扣件膠墊剛度頻變的鋼軌垂向自振特征分析

韋 凱，張 攀，梁迎春，王 平

(1.西南交通大學(xué) 高速鐵路線路工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610031；2.西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，四川 成都 610031)

自1971年我國建成第一條地鐵以來，各大城市已陸續(xù)修建了地鐵。目前，我國上海已擁有全世界最長的城市地鐵線路。到2020年，中國還有另外45座城市建成地鐵。

地鐵的運(yùn)輸能力強(qiáng)。據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，地鐵單向高峰每小時(shí)的運(yùn)輸能力達(dá)到3～6萬人次，甚至可達(dá)到8萬人次，遠(yuǎn)超其他公共交通方式。大規(guī)模地鐵線路給人們的出行帶來便捷，但是，地鐵的振動噪聲問題也隨之產(chǎn)生，并有日漸惡化的趨勢。為了抑制地鐵的振動與噪聲，通常會在軌道上采取措施，如科隆蛋扣件等扣件減振、彈性長或短軌枕等軌枕減振以及鋼彈簧或橡膠浮置板等道床減振。可以看出，這些措施的減振材料主要以高分子材料為主，包括天然橡膠(NR)、丁苯橡膠(SBR)、三元乙丙橡膠(EPDM)、氯丁橡膠(CR)與熱塑性聚氨酯彈性體(TPEE)等。

從目前地鐵振動噪聲的統(tǒng)計(jì)情況來看，即便已采用了這些高分子材料，減振效果也達(dá)不到預(yù)期。更為嚴(yán)重的是，隨著運(yùn)營時(shí)間的延長，軌道結(jié)構(gòu)會出現(xiàn)涉及車輛與軌道安全的問題，其中最突出的就是鋼軌波磨。例如：科隆蛋扣件直線與曲線地段的鋼軌異常波磨[1-4]、彈性短軌枕曲線地段的鋼軌波磨[5]以及其他減振軌道曲線段的鋼軌波磨[6]等。鋼軌波磨易引起扣件彈條松脫或折斷，甚至可能誘發(fā)車輛輪軸斷裂等嚴(yán)重安全事故。針對這些問題，大量現(xiàn)場試驗(yàn)與理論研究的共同結(jié)論是：地鐵減振軌道的鋼軌波磨與軌道動力支承性能(包括豎向[3]與橫向[7]支承剛度的合理取值)、布置方式及其組合的自振特征有關(guān)。因此，科學(xué)預(yù)測減振軌道在不同激擾頻率下的真實(shí)振動特征是治理鋼軌波磨的基礎(chǔ)性研究工作之一。

目前已開展的大量減振軌道自振特征研究工作中很少考慮高分子減振材料的頻變特性。已有試驗(yàn)數(shù)據(jù)表明高分子材料的動參數(shù)具有明顯的頻率依賴性[8-11]，不考慮該特性會造成一定的分析誤差。為了弄清這類誤差對軌道自振特征分析結(jié)果的影響，擬以地鐵DT VI2型扣件的熱塑性聚氨酯彈性體(TPEE)膠墊為研究對象，利用自主設(shè)計(jì)的原比例扣件膠墊動參數(shù)頻變試驗(yàn)臺，測取該類膠墊復(fù)剛度與損耗因子隨激振頻率的變化情況；結(jié)合國外相關(guān)試驗(yàn)成果，提出反映扣件膠墊剛度頻變性的經(jīng)驗(yàn)公式；應(yīng)用多自由度系統(tǒng)的實(shí)模態(tài)算法，計(jì)算分析扣件膠墊頻變剛度與常量剛度工況下的鋼軌垂向自振特征，探討在高分子材料的減振軌道自振特征分析中考慮高分子材料剛度頻變特征的必要性。

