油水飽和巖石復(fù)電阻率頻散特性數(shù)學(xué)模擬

莊顯麗, 關(guān)繼騰, 鄭海霞, 楊盈盈

(中國(guó)石油大學(xué)(華東)理學(xué)院, 山東 青島 266580)

0 引 言

儲(chǔ)層巖石復(fù)電阻率的頻散特性是復(fù)電阻率測(cè)井的物理基礎(chǔ),近年來,含油儲(chǔ)層復(fù)電阻率特性的研究主要集中在實(shí)驗(yàn)研究[1-5]和理論模擬[6-8]。傳統(tǒng)的理論研究普遍推測(cè)復(fù)電阻率的頻散特性是由諧變電流場(chǎng)引起儲(chǔ)層孔隙中離子濃度濃差極化和雙電層形變形成的一種宏觀電化學(xué)效應(yīng),即復(fù)電阻率頻散特性的機(jī)理應(yīng)是激發(fā)極化效應(yīng),但是依據(jù)激發(fā)極化機(jī)理模型無法建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型和定量的模擬方法。近期研究表明,當(dāng)諧變電流作用于流體飽和儲(chǔ)層時(shí),不僅儲(chǔ)層內(nèi)部的電流場(chǎng)和離子流場(chǎng)之間可以相互耦合,電流場(chǎng)和滲流場(chǎng)之間亦可以相互耦合,孔隙液體中的帶電離子會(huì)受到激發(fā)而引起周期性電滲流動(dòng)[9],產(chǎn)生儲(chǔ)層巖石中的電震效應(yīng)[10]。鄭海霞等[11]基于電震耦合理論研究了水飽和儲(chǔ)層巖石的復(fù)電阻率頻散特性,模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果高度吻合,證明了儲(chǔ)層巖石復(fù)電阻率的頻散現(xiàn)象是由孔隙介質(zhì)中的電震耦合作用產(chǎn)生的,其微觀機(jī)理的本質(zhì)是電滲流作用。

本文基于顧士勇等[12]油水兩相飽和儲(chǔ)層中震電耦合理論,在鄭海霞等[11]含水儲(chǔ)層巖石復(fù)電阻率頻散特性研究的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步建立油水飽和巖石中電震耦合波波動(dòng)方程,數(shù)學(xué)模擬雙電極法測(cè)量含油儲(chǔ)層巖石復(fù)電阻率的頻散特性,探討其微觀機(jī)制和影響因素。將此方法擴(kuò)展到氣水飽和巖石中,研究了氣水飽和巖石復(fù)電阻率的頻散特性。

1 油水飽和巖石中電震耦合波傳播理論

1.1 油水飽和巖石中電震耦合波控制方程

根據(jù)油水飽和儲(chǔ)層巖石中震電耦合理論[12],仿照文獻(xiàn)[11]的研究方法,得到油水飽和巖石中電震耦合波傳播控制方程組為

·τ=-ω2(ρu+ρwww+ρowo)

(1)

τ=λ·uI+μ[(u)T+u]-α(Swpw+Sopo)I

(2)

-pw=D1·u+D2·ww+D3·wo

(3)

-po=D4·u+D5·ww+D6·wo

(4)

J=Je+J′=σEe+[σE+L21(-pw+ω2ρwu)]

(5)

(6)

(7)

式中,J為孔隙介質(zhì)內(nèi)的總電流密度;J′為因電震耦合產(chǎn)生的電流密度;Je和Ee分別為外接人工電源供入孔隙介質(zhì)的電流密度和電場(chǎng)強(qiáng)度,其他物理量定義與文獻(xiàn)[12]一致。

在孔隙介質(zhì)中電磁波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于彈性波長(zhǎng)。相對(duì)于彈性波長(zhǎng)尺度,可設(shè)外源注入電流密度Je均勻分布且與坐標(biāo)無關(guān)。在準(zhǔn)靜態(tài)條件下,式(5)中忽略二次感應(yīng)電流σE與電震耦合電流L21(-pw+ω2ρwu)的影響,即取

J=Je=σEe

(8)

同理,式(6)可簡(jiǎn)化為

(9)

