微分方程中常數(shù)變易法的應用

楊 秀 香

(渭南師范學院 數(shù)理學院，陜西 渭南 714099)

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微分方程中常數(shù)變易法的應用

楊 秀 香

(渭南師范學院 數(shù)理學院，陜西 渭南 714099)

摘要：利用微分方程中常數(shù)變易法、線性代數(shù)以及微分方程理論,研究伯努利方程、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程、二階變系數(shù)齊次線性微分方程、二階變系數(shù)非齊次線性微分方程、n階非齊次線性微分方程、非齊次線性微分方程組的解法,得到各類方程的通解與特解。

關鍵詞:常數(shù)變易法;微分方程;求解;應用

常數(shù)變易法是解微分方程的一種很特殊的方法,常微分方程教材中是在求解一階非齊次線性微分方程時提出的,這種方法指的是將一階線性齊次微分方程通解中的常數(shù)變易成待定的函數(shù),代入原方程從而確定方程的解。本文利用常數(shù)變易法分析求解常微分方程中常見幾類方程的過程，總結(jié)出常數(shù)變易法在求解微分方程中的應用。

下面先將利用常數(shù)變易法解一階非齊次線性微分方程的過程作一回顧，見文獻[1-3]。

(1)

其中：P(x)、Q(x)在研究區(qū)間上是x的連續(xù)函數(shù)。若Q(x)≡0,方程(1) 變?yōu)椋?/p>

(2)

稱為一階齊次線性微分方程；若Q(x)≠0,方程(1)稱為一階非齊次線性微分方程。

方程(2)為變量分離方程,則得到它的通解為

y=ce∫P(x)dx，

(3)

這里c是任意常數(shù)。

現(xiàn)在討論非齊次線性微分方程(1)通解的求法。

顯而易見方程(2)是方程(1)的特殊形式,可以設想:在(3)中,將常數(shù)c變易為x的待定函數(shù)c(x)。令

y=c(x)e∫P(x)dx，

(4)

兩邊微分得

(5)

將(4)(5)代入(1),得到

若所給方程不能化為(1)的形式,可以將x看作是y的函數(shù),再看是否能化為(1)的形式。

1常數(shù)變易法的應用

1.1利用常數(shù)變易法解伯努利方程

伯努利方程(Bernouli equation)是非線性微分方程，通?？梢赞D(zhuǎn)化為線性方程,然后根據(jù)線性方程的求解方法再去求解。這里用常數(shù)變易法來直接求解[4-5]。

伯努利方程為:

(6)

y=ce∫P(x)dx。

(7)

將(7)中的常數(shù)c變易為x的待定函數(shù)c(x),令

y=c(x)e∫P(x)dx，

(8)

即[c(x)]-ndc(x)=Q(x)e(n-1)∫P(x)dxdx，

1.2利用常數(shù)變易法解二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程:

y″+py′+q=f(x)。

(9)

它對應的齊次方程為

y″+py′+q=0。

(10)

其特征方程為

r2+pr+q=0。

(11)

由于方程(9)的通解等于方程(11)的通解與其自身的一個特解之和,而二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解容易求得。因此,此處只需求出方程(9)的一個特解即可。但其中的實根與復根情況,要分別考慮:

(A)若r為方程(11)的實根,則y=cerx是方程(10)的解,由常數(shù)變易法可設方程(9)的一個特解為y*=c(x)erx,代入方程(9)并化簡得c″(x)+(2r+p)c′(x)=e-rxf(x)。

這是關于c(x)的一階線性微分方程,有特解c(x)=∫[e-(2r+p)x(∫e(r+p)xf(x)dx)]dx。

從而得到方程(9)的一個特解為y*=erx∫[e-(2r+p)x(∫e(r+p)xf(x)dx)]dx。

(B)若r為方程(11)的復根,不妨設:r=a+bi(a,b∈R,b≠0)，那么y=eaxsinbx是方程(10)的解,由常數(shù)變易法可設方程(9)有特解y*=c(x)eaxsinbx,與(A)的推導類似,可得方程(9)的一個特解