1 扣件膠墊動參數(shù)頻變的試驗(yàn)研究

扣件膠墊等高分子材料動參數(shù)頻變的試驗(yàn)方法主要有自由振動衰減法、振動梁法、振動桿法與正弦力激勵(lì)法等。其中，最常用的是基于正弦激勵(lì)法的動態(tài)機(jī)械分析法(Dynamic Mechanical Analysis，簡稱DMA)。但是，該方法的現(xiàn)有儀器設(shè)備均較昂貴，且這些設(shè)備目前僅能對高分子材料進(jìn)行小比例尺試驗(yàn)?？奂z墊等高分子材料的動力性能除了與材料本身屬性有關(guān)外，還與其結(jié)構(gòu)形式有關(guān)，如扣件膠墊表面的圓柱凸臺或溝槽等。因此，欲開展原比例扣件膠墊動參數(shù)的頻變試驗(yàn)，需按照相關(guān)測試原理，單獨(dú)設(shè)計(jì)。

1.1 扣件膠墊動參數(shù)頻變試驗(yàn)臺

根據(jù)正弦激勵(lì)法的基本原理，設(shè)計(jì)一臺原比例尺的扣件膠墊動參數(shù)頻變試驗(yàn)設(shè)備。該試驗(yàn)臺由基座、膠墊限位裝置、動力加載裝置與安全防護(hù)裝置四部分組成，如圖1(a)所示。

基座由鋼板Ⅰ、鋼板Ⅱ、方管、托臺及工字鋼焊接而成；膠墊限位裝置包括膠墊箍板、膠墊扣板與小鋼彈簧；動力加載裝置由兩個(gè)平行且對稱布置的偏心塊式激振器、大鋼彈簧及傳力構(gòu)件(鋼板Ⅲ、鋼板Ⅳ、中隔柱)組成；為防止動力加載裝置傾覆，還設(shè)計(jì)了防護(hù)裝置，即在基座的工字鋼頂端設(shè)置4根螺桿抵抗未被平衡的橫向力，實(shí)現(xiàn)對動力加載裝置的水平限位，保證試驗(yàn)過程的安全。根據(jù)設(shè)計(jì)圖制造出的試驗(yàn)臺如圖1(b)所示。

(a)設(shè)計(jì)圖

(b)實(shí)物圖圖1 原比例尺的扣件膠墊動參數(shù)頻變試驗(yàn)臺

1.2 扣件膠墊動參數(shù)頻變的測試過程

首先根據(jù)選取的扣件膠墊尺寸，將相應(yīng)規(guī)格的箍板固定于基座鋼板Ⅰ的上表面。然后，將待測膠墊試樣鑲嵌在箍板之內(nèi)，用膠墊扣板扣壓在膠墊上，將4個(gè)小鋼彈簧布置在膠墊扣板上表面的孔位處。通過擰緊鋼彈簧頂部的螺母來壓縮鋼彈簧，即可有效模擬扣件彈條對膠墊的初始扣壓作用(一組扣件彈條的扣壓力約為20 kN)。

把扣件膠墊試樣安置完成后，在膠墊扣板上表面的中心處放置測力元件，用以實(shí)時(shí)采集動力加載過程中的激振荷載。吊裝傳力構(gòu)件，并在傳力構(gòu)件鋼板Ⅲ的上表面設(shè)置4個(gè)大鋼彈簧，同時(shí)將其嵌套在工字鋼頂面的螺桿上。通過擰緊大鋼彈簧頂部的螺母即可實(shí)現(xiàn)配重預(yù)壓，近似模擬列車靜載的預(yù)壓作用(一組扣件系統(tǒng)承受的列車靜載預(yù)壓力約為靜輪重的0.4～0.6倍)。隨后，將振動電機(jī)對稱固定于傳力構(gòu)件鋼板Ⅲ的預(yù)留孔位上，并分別在傳力構(gòu)件鋼板Ⅳ上表面及基座的托臺上布置2個(gè)位移傳感器，用以實(shí)時(shí)采集動力加載過程中扣件膠墊的壓縮變形。最后，給偏心塊式激振器通電實(shí)現(xiàn)動力加載。