1.2 油水飽和巖石中平面電震波波動(dòng)方程

取Je=Je0e-iω tez,被激發(fā)的彈性波沿z方向傳播,由油水飽和巖石中電震耦合波傳播控制方程,可以導(dǎo)出一維油水飽和巖石中電震耦合波傳播方程

(10)

(11)

(12)

式中,D1、D2、D3、D4、D5、D6、N、M1、M2及相關(guān)量定義與文獻(xiàn)[12]一致,N1=N+μ。

采用傅里葉變換方法求解式(10)、式(11)和式(12)。令Gu、Gww和Gwo分別表示u、ww和wo對(duì)應(yīng)的格林函數(shù),則一維格林函數(shù)積分公式可表示為

(13)

(14)

(15)

則由式(10)、式(11)和式(12)可得一維單位電流源激發(fā)的電震耦合波動(dòng)方程

-δ(z-z′)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

令式(19)、式(20)和式(21)的系數(shù)行列式為0,可得關(guān)于電震波傳播常數(shù)的方程為

lpk6+mpk4+npk2+tp=0

(22)

其中,

lp=N1(D3D5-D2D6)+M1(D1D6-D3D4)+

M2(D2D4-D1D5)

(23)

mp=ω2ρw(D3D4-D1D6-M1D6+M2D5)+

ω2ρo(D1D5-D2D4+M1D3-M2D2)+

(24)

ρwM1-ρD2)+ω4ρw(ρwD6-ρoD3)+

(25)

(26)

求解式(22)便可得到對(duì)應(yīng)于電震快縱波P1波、電震慢縱波P2波和電震慢縱波P3波的3個(gè)傳播常數(shù)kP1、kP2和kP3。

2 油水飽和巖石中復(fù)電阻率的求解方法

2.1 供入電流的傳播模式

根據(jù)雙電極法測(cè)量油水飽和儲(chǔ)層巖石復(fù)電阻率的方法,電極注入巖心的電流第1部分JP1用于激發(fā)電震快縱波P1波,第2部分JP2用于激發(fā)電震慢縱波P2波,第3部分JP3用于激發(fā)電震慢縱波P3波,則電流密度J=JP1+JP2+JP3。由于3種模式的電震波傳播方向都與電流方向一致,可將電流密度表示為

J=±JP10e±ikP1zez±JP20e±ikP2zez±JP30e±ikP3zez

(27)

式中,JP10、JP20和JP30為電流密度的振幅。

(28)

將正向波和反向波的電流密度的振幅分別記為J+0和J-0,巖心中任一點(diǎn)處總的電流密度為正反向電震波的電流之和。因此,總電流密度可寫為

J-0e-ikP2z+J-0e-ikP3z)ez

(29)

對(duì)于巖心復(fù)電阻率的測(cè)量,研究區(qū)域是有限的,正反向激勵(lì)源大小不同,應(yīng)由邊界條件確定。根據(jù)諧變電流注入特點(diǎn),在長(zhǎng)度為L(zhǎng)的巖心兩端供電電極處電流密度相同,設(shè)為J0,因此

J|z=0=J|z=L=J0

(30)

將式(29)代入式(30),在z=0處有

J0=J+0+J-0

(31)

在z=L處有

(32)

聯(lián)立式(31)、式(32),可解得正反向電震波的電流密度振幅與總電流密度振幅之間的關(guān)系

(33)

2.2 油水飽和孔隙介質(zhì)中復(fù)電阻率的計(jì)算公式

根據(jù)電極法測(cè)量復(fù)電阻率原理,巖心的復(fù)電阻率可表示為

(34)

式中,ρ*(ω)為巖石復(fù)電阻率;J0為供入電流密度;ΔU為巖心兩端電位差;ρR(ω)、ρI(ω)分別為復(fù)電阻率的實(shí)部和虛部[11]。

根據(jù)式(8),巖心中電場(chǎng)強(qiáng)度Ee與電流密度Je的關(guān)系可表示為

(35)

式中,ξ=p1,p2,p3,分別對(duì)應(yīng)于電震快縱波P1波、電震慢縱波P2波和電震慢縱波P3波。由電流密度表達(dá)式(29)可將巖心中的電場(chǎng)強(qiáng)度表示為

