速度值Vh和Vb。

步驟2設(shè)pcb=0，按照式(17)計(jì)算Vb′，將Vb′作為惰行起始速度進(jìn)行速度曲線仿真，并計(jì)算相應(yīng)的能耗值。

Vb′=Vh-pcb(Vh-Vb)

(17)

步驟3將pcb以1%為步長遞增，直到Vb′=0(即一直惰行到速度為0)。

步驟4匯總顯示各步驟的能耗值。

由步驟2可知，當(dāng)pcb=100%時(shí)Vb′=Vb，即符合式(11)的最優(yōu)惰行關(guān)系，全局能耗最低。這在圖6中也得到了印證。同時(shí)，在95%≤pcb≤105%的區(qū)段內(nèi)，各點(diǎn)能耗值是極其接近的(特別是在98%≤pcb≤102%的區(qū)段內(nèi)，能耗值是完全相同的)，本文將95%≤pcb≤105%稱為最優(yōu)切換區(qū)域。

算例2.2

在算例2.1中未計(jì)入再生制動(dòng)的能量回饋。即圖6是pr=0的特例。下面將pr以0.1為步長進(jìn)行遞增，可以得到如圖7所示的二維曲線簇，該二維曲線簇反映了再生率對(duì)最優(yōu)惰行點(diǎn)的影響。

圖7 不同再生率情況下惰行點(diǎn)對(duì)能耗的影響

由圖7可以發(fā)現(xiàn)，隨著再生率的增加，提前進(jìn)入制動(dòng)模態(tài)可以產(chǎn)生一部分能量回饋，從而使得最優(yōu)惰行關(guān)系發(fā)生變化，即減少惰行模態(tài)的范圍，惰行-制動(dòng)模態(tài)切換點(diǎn)的速度值提高。同時(shí)，最優(yōu)惰行關(guān)系的變化隨再生率的增加呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，可以進(jìn)行近似線性化。線性化后的最優(yōu)惰行點(diǎn)為

Vb″=Vh-(1-0.4·Pr)·(Vh-Vb)

(18)

最優(yōu)切換區(qū)段的寬度為

Δpcb=±(5+5·Pr)

(19)

3.3 能耗敏感度對(duì)比分析

通過對(duì)3.1節(jié)、3.2節(jié)的對(duì)比分析可以發(fā)現(xiàn)如下特征：

(1)以圖7中pr=0.5對(duì)應(yīng)的能耗曲線為例，在曲線的谷底區(qū)段，能耗值是非常接近的，在80%≤pcb≤90%的區(qū)段內(nèi)能耗變化小于0.5 kW·h，不足能耗總量0.06%。特別是在84%≤pcb≤88%的區(qū)段內(nèi)，能耗值基本上是完全相等的。

(2)在1 600～1 800 s之間，運(yùn)行能耗的差值約為50 kW·h，相當(dāng)于運(yùn)行時(shí)間每增加1 s，能耗可以減少0.25 kW·h。

(3)由前兩條可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于運(yùn)行時(shí)間的控制是速度曲線優(yōu)化的關(guān)鍵。優(yōu)化過程中，在保證充分利用計(jì)劃運(yùn)行時(shí)分的前提下，惰行-制動(dòng)切換點(diǎn)可以根據(jù)機(jī)車機(jī)械系統(tǒng)、電子系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間、優(yōu)化計(jì)算的運(yùn)算代價(jià)等情況，在最優(yōu)切換區(qū)段內(nèi)靈活調(diào)整。

最優(yōu)切換區(qū)段：為了便于程序?qū)\(yùn)行時(shí)間的精確控制，將能耗曲線的谷底區(qū)段以能耗最低點(diǎn)為中心，用隸屬函數(shù)按照一定的隸屬度篩選出的能耗最接近最小值的區(qū)段稱為最優(yōu)切換區(qū)段。例如圖7中近似線性化后的最優(yōu)切換區(qū)段隸屬度為99.94%。

4 目標(biāo)速度曲線優(yōu)化

基于前文中所述的數(shù)學(xué)模型和能耗敏感度的分析，本文提出一種新的目標(biāo)速度曲線優(yōu)化方法，如圖8所示。首先，基于理想平直道介紹模態(tài)切換點(diǎn)和勻速值Vh的求解；其次，針對(duì)含緩坡的線路證明勻速運(yùn)行的最優(yōu)性，論證其模態(tài)切換點(diǎn)的求解；最后，針對(duì)含陡坡的線路介紹基于等效勻速法的速度曲線優(yōu)化方法。