因為y*是特解,所以積分常量可以選成0。

1.3利用常數(shù)變易法解二階變系數(shù)齊次線性微分方程

二階常系數(shù)齊次線性微分方程是通過特征方程法求線性無關的特解,然后根據(jù)微分方程解的性質(zhì)得到通解。但是在二階變系數(shù)齊次線性微分方程當中,因為系數(shù)本身是變化的,利用特征方程來求通解的方法失效,為此我們利用常數(shù)變易法來做:

y″+p(x)y′+q(x)y=0 。

(12)

這是一個可降階的微分方程。

上式叫作變系數(shù)微分方程(12)的特解關系,因為y2為特解,所以積分常量均可選定為0。

1.4利用常數(shù)變易法解二階變系數(shù)非齊次線性微分方程

二階變系數(shù)非齊次線性微分方程[4-7]：

y″+p(x)y′+q(x)y=f(x)。

(13)

若y1為其對應的齊次方程的特解,則可利用第1.3節(jié)的方法求出方程另一個線性無關的特解,下面利用常數(shù)變易法求出非齊次方程的特解。為此,令y*=c(x)y1,將

y*′=c′(x)y1+c(x)y1′，y*″=c″(x)y1+2c′(x)y1′+c(x)y1″

代入方程(13)得

c″(x)y1+(p(x)y1+2y1′)c′(x)+(y1″+p(x)y1′+q(x)y1)c(x)=f(x)。

因為有y1″+p(x)y1′+q(x)y1=0，所以c″(x)y1+(p(x)y1+2y1′)c′(x)=f(x)，

構(gòu)成c′(x)的一階線性微分方程,由通解公式得

1.5利用常數(shù)變易法解n階非齊次線性微分方程

形如

(14)

的方程叫作n階線性微分方程,其中：pi(x)(i=1,2,…，n),f(x)是x的已知連續(xù)函數(shù)。當f(x)≠0時,(14)式叫作n階非齊次線性微分方程;當f(x)=0時,(14)式叫作n階齊次線性微分方程。

n階非齊次線性微分方程的通解為其相應的齊次線性微分方程的通解與其本身的一個特解之和[1]。因此,在求n階非齊次線性微分方程的通解時,只需要求出其相應的齊次線性微分方程的通解與其本身的一個特解即可。

設(14)式相應的齊次線性微分方程的通解為:

Y(x)=c1y1(x)+c2y2(x)+…+cnyn(x)。

(15)

其中：yi(x)(i=1,2,…，n)是齊次方程n個線性無關的的特解,ci(i=1,2，…,n)是n個獨立的任意常數(shù)。

引用常數(shù)變易法的思想,將ci變易為ci(x),令

(16)

為方程(14)的一個特解,即(16)式滿足(14)式,為了解n個待定函數(shù)ci(x),把(16)式代入(14),由此得到ci(x)滿足的一個條件(即含有ci(x)及其導數(shù)的一個方程),可是待定函數(shù)有n個,為了確定它們,必須再找出n-1個限制條件。

1.6利用常數(shù)變易法解非齊次線性微分方程組

先討論

x′=A(t)x+f(t)

(17)

解的結(jié)構(gòu),A(t)是區(qū)間a≤t≤b上的n×n連續(xù)矩陣,f(t)是區(qū)間a≤t≤b上的n維連續(xù)列向量,當f(x)≡0時,

x′=A(t)x

(18)

為(17)對應的齊次線性微分方程組。

性質(zhì)1[1]如果φ(t)是(17)的解向量,ψ(t)是(18)的解向量,則φ(t)+ψ(t)是(17)的解向量。

引理1[1-2]方程組(18)一定存在一個基解矩陣Φ(t),如果ψ(t)是(18)的任一解,那么ψ(t)=Φ(t)c, 這里c是確定的n維常數(shù)列向量。

引理2[1-2]設Φ(t)是(18)的基解矩陣,φ*(t)是(17)的某一個解,則(17)的任一解φ(t)都可表示為：

φ(t)=Φ(t)c+φ*(t)。

(19)