J-0e-ikP2z+J-0e-ikP3z)ez

(36)

(37)

將式(33)和式(37)代入式(34),整理可得長(zhǎng)度為L(zhǎng)的巖心的復(fù)電阻率為

(38)

式(38)即為油水飽和巖石的復(fù)電阻率的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

3 計(jì)算實(shí)例與分析

3.1 模擬參數(shù)的確定

油水飽和巖石中模擬參數(shù)的選取參考文獻(xiàn)[11-12],具體參數(shù)取值見表1,其中ε0為真空介電常數(shù)、μ0為真空磁導(dǎo)率。

3.2 孔隙度對(duì)油水飽和巖石復(fù)電阻率頻散特性的影響

根據(jù)式(38),油水飽和巖石中復(fù)電阻率的頻散特性與孔隙度的變化關(guān)系如圖1所示。圖1(a)考察了10-6～106Hz頻段內(nèi)復(fù)電阻率頻散特性與孔隙度的變化關(guān)系,實(shí)心標(biāo)線代表復(fù)電阻率實(shí)部,虛心標(biāo)線代表復(fù)電阻率虛部(下同),圖1(b)是圖1(a)在100～106Hz頻段內(nèi)的截圖。

由圖1可見,復(fù)電阻率的實(shí)部隨頻率的增大呈“階梯狀”下降,復(fù)電阻率虛部曲線上有3個(gè)清晰的極值。分析可知,10-6～106Hz頻段內(nèi)復(fù)電阻率頻散曲線中的3次變化分別由電震慢縱波P2波、電震慢縱波P3波和電震快縱波P1波引起的,其中第1次變化,即復(fù)電阻率實(shí)部第1次快速下降的位置和復(fù)電阻率虛部第1極值的位置取決于慢縱波P2波,第2次變化,即復(fù)電阻率實(shí)部第2次快速下降的位置和復(fù)電阻率虛部第2極值的位置取決于慢縱波P3波,第3次變化,即復(fù)電阻率實(shí)部第3次快速下降的位置和復(fù)電阻率虛部第3極值的位置取決于快縱波P1波。由此,不妨將復(fù)電阻率虛部第1極值所

表1 油水飽和巖石的基本參數(shù)取值表

圖1 油水飽和巖石復(fù)電阻率頻散特性與孔隙度的關(guān)系曲線

對(duì)應(yīng)的頻率稱為慢縱波P2波界面極化頻率,復(fù)電阻率虛部第2極值所對(duì)應(yīng)的頻率稱為慢縱波P3波界面極化頻率,復(fù)電阻率虛部第3極值所對(duì)應(yīng)的頻率稱為快縱波P1波界面極化頻率。圖1(b)中100～106Hz頻段內(nèi)復(fù)電阻率頻散曲線的2次階梯變化、2個(gè)界面極化頻率等特征都與大多數(shù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果相吻合[6-7,13-14]。

由圖1還可以看出,隨著孔隙度的增大,復(fù)電阻率實(shí)部和虛部的絕對(duì)值均減小,頻散程度減小,產(chǎn)生這一情況的原因在于,孔隙度越大,流體導(dǎo)電能力越強(qiáng),則復(fù)電阻率越小。慢縱波P2波界面極化頻率和慢縱波P3波界面極化頻率均隨隨孔隙度的增大而減小,而快縱波P1波界面極化頻率不變,這是由于界面極化頻率與波速有關(guān),慢縱波P2波和慢縱波P3波的波速均隨孔隙度的增大而減小,P1波的波速幾乎不受孔隙度的影響。

圖2 油水飽和巖石復(fù)電阻率頻散特性與滲透率的關(guān)系曲線

3.3 滲透率對(duì)油水飽和巖石復(fù)電阻率頻散特性的影響

根據(jù)式(38),油水飽和巖石中復(fù)電阻率的頻散特性與滲透率的變化關(guān)系如圖2所示。圖2(a)考察了10-6～106Hz頻段內(nèi)復(fù)電阻率頻散特性與滲透率的變化關(guān)系,圖2(b)是圖2(a)在100～106Hz頻段內(nèi)的截圖。