圖8 標(biāo)速度曲線優(yōu)化整體思路

4.1 平直道

平直道上列車的最優(yōu)運(yùn)行策略已經(jīng)被證明存在且唯一存在[3,5]，但該方法十分復(fù)雜。下面，本文僅針對(duì)平直道來簡化文獻(xiàn)[5]對(duì)最優(yōu)惰行關(guān)系的證明。

引入?yún)f(xié)態(tài)變量構(gòu)建Hamiltonian函數(shù)

H(x,v,α,β,u)=-f(u)+αv+βF(x,v,u)

(20)

按照文獻(xiàn)[5]可以得到

(21)

設(shè)常數(shù)A滿足

(22)

(23)

對(duì)于平直道(g(x)=0)，將式(22)代入Hamiltonian函數(shù)有

(24)

伴隨方程為

(25)

將Hamiltonian函數(shù)轉(zhuǎn)化為

(26)

由Pontryagin極大值原理可知，只有在能夠保證Hamiltonian函數(shù)取極大值，控制策略才是最優(yōu)策略。將上式分為五種情況進(jìn)行討論。

(27)

因此，工況轉(zhuǎn)換的鏈接條件是

v=Aβ

(28)

此時(shí)列車處于勻速運(yùn)行模態(tài)，牽引力等于運(yùn)行阻力。結(jié)合式(25)和式(27)，對(duì)等式兩邊進(jìn)行求導(dǎo)后可得

(29)

式中：φ(v)=v·r(v)。

同時(shí)，由式(25)也可以得到α等于某常量C。所以有

φ′(v)=A·α=A·C

(30)

因φ(v)在有效區(qū)間內(nèi)是凸函數(shù)，則在勻速運(yùn)行時(shí)(v=Vh)有

(31)

因?yàn)镠amiltonian函數(shù)在最優(yōu)策略中應(yīng)是常數(shù)，即μ=H(t)。將式(28)和式(29)代入式(24)有

(32)

其中，ψ(v)=v2r′(v)。

假設(shè)列車的惰行運(yùn)行區(qū)間為t∈[a,b]，即列車從a點(diǎn)以Vh=v(a)開始惰行，直到b點(diǎn)以Vb=v(b)開始制動(dòng)，且g(x)=0，則有D(a,b)=0。由式(21)可得

(33)

對(duì)a,b兩點(diǎn)的Hamiltonian函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，由式(29)、式(32)可得

(34)

所以可得勻速區(qū)間速度值Vh與制動(dòng)點(diǎn)速度值Vb的關(guān)系為

(35)

將式(32)代入式(35)，則式(11)得證。

如本文第1章“問題描述”中所述，有了式(11)，對(duì)于給定的計(jì)劃運(yùn)行時(shí)分和區(qū)間距離，按照最大加速、勻速、惰行、制動(dòng)的模態(tài)順序，則可以唯一確定勻速模態(tài)速度值Vh，從而確定理想平直道上最優(yōu)速度曲線，如圖3中紅色曲線所示。

確定Vh值的方法可以用積分計(jì)算的方法，也可以用迭代的方法。積分計(jì)算的方法計(jì)算效率較高，但僅適用于簡單線路，本文采用迭代法進(jìn)行搜索。簡要步驟如下：

步驟1設(shè)初始速度Vh0=S/T，以1 km/h為步長遞增，按加速、勻速、惰行、制動(dòng)的模態(tài)順序繪制速度曲線。

步驟2判斷步驟1中的速度曲線所耗計(jì)劃運(yùn)行時(shí)分是否大于S，是則跳出，否則返回步驟1。

步驟3退回跳出前的Vhi，將遞增步長改為0.1 km/h，重復(fù)上述循環(huán)。

步驟4退回跳出前的Vhii，將遞增步長改為0.01 km/h，重復(fù)上述循環(huán)。

步驟5退回跳出前的Vhiii，將遞增步長改為0.001 km/h，重復(fù)上述循環(huán)。

步驟6程序跳出，輸出Vh=Vhiii。

上述方法輸出的Vh在數(shù)學(xué)上并不是絕對(duì)的精確，但對(duì)于實(shí)際的軌道交通系統(tǒng)，該精度已經(jīng)足以滿足硬件系統(tǒng)對(duì)精度的需要，且計(jì)算速度較快。該方法還可以無限細(xì)化，滿足更高的精度需要。