引理2告訴我們,為了求(17)的通解,只要知道(17)的一個解和它對應的齊次線性微分方程(18)的基解矩陣即可。為了求(17)的一個解,在已經(jīng)知道基解矩陣Φ(t)的情況下,有一個簡單的求解方法：常數(shù)變易法。

我們知道,如果c是常數(shù)列向量,則φ(t)=Φ(t)c是(18)的解,不可能是(17)的解。因此，我們將c變易為t的向量函數(shù)c(t),則有

φ*(t)=Φ(t)c(t) 。

(20)

假設(17)存在形如(20)的解,則將(20)代入(17)得到

Φ′(t)c(t)+Φ(t)c′(t)=A(t)Φ(t)c(t)+f(t)。

因為Φ(t)為(18)的基解矩陣,所以Φ′(t)=A(t)Φ(t),由此上式中含有A(t)Φ(t)c(t)的項就消失了,因而c(t)滿足關系式

Φ(t)c′(t)=f(t)。

(21)

2結(jié)語

綜上所述,常數(shù)變易法是一種特殊且實用性非常強的方法,利用常數(shù)變易法不僅能解一階非齊次線性微分方程,并且對一階非線性微分方程、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程、二階變系數(shù)齊次線性微分方程、二階變系數(shù)非齊次線性微分方程、高階非齊次線性微分方程和非齊次線性微分方程組的求解有著重要的作用,常數(shù)變易思想也是解微分方程的重要數(shù)學思想。盡管我們看到以上的方法公式煩瑣不便記憶,而且積分中運算量也比較大,但是我們?nèi)匀荒芸吹剿膬?yōu)點:(1)充實了常數(shù)變易法的應用；(2)可以解決變系數(shù)的二階微分方程問題,這是教材中未曾涉及的；(3)在解決非齊次方程問題時,沒有必要像教材一樣把自由項做詳細的分類,其適用范圍變得更加廣泛了,從而給我們一些新的啟示,擴展了我們解決問題的思路。

參考文獻:

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[7] 馮錄祥.一類二階齊線性微分方程的通解[J].渭南師范學院學報(自然科學版),2000，15(2):10-12.

【責任編輯牛懷崗】

The Application with Variation of Constants in the Ordinary Differential Equation

YANG Xiu-xiang

(School of Mathematics and Physics, Weinan Normal University，Weinan 714099, China)

Abstract:Using the variation of constants in differential equation, the knowledge of linear algebra and theory of differential equation to research Bernoulli equations, two order nonhomogeneous linear differential equations with constant coefficients, two order homogeneous linear differential equation with variable coefficient, two order variable coefficient linear differential equation, n order nonhomogeneous linear differential equations, and non-homogeneous linear differential equations, the general solution and special solution of equations are got.

Key words:variation of constants; differential equation; solution; application

作者簡介：楊秀香(1966—)，女，陜西富平人，渭南師范學院數(shù)理學院教授，主要從事生態(tài)數(shù)學及微分方程研究。

基金項目：陜西省扶持學科數(shù)學學科基金資助項目：微分方程的穩(wěn)定性理論及其在生物數(shù)學中的應用(14SXZD008)；渭南師范學院重點科研計劃項目：利用生態(tài)動力學模型研究秦東地區(qū)黃河濕地的資源保護與最優(yōu)化分析(13YKF003)；渭南師范學院教育科學研究項目：西方教師教育大學與中小學合作體質(zhì)特點(2014JYKX021)

收稿日期：2016-01-22

中圖分類號：O175.1

文獻標志碼：A

文章編號：1009-5128(2016)08-0009-05

【自然科學基礎理論研究】