由圖2可以看出,隨著滲透率的增大,復(fù)電阻率實(shí)部和虛部的絕對(duì)值均增大,頻散程度增大,慢縱波P2波界面極化頻率和慢縱波P3波界面極化頻率均增大,快縱波P1波界面極化頻率幾乎不變,這是由于隨著滲透率的增大,慢縱波P2波和慢縱波P3波波速增加明顯,快縱波P1波波速幾乎不受影響。

3.4 飽和度對(duì)油水飽和巖石復(fù)電阻率頻散特性的影響

根據(jù)式(38),油水飽和巖石中復(fù)電阻率的頻散特性與含水飽和度的變化關(guān)系如圖3所示。圖3(a)考察了10-6～106Hz頻段內(nèi)復(fù)電阻率頻散特性與含水飽和度的變化關(guān)系,圖3(b)是圖3(a)在100～106Hz頻段內(nèi)的截圖。

圖3 油水飽和巖石復(fù)電阻率頻散特性與飽和度的關(guān)系曲線

由圖3可以看出,隨著含水飽和度的增大,復(fù)電阻率實(shí)部和虛部的絕對(duì)值均減小,頻散程度減小。這是由于含水飽和度越大,流體導(dǎo)電能力越強(qiáng),則復(fù)電阻率越小。隨著飽和度的增大,慢縱波P2波界面極化頻率減小,慢縱波P3波界面極化頻率增大,快縱波P1波界面極化頻率略有增大。這是由于隨著飽和度的增大,慢縱波P2波波速減小,慢縱波P3波波速增大,而快縱波P1波波速略有增大。

4 氣水飽和巖石中復(fù)電阻率的模擬與分析

4.1 氣水飽和巖石中復(fù)電阻率的模擬方法

肖占山等[15]曾對(duì)含氣泥質(zhì)砂巖復(fù)電阻率頻散特性進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究,這里將油水飽和巖石中的震電耦合理論擴(kuò)展到氣水飽和的情況,在含水儲(chǔ)層巖石復(fù)電阻率頻散特性研究的基礎(chǔ)上進(jìn)一步建立氣水飽和巖石中電震耦合波波動(dòng)方程,數(shù)學(xué)模擬雙電極法測(cè)量含氣儲(chǔ)層巖石復(fù)電阻率的頻散特性,并探討其微觀機(jī)制和影響因素。氣水飽和巖石具體模擬參數(shù)取值見表2,其中ε0為真空介電常數(shù)、μ0為真空磁導(dǎo)率。

4.2 氣水與油水飽和巖石復(fù)電阻率頻散特性對(duì)比

根據(jù)式(38)和雙電極法測(cè)量氣水巖石復(fù)電阻率的數(shù)學(xué)模型,油水飽和巖石和氣水飽和巖石中復(fù)電阻率的頻散特性如圖4所示。圖4(a)考察了10-6～106Hz頻段內(nèi)復(fù)電阻率實(shí)部和虛部隨頻率的變化關(guān)系,圖4(b)是圖4(a)在100～106Hz頻段內(nèi)的截圖。

表2 氣水飽和巖石的基本參數(shù)取值表

圖4 氣水與油水飽和巖石復(fù)電阻率頻散特性對(duì)比曲線

由圖4可以看出,氣水飽和巖石復(fù)電阻率頻散曲線中實(shí)部的第1次、第2次快速下降的位置和虛部的第1極值、第2極值出現(xiàn)的位置挨得很近,不如油水飽和巖石復(fù)電阻率頻散曲線表現(xiàn)得那么明顯,但二者在整體上表現(xiàn)出相同的變化趨勢(shì),即二者的頻散特性相同,這與文獻(xiàn)[15]的研究結(jié)果一致。

4.3 孔隙度對(duì)氣水飽和巖石復(fù)電阻率頻散特性的影響

氣水飽和巖石中復(fù)電阻率的頻散特性與孔隙度的變化關(guān)系模擬結(jié)果如圖5所示。圖5(a)考察了10-6～106Hz頻段內(nèi)復(fù)電阻率頻散特性與孔隙度的變化關(guān)系,圖5(b)是圖5(a)在100～106Hz頻段內(nèi)的截圖。