1.3 扣件膠墊動參數(shù)頻變的試驗(yàn)結(jié)果

在周期性外力作用下，扣件膠墊等高分子材料的荷載-位移遲滯回線能夠反映其動態(tài)力學(xué)行為。因此，下面將根據(jù)實(shí)時(shí)采集的TPEE膠墊的激振荷載與壓縮變形，繪制出該膠墊的荷載-位移遲滯回線。但是，由于偏心塊式激振器的工作頻率范圍是50～80 Hz，因此這里只能給出該激振頻率段內(nèi)TPEE膠墊的荷載-位移遲滯回線。

為說明TPEE膠墊的荷載-位移遲滯回線隨激振頻率變化的差異，圖2給出了50.8 Hz和78.0 Hz激振頻率下TPEE膠墊的荷載-位移遲滯回線。從圖2可以看出，TPEE膠墊的荷載-位移遲滯回線近似為一個(gè)橢圓，因此該膠墊與線性黏彈性材料的動力行為一致。在線性黏彈性材料的橢圓形遲滯回線中，橢圓長軸的斜率等于復(fù)剛度，橢圓面積表示能量的損耗，它與最大應(yīng)變能的比值即為損耗因子。顯然，橢圓的面積越大，能量的耗損越多，損耗因子越大。

圖2 50.8 Hz和78.0 Hz激振下TPEE膠墊的荷載-位移遲滯回線

根據(jù)遲滯回線的上述特點(diǎn)可知，78.0 Hz激振頻率下TPEE膠墊的復(fù)剛度與損耗因子均大于50.8 Hz，如圖2所示。為進(jìn)一步揭示TPEE膠墊的復(fù)剛度與損耗因子在50～80 Hz范圍內(nèi)的變化情況，圖3為全部實(shí)測頻率點(diǎn)的復(fù)剛度與損耗因子。

(a)復(fù)剛度

(b)損耗因子圖3 50～80 Hz激振頻率下TPEE膠墊的復(fù)剛度與損耗因子

從圖3可以看出，TPEE膠墊的復(fù)剛度與損耗因子總體上隨著激振頻率的增加而增大。其中，TPEE膠墊的復(fù)剛度在50～80 Hz范圍內(nèi)從70.5 kN/mm增至98.4 kN/mm；同時(shí)，該膠墊的損耗因子由0.62升至1.07。

2 扣件膠墊的力學(xué)模型及其參數(shù)

為了應(yīng)用以上試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行鋼軌-扣件系統(tǒng)的自振特征分析，需進(jìn)一步選定扣件膠墊的力學(xué)模型及其動參數(shù)頻變的表征方法。

本試驗(yàn)結(jié)果與以往研究成果均表明：可采用線性黏彈性材料的力學(xué)模型對鐵路扣件膠墊進(jìn)行理論研究。目前，根據(jù)線性黏彈性材料的物理機(jī)制及具體的阻尼現(xiàn)象，學(xué)者們相繼建立了描述線性黏彈性材料的多種力學(xué)模型。常用模型主要有兩種，分別為復(fù)剛度或復(fù)阻尼模型(以下統(tǒng)稱復(fù)阻尼模型)與Kelvin-Voigt模型(簡稱KV模型)。雖然這兩類模型各具特色，但它們的動參數(shù)之間具有一定的相關(guān)性。

2.1 復(fù)阻尼模型與KV模型

若按照復(fù)阻尼模型，單自由度有阻尼系統(tǒng)的動力學(xué)運(yùn)動方程可以表示為

( 1 )

若按照KV模型，單自由度有阻尼系統(tǒng)的動力學(xué)運(yùn)動方程可以表示為

( 2 )

式中：k為單自由度質(zhì)量塊的彈性剛度，即對應(yīng)復(fù)阻尼模型中的儲能剛度，N/m；c為遲滯阻尼系數(shù)，N·S/m；其他參量與方程( 1 )一致。由于KV模型便于數(shù)學(xué)運(yùn)算，以往的軌道動力學(xué)與車輛-軌道耦合動力學(xué)中普遍采用該模型進(jìn)行理論計(jì)算。