4.2 含緩坡的線路

本文中所謂的陡坡包含陡上坡和陡下坡。陡上坡是指列車在特定的線路條件和運(yùn)行速度下，運(yùn)行阻力大于機(jī)車最大牽引力的上坡區(qū)段；陡下坡是指重力在下坡方向的分量大于列車運(yùn)行基本阻力，即使列車采用惰行也會(huì)出現(xiàn)速度上升的下坡區(qū)段。相應(yīng)地，緩坡則是指坡度值介于陡上坡和陡下坡之間，列車通過調(diào)節(jié)機(jī)車牽引力既可以保持勻速運(yùn)行的坡道區(qū)段。

4.2.1 緩坡區(qū)段勻速運(yùn)行的最優(yōu)性

假設(shè)有等重量的列車1和2，分別以相同的速度運(yùn)行在線路1和線路2上。若列車1勻速通過緩坡區(qū)段AB時(shí)，列車2勻速通過等距離的平直區(qū)段A′B′，線路1和線路2在其他區(qū)段的線路條件和列車運(yùn)行狀況均完全相同，示意圖如圖9所示。

圖9 平直道與緩坡區(qū)段對(duì)比示意圖

對(duì)列車1和列車2的運(yùn)行能耗分別進(jìn)行計(jì)算有

E1=F1(x)·(x2-x1)=(ω0+ωj)·(x2-x1)

(36)

E2=F2(x)·(x2-x1)=(ω0)·(x2-x1)

(37)

因?yàn)閮闪辛熊嚨闹亓亢瓦\(yùn)行速度均相同，所以基本阻力是完全相同的。況且新型電力機(jī)車的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)經(jīng)過特殊設(shè)計(jì)，除速度極低的工況以外，系統(tǒng)效率是基本穩(wěn)定的，所以有

ΔE=E1-E2=ωj·(x2-x1)=MgΔh

(38)

而對(duì)于具有海拔高度差的兩點(diǎn)，ΔE=MgΔh是克服重力做功的值，也是列車1和列車2運(yùn)行能耗差值的最小值。那么，既然列車2在平直道上勻速運(yùn)行是最優(yōu)的運(yùn)行策略，所以列車1在緩坡區(qū)段勻速運(yùn)行也是最優(yōu)運(yùn)行策略。

4.2.2 含有緩坡線路模態(tài)切換點(diǎn)的確定

與4.2.1同理，對(duì)含有緩坡區(qū)段的線路，若采用與平直道完全相同的開行方案(含加速、勻速、惰行及制動(dòng)在內(nèi)的全部操縱序列)，則運(yùn)行能耗差值為ΔE=MgΔh，即運(yùn)行能耗差值的最小值。所以，對(duì)于驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)效率相對(duì)穩(wěn)定的電力機(jī)車，在含有緩坡區(qū)段的線路上的最優(yōu)勻速點(diǎn)、惰行點(diǎn)、制動(dòng)點(diǎn)的求解與平直道完全相同。

綜上所述，對(duì)含有緩坡的線路，保持與圖3中紅色曲線相同特征的速度曲線仍是最優(yōu)速度曲線。

4.3 含陡坡和限速變化的線路

4.3.1 最短運(yùn)行時(shí)間速度曲線

最短運(yùn)行時(shí)間速度曲線是列車在特定線路環(huán)境下按最短運(yùn)行時(shí)分策略運(yùn)行所能達(dá)到的運(yùn)行速度曲線，是給定條件下列車實(shí)際運(yùn)行的速度上限。最短運(yùn)行時(shí)間速度曲線在無限速的情況下含有加速、制動(dòng)兩個(gè)模態(tài)；在有限速的情況下含有加速、勻速、制動(dòng)三個(gè)模態(tài)，如圖10所示。在策略優(yōu)化過程中以此作為策略優(yōu)化的上邊界條件可以有效篩除無效控制級(jí)位，簡化計(jì)算。對(duì)應(yīng)的運(yùn)行時(shí)間是該車在該線路條件下的最短運(yùn)行時(shí)分。計(jì)劃運(yùn)行時(shí)分大于最短運(yùn)行時(shí)分是軌道交通系統(tǒng)運(yùn)行圖編制的基本原則，更是列車節(jié)能運(yùn)行的基本前提。