由圖5可以看出,氣水飽和巖石復(fù)電阻率頻散特性與孔隙度的變化關(guān)系同油水飽和巖石的情況一致,即隨著孔隙度的增大,頻散程度減小,慢縱波P2波界面極化頻率和慢縱波P3波界面極化頻率均減小,快縱波P1波界面極化頻率幾乎不變。

圖5 氣水飽和巖石復(fù)電阻率頻散特性與孔隙度的關(guān)系曲線

4.4 滲透率對(duì)氣水飽和巖石復(fù)電阻率頻散特性的影響

氣水飽和巖石中復(fù)電阻率的頻散特性與滲透率的變化關(guān)系模擬結(jié)果如圖6所示。圖6(a)考察了10-6～106Hz頻段內(nèi)復(fù)電阻率頻散特性與滲透率的變化關(guān)系,圖6(b)是圖6(a)在100～106Hz頻段內(nèi)的截圖。

由圖6可以看出,氣水飽和巖石復(fù)電阻率頻散特性與滲透率的變化關(guān)系同油水飽和巖石的情況一致,即隨著滲透率的增大,頻散程度增大,慢縱波P2波界面極化頻率和慢縱波P3波界面極化頻率均增大,快縱波P1波界面極化頻率幾乎不變。

圖6 氣水飽和巖石復(fù)電阻率頻散特性與滲透率的關(guān)系曲線

4.5 飽和度對(duì)氣水飽和巖石復(fù)電阻率頻散特性的影響

氣水飽和巖石中復(fù)電阻率的頻散特性與含水飽和度的變化關(guān)系模擬結(jié)果如圖7所示。圖7(a)考察了10-6～106Hz頻段內(nèi)復(fù)電阻率頻散特性與飽和度的變化關(guān)系,圖7(b)是圖7(a)在100～106Hz頻段內(nèi)的截圖。

由圖7可以看出,氣水飽和巖石復(fù)電阻率頻散特性與飽和度的變化關(guān)系同油水飽和巖石的情況一致,即隨著含水飽和度的增大,頻散程度減小,這與文獻(xiàn)[15]的研究結(jié)果相吻合;隨著含水飽和度的增大,慢縱波P2波界面極化頻率減小,慢縱波P3波界面極化頻率增大,快縱波P1波界面極化頻率略有增大。

圖7 氣水飽和巖石復(fù)電阻率頻散特性與飽和度的關(guān)系曲線

5 結(jié) 論

(1) 基于電震耦合理論研究了油水飽和儲(chǔ)層巖石復(fù)電阻率的頻散特性。油水飽和巖石復(fù)電阻率實(shí)部頻散曲線上有3次快速下降,虛部頻段曲線上相對(duì)應(yīng)的有3個(gè)極值,這些特征是在電震快縱波P1波、電震慢縱波P2波和電震慢縱波P3波的共同作用下,由巖石中的電滲流機(jī)制形成的,界面極化頻率出現(xiàn)的位置由電震波的波速?zèng)Q定。

(2) 油水飽和巖石復(fù)電阻率的頻散程度隨著孔隙度、含水飽和度的增大而減小,隨著滲透率的增大而增大。慢縱波P2波界面極化頻率隨孔隙度和含水飽和度的增大而減小,隨滲透率的增大而增大,慢縱波P3波界面極化頻率隨孔隙度的增大而減小,隨滲透率和含水飽和度的增大而增大,快縱波P1波界面極化頻率隨含水飽和度的增大而略有增大。

(3) 氣水飽和巖石中復(fù)電阻率的頻散特性與油水飽和巖石中復(fù)電阻率的頻散特性略有不同,但二者的頻散程度隨孔隙度、滲透率和含水飽和度變化關(guān)系一致。由于此方面的相關(guān)研究甚少,所以氣水飽和巖石中復(fù)電阻率的頻散特性仍需要實(shí)驗(yàn)的進(jìn)一步驗(yàn)證。

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