2.2 兩類力學(xué)模型參數(shù)之間的關(guān)系

當(dāng)外部激勵(lì)為P(t)=P0sinωt時(shí)(ω是外部激振荷載的圓頻率)，式( 1 )和式( 2 )具有一致穩(wěn)態(tài)振動的前提是，損耗因子η等于阻尼比ξ的2倍，即

η=2ξ

( 3 )

因此，式( 1 )、式( 2 )中的損耗因子與阻尼系數(shù)有以下關(guān)系。

( 4 )

如果線性黏彈性材料的動參數(shù)與激振頻率有關(guān)，則式( 4 )變?yōu)?/p>

( 5 )

由復(fù)剛度、儲能剛度(即KV模型的彈性剛度)、耗能剛度、損耗因子與阻尼系數(shù)的關(guān)系可知：在扣件膠墊等高分子材料的減振軌道設(shè)計(jì)中，建議首先根據(jù)膠墊動參數(shù)頻變的荷載-位移遲滯回線，直接獲得膠墊復(fù)剛度與損耗因子隨激振頻率的變化情況(圖3)，然后應(yīng)用兩模型參數(shù)之間的關(guān)系，確定便于數(shù)學(xué)運(yùn)算的頻變彈性剛度(即頻變儲能剛度)。按照這種做法，可方便得到本試驗(yàn)中TPEE膠墊的儲能剛度隨激振頻率的變化情況(圖4)。從圖4可以看出，TPEE膠墊的儲能剛度總體上隨激振頻率的增加而增大。

圖4 50～80 Hz激振頻率下TPEE膠墊的儲能剛度

2.3 扣件膠墊儲能剛度頻變的經(jīng)驗(yàn)公式

目前，扣件膠墊等高分子材料儲能剛度頻變的表征方法主要有三種，分別是試驗(yàn)曲線直接擬合法、半經(jīng)驗(yàn)參數(shù)化方法和本構(gòu)關(guān)系描述法。其中，試驗(yàn)曲線擬合法直接依據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，以期望精度逼近試驗(yàn)曲線，具有較好的精確性與實(shí)用性。本文將采用該方法來表征TPEE膠墊的頻變儲能剛度。

由于本試驗(yàn)設(shè)備僅能測取50～80 Hz激振頻率下的扣件膠墊動參數(shù)，不能反映這些動參數(shù)在更寬頻域范圍內(nèi)的變化趨勢，因此難以對其進(jìn)行合理的數(shù)據(jù)擬合。為此，需借鑒其他學(xué)者的相關(guān)試驗(yàn)成果，進(jìn)行綜合研究。

通過調(diào)研發(fā)現(xiàn)：國內(nèi)關(guān)于扣件膠墊動參數(shù)頻變的試驗(yàn)較少，而且這些試驗(yàn)的激振頻率均低于10 Hz[12-14]。國外扣件膠墊動參數(shù)頻變的試驗(yàn)不多，激振頻率均較高，可達(dá)2 500 Hz。但這些高頻激振設(shè)備僅能進(jìn)行小比例尺的膠墊動參數(shù)試驗(yàn)[8-11]。其中，最具有代表性的是Maes等人的試驗(yàn)工作。他們以1∶40的聚苯乙烯橡膠與樹脂橡膠的扣件膠墊為研究對象，測試這些膠墊在20～2 500 Hz的動參數(shù)。試驗(yàn)結(jié)果表明：盡管各類膠墊在低頻點(diǎn)的儲能剛度不同，但是其儲能剛度隨激振頻率的變化趨勢較相似。通過擬合這些試驗(yàn)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，在對數(shù)坐標(biāo)下扣件膠墊儲能剛度與激振頻率近似線性相關(guān)。根據(jù)這一特征，再結(jié)合本文試驗(yàn)結(jié)果(圖4)，可近似推導(dǎo)更寬頻域范圍內(nèi)TPEE膠墊儲能剛度與激振頻率的對應(yīng)關(guān)系，如圖5所示。