圖10 最短運(yùn)行時(shí)間速度曲線示意圖

值得一提的是對(duì)于限速比較復(fù)雜的線路條件，往往會(huì)在低限速區(qū)段的起始點(diǎn)，即由惰行轉(zhuǎn)入勻速模態(tài)的切換點(diǎn)存在速度誤差(裕量)與計(jì)算速度的矛盾關(guān)系。本文提出了雙向迭代的方法，可以有效消除速度誤差。

雙向迭代法簡要步驟如下：

步驟1正向迭代，直到低限速區(qū)段的起始點(diǎn)。

步驟2從低限速區(qū)段的起點(diǎn)反向迭代，遞推上一步長的理想速度，直到與正向迭代速度曲線交叉。

步驟3交叉點(diǎn)即為模態(tài)切換點(diǎn)，交叉點(diǎn)之前的速度曲線以正向迭代的為準(zhǔn)，交叉點(diǎn)之后的速度曲線以反向迭代的速度曲線為準(zhǔn)。

4.3.2 速度基線

速度基線是根據(jù)運(yùn)行圖給定的運(yùn)行時(shí)間和距離對(duì)行程做出的宏觀時(shí)間、速度配置方案。該方案暫時(shí)不考慮具體線路細(xì)節(jié)和機(jī)車牽引力范圍，僅按理想平直道確定勻速模態(tài)下的速度值和各個(gè)模態(tài)轉(zhuǎn)換點(diǎn)的速度值，作為運(yùn)行時(shí)間按距離分配的宏觀原則。本文初步設(shè)計(jì)了單質(zhì)點(diǎn)列車速度基線規(guī)劃算法，示意圖如圖11中虛線所示。

圖11 速度基線示意圖

4.3.3 陡坡區(qū)段的處理

速度基線在絕大部分情況下是比較理想的運(yùn)行策略。但是，如圖11中8～10 km處的陡上坡區(qū)段，坡道附加阻力較大，即使列車采用最大牽引力也無法維持勻速運(yùn)行。本文將采用平均速度等效的方法對(duì)該類陡坡區(qū)間進(jìn)行處理。

平均速度等效法：如圖12所示，圖形下方的紅線表示軌道的海拔高度，中間的斜坡代表軌道的坡度。策略求解的上下邊界：綠線(速度)中間曲線段上方的虛線表示在過了坡以后速度剛好降到勻速值的策略上界；下方的虛線表示策略下界，即完全不采用動(dòng)能闖坡，僅依靠機(jī)車最大牽引力回到坡前速度。平均速度等效法從策略下界出發(fā)，以變步長法向上界方向遞推，直到滿足式(39)，即從坡前加速點(diǎn)p到恢復(fù)勻速模態(tài)點(diǎn)h所消耗的運(yùn)行時(shí)間等于勻速通過該區(qū)段所消耗的時(shí)間。在運(yùn)行距離與運(yùn)行時(shí)間的關(guān)系方面達(dá)到等效勻速的效果。

(39)

式中：xh表示勻速點(diǎn)h的位置坐標(biāo)；xp表示加速點(diǎn)p的位置坐標(biāo)；th表示列車通過勻速點(diǎn)h的時(shí)刻；tp表示列車通過加速點(diǎn)p的時(shí)刻。

圖12 平均速度等效法運(yùn)行策略求解示意圖(陡上坡)

圖12中介于策略上界與策略下界之間的黑色實(shí)線即為平均速度等效速度曲線。

同理，在陡下坡區(qū)段，重力除了克服阻力外，會(huì)使列車出現(xiàn)加速惰行的情況。此時(shí)需要找到滿足式(39)的提前惰行起始點(diǎn)，即達(dá)到等效勻速通過該區(qū)段的效果。

算例3用上述方法對(duì)某含有緩上坡、緩下坡、陡上坡和陡下坡的實(shí)驗(yàn)線路進(jìn)行速度曲線全局優(yōu)化，結(jié)果如圖13所示。