圖5 對數(shù)坐標(biāo)系下TPEE膠墊儲能剛度與激振頻率的關(guān)系

TPEE膠墊儲能剛度與頻率的擬合經(jīng)驗(yàn)公式為

lgki=a×lgfi+b

( 6 )

式中：ki為TPEE膠墊的頻變儲能剛度(即KV模型的彈性剛度，kN/mm)；fi為外部激振頻率，Hz；a和b為試驗(yàn)系數(shù)，在本試驗(yàn)中，a、b分別為0.26、1.334。

3 扣件膠墊剛度頻變的鋼軌垂向自振特征分析

由扣件膠墊儲能剛度的頻變試驗(yàn)可知，如果扣件膠墊等高分子材料的剛度具有明顯的頻變特征，則扣件膠墊的儲能剛度在實(shí)際工作中不是常量，而是隨外部激振頻率變化。因此，不同激振頻率下扣件膠墊彈性剛度一定不同，那么鋼軌-扣件系統(tǒng)的固有振動特征也會隨之改變?？奂z墊常量彈性剛度(以下簡稱常量剛度)的軌道自振特征必不同于扣件膠墊頻變彈性剛度(以下簡稱頻變剛度)的軌道自振特征。

為探究扣件膠墊頻變剛度對鋼軌-扣件系統(tǒng)固有頻率及其振型的影響，下面以TPEE膠墊的DT VI2型扣件與軌枕埋入式無砟軌道為例，應(yīng)用ABAQUS有限元軟件中的實(shí)模態(tài)算法，計(jì)算分析扣件膠墊常量剛度與頻變剛度的鋼軌垂向自振特征。

3.1 鋼軌-扣件系統(tǒng)的有限元模型

在鋼軌-扣件系統(tǒng)的ABAQUS有限元模型中，鋼軌的計(jì)算長度取50 m，扣件間距取0.6 m。鋼軌與扣件系統(tǒng)分別采用ABAQUS軟件的BEAM21單元和線性彈簧進(jìn)行模擬，計(jì)算參數(shù)見表1。其中，鋼軌的最小單元長度為0.1 m，鋼軌所有節(jié)點(diǎn)僅考慮垂向運(yùn)動。需要特殊說明的是，扣件系統(tǒng)的豎向剛度由扣壓件剛度與扣件膠墊剛度組成，其中扣壓件剛度僅為0.5～1.2 kN/mm，因此扣件膠墊剛度可近似看作整個(gè)扣件系統(tǒng)的剛度。

表1 軌道模型的計(jì)算參數(shù)

3.2 鋼軌-扣件系統(tǒng)的模態(tài)分析

下面將比較扣件膠墊常量剛度與頻變剛度工況下的鋼軌垂向自由振動特征。

(1)扣件膠墊常量剛度工況

在以往的軌道動力分析中，扣件膠墊剛度取自3～5 Hz激振頻率下的剛度，這里按照式( 6 )近似取4 Hz激振頻率下的彈性剛度作為TPEE膠墊的常量剛度(即31 kN/mm)。應(yīng)用ABAQUS軟件中實(shí)模態(tài)分析的蘭索斯(Lanczos)求解法，即可計(jì)算出鋼軌垂向自振的各階固有頻率，如圖6所示。

圖6 扣件膠墊常量剛度下鋼軌垂向自振的固有頻率

從圖6可以看出，當(dāng)TPEE膠墊取4 Hz激振頻率下的彈性剛度31 kN/mm時(shí)，鋼軌垂向自振的固有頻率較多，前20階固有頻率增加比較緩慢，20階之后各階固有頻率的增速明顯加快。

在傳統(tǒng)認(rèn)識中，當(dāng)輪軌激振頻率與鋼軌某階固有頻率一致時(shí)，就容易引發(fā)輪軌共振，因此該組鋼軌垂向自振的固有頻率亦可稱為鋼軌垂向的敏感共振頻率。這種理解在扣件膠墊頻變剛度的情況下將不再適用。

(2)扣件膠墊頻變剛度工況

當(dāng)扣件膠墊彈性剛度頻變時(shí)，鋼軌-扣件系統(tǒng)的固有頻率與外部激振頻率有關(guān)，此時(shí)鋼軌-扣件系統(tǒng)的敏感共振頻率并非各階固有頻率。例如：當(dāng)外部激振頻率為fi時(shí)，扣件膠墊的彈性剛度為ki，據(jù)此可計(jì)算出鋼軌-扣件系統(tǒng)的一組n階固有頻率；此時(shí)，只有當(dāng)其中的某階固有頻率與外部激振頻率一致時(shí)，該階固有頻率才是敏感共振頻率，該階固有頻率對應(yīng)的振型是敏感共振振型。

為了計(jì)算扣件膠墊頻變剛度工況下鋼軌-扣件系統(tǒng)的敏感共振頻率，需要循環(huán)多次進(jìn)行求解。為此，通過組合應(yīng)用ABAQUS與Matlab軟件，來自動循環(huán)求解鋼軌-扣件系統(tǒng)的敏感共振頻率，具體計(jì)算流程如圖7所示。

圖7 扣件膠墊剛度頻變時(shí)鋼軌垂向敏感共振頻率的計(jì)算流程

按照圖7的計(jì)算流程，可以得到扣件膠墊頻變剛度工況下鋼軌垂向敏感共振頻率，如圖8所示。從圖8可以看出，在扣件膠墊頻變剛度工況下，并非每階都有鋼軌垂向敏感共振頻率，且這些敏感共振頻率在前50階內(nèi)明顯高于扣件膠墊常量剛度工況。此外，隨著自由振動階數(shù)的增加，相同階數(shù)下兩工況敏感共振頻率的差距逐漸縮小。在本算例中，兩工況的第1、第30和第46階敏感共振頻率的差距分別為99.7 Hz、83.3 Hz 和58.4 Hz。

為了進(jìn)一步比較扣件膠墊常量剛度與頻變剛度工況下相同或相近鋼軌垂向敏感共振頻率所對應(yīng)振型的差異，選取兩工況中鋼軌垂向敏感共振頻率最接近(圖8中的虛線)的振型，如圖9所示。

(a)膠墊常量剛度下鋼軌垂向敏感共振頻率292.7 Hz的振型

(b)膠墊頻變剛度下鋼軌垂向敏感共振頻率293 Hz的振型圖9 扣件膠墊常量剛度與頻變剛度下鋼軌垂向敏感共振頻率相近的振型(圖中實(shí)心方形節(jié)點(diǎn)為扣件的位置)

從圖9可以看出，在鋼軌垂向敏感共振頻率293 Hz附近，兩工況下鋼軌垂向自由振動的振型均為周期振動形式，周期振動的波長不同。在扣件膠墊常量剛度工況下，鋼軌垂向敏感共振頻率292.7 Hz的周期振動波長為2.63 m；在扣件膠墊頻變剛度工況下，鋼軌垂向敏感共振頻率293 Hz的周期振動波長為3.33 m。由此可見，與扣件膠墊常量剛度工況相比，考慮扣件膠墊剛度頻變后，兩工況中相同或相近的鋼軌垂向敏感共振頻率對應(yīng)的振型明顯不同。因此，如果不考慮扣件膠墊的頻變特征，必將直接影響鋼軌垂向敏感共振波長的預(yù)測精度。

4 結(jié)論與建議

本文以地鐵DT VI2型扣件的熱塑性聚氨酯彈性體(TPEE)膠墊為例，開展扣件膠墊動參數(shù)的頻變試驗(yàn)，結(jié)合國外相關(guān)試驗(yàn)成果，提出反映扣件膠墊剛度頻變特征的經(jīng)驗(yàn)公式。通過組合應(yīng)用ABAQUS與Matlab軟件，計(jì)算分析扣件膠墊頻變剛度與常量剛度工況下的鋼軌垂向自振特征，主要結(jié)論有：