圖13 基于平均速度等效法的運(yùn)行策略尋優(yōu)仿真

該算法使得區(qū)段耗時(shí)等效于勻速通過該區(qū)段所需要的時(shí)間，在給定的時(shí)間約束下，按照方差最小的原理，速度波動(dòng)越小，式( 4 )中二次方項(xiàng)的值最小，阻力做功也就最小。通過軟件仿真可以證實(shí)，平均速度等效法可以使得全局能耗值處于能耗谷底的最低區(qū)域。更重要的是，區(qū)間耗時(shí)的固定使得全局優(yōu)化不需要調(diào)整時(shí)間配置和Vh值，為全局優(yōu)化帶來了便利，提高了計(jì)算效率。圖13在普通臺(tái)式辦公電腦的Matlab 2012運(yùn)行環(huán)境下僅需要大約3 s即可完成仿真計(jì)算。

5 對(duì)比分析

對(duì)于圖13中的相同線路條件，本文采用德國漢諾威大學(xué)的專業(yè)仿真軟件Dynamis 2.0進(jìn)行對(duì)比仿真，結(jié)果如圖14所示。

圖14 采用Dynamis2.0軟件進(jìn)行的對(duì)比仿真

由圖14可知，在15 km和26.7 km處出現(xiàn)了最大制動(dòng)力制動(dòng)。按照節(jié)能運(yùn)行的常識(shí)可知，列車通常只有在以停車為目的的低速狀態(tài)下才會(huì)使用制動(dòng)。圖13給出的策略更加合理。

算例4本文提出的算法經(jīng)過稍加調(diào)整，加入舒適性約束后，可以移植到城軌列車的速度曲線優(yōu)化中。

圖15為算法調(diào)整后與文獻(xiàn)[11,12]中采用的GA、DP、PSO三種算法進(jìn)行對(duì)比分析的仿真效果。

圖15 對(duì)比仿真效果圖

從上述仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比可以看出，城軌列車的線路條件相對(duì)更為簡單，優(yōu)化起來也相對(duì)比較容易。圖15(d)中針對(duì)150 min、175 min、200 min、225 min、250 min五種計(jì)劃運(yùn)行時(shí)分分別繪制了相應(yīng)的速度曲線。該方法能夠靈活適應(yīng)各種限速、坡道、彎道、隧道，在中間運(yùn)行區(qū)段不存在演化算法方法難以避免的速度隨機(jī)波動(dòng)的情況，盡可能多地保持了勻速運(yùn)行，僅在停車前使用了制動(dòng)。列車僅需在模態(tài)切換點(diǎn)調(diào)整控制級(jí)位，相鄰兩次控制級(jí)位調(diào)整之間間隔較長，為電氣、機(jī)械系統(tǒng)的執(zhí)行響應(yīng)提供了充裕的時(shí)間，也為控制系統(tǒng)跟蹤目標(biāo)曲線留足了牽引力平滑調(diào)整裕量，有效保障了算法的工程可行性。

6 結(jié)論與展望

本文圍繞以電力機(jī)車牽引的貨運(yùn)列車的節(jié)能運(yùn)行，針對(duì)控制目標(biāo)速度曲線優(yōu)化算法的工程應(yīng)用瓶頸，從平直道的運(yùn)行策略切入控制目標(biāo)速度曲線優(yōu)化的實(shí)質(zhì)，簡化了運(yùn)行模態(tài)切換點(diǎn)的求解和證明過程；證明了在含有緩坡線路條件下的最優(yōu)策略與平直道相同；簡要介紹了針對(duì)陡坡區(qū)段的平均速度等效優(yōu)化算法，并在Matlab軟件環(huán)境下進(jìn)行了算法仿真驗(yàn)證。本文所述方法將數(shù)學(xué)推導(dǎo)、先驗(yàn)知識(shí)、邏輯分析充分結(jié)合，迭代仿真可以有效處理各種復(fù)雜線路條件及運(yùn)行約束，算法對(duì)于列車電氣、機(jī)械系統(tǒng)的響應(yīng)特性能夠予以兼顧。仿真結(jié)果顯示，速度曲線盡可能多地保持了勻速運(yùn)行，節(jié)能效果理想，計(jì)算效率較高，為在線優(yōu)化奠定了良好的基礎(chǔ)。

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