(1)利用自主設(shè)計(jì)的原比例扣件膠墊動參數(shù)的頻變試驗(yàn)臺，測取TPEE膠墊的荷載-位移遲滯回線。根據(jù)遲滯回線的特點(diǎn)可知，TPEE膠墊的復(fù)剛度與損耗因子總體上隨激振頻率的增加而增大。在本試驗(yàn)中，TPEE膠墊的復(fù)剛度從50 Hz下的70.5 kN/mm增至80 Hz下的98.4 kN/mm；與此同時(shí)，它的損耗因子由50 Hz下的0.62升至80 Hz下的1.07。

(2)在扣件膠墊等高分子材料的減振軌道設(shè)計(jì)中，建議首先通過試驗(yàn)直接獲得扣件膠墊等高分子材料復(fù)剛度與損耗因子的頻變規(guī)律，然后應(yīng)用線性黏彈性材料的復(fù)阻尼模型與Kelvin-Voigt模型參數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，確定出便于理論分析的Kelvin-Voigt模型參數(shù)，即彈性剛度與阻尼系數(shù)。

(3)扣件膠墊剛度的頻變試驗(yàn)結(jié)果表明，如果扣件膠墊等高分子材料剛度具有明顯的頻變特性，那么扣件膠墊剛度在實(shí)際中并非常量。在這種情況下，軌道結(jié)構(gòu)的各階固有頻率并非都是敏感共振頻率，只有當(dāng)外部激振頻率fi與該激振頻率下扣件膠墊剛度ki的鋼軌-扣件系統(tǒng)某階固有頻率相同時(shí)，該階固有頻率才是軌道結(jié)構(gòu)的敏感共振頻率。

(4)通過計(jì)算與分析鋼軌-扣件系統(tǒng)的自由振動特征可以發(fā)現(xiàn)，在前50階的鋼軌垂向自由振動中，扣件膠墊剛度頻變的鋼軌垂向敏感共振頻率明顯高于扣件膠墊常量剛度工況。隨著階數(shù)的增加，兩工況中相同階數(shù)下鋼軌垂向敏感共振頻率的差距逐漸縮小。

(5)比較扣件膠墊常量剛度與頻變剛度工況下鋼軌垂向自由振動的振型可以發(fā)現(xiàn)，在鋼軌垂向敏感共振頻率相同或相近的情況下，扣件膠墊剛度頻變的鋼軌垂向敏感共振波長明顯大于扣件膠墊常量剛度工況。因此，如果不考慮扣件膠墊的頻變特征，必然會降低鋼軌垂向敏感共振頻率及其振型的預(yù)測精度。

參考文獻(xiàn)：

[1]HUGH S,JAMES P.In-service Tests of the Effectiveness of Vibration Control Measures on the BART Rail Transit System[J].Journal of Sound and Vibration,2006,293(3):888-900.

[2]孫曉靜,張厚貴,劉維寧,等.采用剪切型減振器扣件的鋼軌頻率響應(yīng)特性測試分析[J].土木工程學(xué)報(bào),2015,48(S1):419-423.

SUN Xiaojing,ZHANG Hougui,LIU Weining,et al.Laboratory Measurement on Rail Frequency Response Behavior for Egg Fastening System[J].China Civil Engineering Journal,2015,48(S1):419-423.

若u,v是一個(gè)圖G中的兩個(gè)不同的點(diǎn),且u,v存在圖G中的k條內(nèi)不交的路,則稱這k條路為u,v間的k條容器,并記為k-(u,v)容器.若k-(u,v)容器的所有路中包含圖G中所有的頂點(diǎn),則稱k-(u,v)容器為k*-(u,v)容器.?u,v∈V(G),u與v間都存在k*-(u,v)容器,則稱圖G為k*-連通的.一個(gè)圖G是k*-連通的,且1 ≤ k ≤ κ(G),則稱圖G為超支撐連通圖,其中κ(G)為圖G的點(diǎn)連通度.根據(jù)上面定義,若一個(gè)圖中的任何兩點(diǎn)間都存在哈密頓路,則這個(gè)圖為哈密頓連通圖,即等同于1*-連通圖;若一個(gè)圖含有一個(gè)哈密頓圈,則這個(gè)圖是哈密頓圖,即2*-連通圖.

[3]ZHANG H G,LIU W N,LIU W F,et al.Study on the Cause and Treatment of Rail Corrugation for Beijing Metro[J].Wear,2014,317(1-2):120-128.

[4]李偉,杜星,王衡禹,等.地鐵鋼軌一種波磨機(jī)理的調(diào)查分析[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2013,49(16):26-32.

LI Wei,DU Xing,WANG Hengyu,et al.Investigation into the Mechanism of Type of Rail Corrugation of Metro[J].Joural of Mechanical Engineering,2013,49(16):26-32.

[5]李霞,李偉,吳磊,等.套靴軌枕軌道鋼軌波磨初步研究[J].鐵道學(xué)報(bào),2014,36(11):80-85.

LI Xia,LI Wei,WU Lei,et al.Preliminary Study on Rail Corrugation of Rubber Booted Short Sleepers Track[J].Journal of the China Railway Society,2014,36(11):80-85.

[6]沈建文,高亮,戴春陽,等.減振軌道形式對地鐵曲線上鋼軌磨耗影響的仿真[J].北京交通大學(xué)學(xué)報(bào),2011,35(4):38-43.

SHEN Jianwen,GAO Liang,DAI Chunyang,et al.Simulation Study on Subway Vibration Reduction Tack Influencing Rail Wear in Curve[J].Journal of Beijing Jiaotong University,2011,35(4):38-43.

[7]楊廣武,彭華,王佳妮,等.基于工程類比的北京地鐵鋼軌異常波磨整治方法[J].北京交通大學(xué)學(xué)報(bào),2013,37(4):40-45.

YANG Guangwu,PENG Hua,WANG Jiani,et al.Remediation Method of Abnormal Rail Corrugation of Beijing Subway Based on Engineering Analogy[J].Journal of Beijing Jiaotong University,2013,37(4):40-45.

[8]MAES J,SOL H,GUILLAUME P.Measurements of the Dynamic Railpad Properties[J].Journal of Sound and Vibration,2006,293(3-5):557-565.

[9]CASADO J A,CARRASCAL I,POLANCO J A,et al.Fatigue Failure of Short Glass Fibre Reinforced PA 6.6 Structural Pieces for Railway Track Fasteners[J].Engineering Failure Analysis,2006,13(2):182-197.

[10]THOMPSON D J,VERHEIJ J W.The Dynamic Behaviour of Rail Fasteners at High Frequencies[J].Applied Acoustics,1997,52(1):1-17.

[11]FENANDER A.Frequency Dependent Stiffness and Damping of Railpads[J].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers,1997,211(1):51-62.

[12]李莉,王書衛(wèi),呂英康,等.鋼軌扣件減振橡膠動態(tài)剛度特性分析[J].同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2013,41(2):208-212.

LI Li,WANG Shuwei,Lü Yingkang,et al.Dynamic Stiffness Analysis of Rubber Absorber in Rail Fastenings[J].Journal of Tongji University:Natural Science,2013,41(2):208-212.

[13]LUO Y,LIU Y,YIN H P.Numerical Investigation of Nonlinear Properties of a Rubber Absorber in Rail Fastening Systems[J].International Journal of Mechanical Sciences,2013,69:107-113.

[14]ZHU S Y,CAI C B,SPANOS P D.A Nonlinear and Fractional Derivative Viscoelastic Model for Rail Pads in the Dynamic Analysis of Coupled Vehicle-slab Track Systems[J].Journal of Sound and Vibration,2015,335:304-320.