一類(lèi)特殊矩陣的性質(zhì)

劉建明

(1.泉州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 福建 泉州　362000;

2.泉州師范學(xué)院 福建省大數(shù)據(jù)管理新技術(shù)與知識(shí)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 福建 泉州　362000;

3.泉州師范學(xué)院 智能計(jì)算與信息處理福建省高等學(xué)校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 福建 泉州　362000)

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一類(lèi)特殊矩陣的性質(zhì)

劉建明1,2,3

(1.泉州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 福建 泉州362000;

2.泉州師范學(xué)院 福建省大數(shù)據(jù)管理新技術(shù)與知識(shí)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 福建 泉州362000;

3.泉州師范學(xué)院 智能計(jì)算與信息處理福建省高等學(xué)校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 福建 泉州362000)

摘要：定義并研究了O-對(duì)稱(chēng)矩陣，從而得到一些結(jié)論。

關(guān)鍵詞：對(duì)稱(chēng)； 合同

1概念與引理

定義1[1]設(shè)m×n階矩陣

則稱(chēng)如下矩陣

為A的全轉(zhuǎn)置矩陣，記B=AO。

定義2[2-4]數(shù)域P上，次對(duì)角線上的元素為1，而其他位置上的元素全為0的n階方陣稱(chēng)為次單位矩陣，記為Jn。

定義3設(shè)A為n階方陣，若AO=A，則稱(chēng)A為O-對(duì)稱(chēng)矩陣。

定義4[2]設(shè)A∈Rn×n，B∈Rn×n,若存在可逆矩陣Q∈Rn×n,使得B=QTAQO,則稱(chēng)A與B為O-合同。

引理1[2]設(shè)A為n階方陣,則

1)(AT)O=(AO)T;

2)(AB)O=AOBO;

3)(A-1)O=(AO)-1。

引理2[2]若A為n階方陣，則AO=JnAJn。

引理3[2](A+B)O=AO+BO。

2主要結(jié)論與證明

命題1設(shè)A為n階方陣，則|AO|=|A|。

證明由引理2

所以|AO|=|A|。

命題2設(shè)A為n階方陣，則A+AO是O-對(duì)稱(chēng)矩陣。

證明由引理3可得

根據(jù)定義3結(jié)論證得。

命題3設(shè)A為n階可逆方陣，K為非零實(shí)數(shù)，則KAO也為可逆方陣，且

證明由引理1可得

EO=E

所以KAO可逆，且

命題4設(shè)A、B為n階可逆方陣，則AOBO也為可逆方陣，且(AOBO)-1=(BO)-1(AO)-1。

證明因?yàn)锳、B為可逆方陣,所以由命題3可得AO、BO也為可逆方陣，且(AO)-1=(A-1)O,(BO)-1=(B-1)O。

由引理1可得

故AOBO可逆，且

命題6設(shè)A為n階可逆方陣,則|(AO)-1|=|AO|-1=|A|-1。

證明因A為可逆方陣,故由命題3可得AO也為可逆方陣，即AO(AO)-1=E。故

由命題1可得|AO=|A|，且A可逆，即|A|≠0。故

命題7設(shè)A、B∈Rn×n，A與B合同，且A為O-對(duì)稱(chēng)矩陣，則A與BO合同。

證明因?yàn)锳與B合同,所以存在可逆矩陣Q∈Rn×n,使得B=QTAQ。

由引理1可得

BO=(QTAQ)O=(QT)OAOQO=(QO)TAOQO

又因A為O-對(duì)稱(chēng)矩陣，即AO=A。故

BO=(QO)TAOQO=(QO)TAQO=PTAP

因此，A與BO合同。

命題8設(shè)A為可逆的實(shí)O-對(duì)稱(chēng)矩陣，則A-1也為實(shí)O-對(duì)稱(chēng)矩陣，且A-1與AT為O-合同。

證明因?yàn)锳為實(shí)O-對(duì)稱(chēng)矩陣,故AO=A。

由引理1可得

故A-1是O-對(duì)稱(chēng)矩陣,又因?yàn)锳可逆。

ATA-1AO=ATA-1A=ATE=AT

所以A-1與AT為O-合同。

命題11在實(shí)數(shù)域R上，實(shí)n階方陣A與n階單位矩陣E為O-合同，則|A|>0。

證明因?yàn)锳與E為O-合同,故由引理4可得E與A為O-合同。

存在可逆矩陣Q∈Rn×n, 使得

A=QTEQO=QTQO

由命題1可得

結(jié)論成立。

命題12設(shè)A、B∈Rn×n,Q是n階正交矩陣，且B=QTAQO，則|B|=|A|。

證明因?yàn)镼是n階正交矩陣,故QT=Q-1。

又因B=QTAQO,故B=Q-1AQO。

由命題1可得

結(jié)論成立。

命題13設(shè)A與B為O-合同，且A為O-對(duì)稱(chēng)矩陣，則JnA與JnBO合同。

證明因?yàn)锳與B為O-合同,故存在可逆矩陣Q∈Rn×n, 使得B=QTAQO。

由引理1可得

(QT)OAOQ

又因A為O-對(duì)稱(chēng)矩陣,故AO=A。

BO=(QT)OAOQ=(QT)OAQ=JnQTJnAQ

JnBO=QTJnAQ

即JnA與JnBO合同。

命題16若A為n階正交矩陣，B為任意n階方陣，則AB與BAO為O-合同。

證明因?yàn)锳為n階正交矩陣,故ATA=E。

BAO=EBAO=(ATA)BAO=AT(AB)AO

故AB與BAO為O-合同。

參考文獻(xiàn)：

[1]許永平.旋轉(zhuǎn)矩陣的概念與一些結(jié)論[J].江蘇廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào),1997(2)：81-84.

[2]許永平.矩陣的O-相似與O-合同[J].南京林業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2006(4):59-63.

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[5]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].4版.北京:高等教育出版社,2013.

[6]姚慕生.高等代數(shù)學(xué)[M].3版.上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,2014.

Properties of a class of special matrix

LIU Jianming1,2,3

(1.College of Mathematics and Computer Science, Quanzhou Normal University, Quanzhou 362000， China;2.Fujian Provincial Key Laboratory of Data Intensive Computing, Quanzhou Normal University, Quanzhou 362000， China;3.Key Laboratory of Intelligent Computing and Information Processing, Fujian Province University,Quanzhou Normal University, Quanzhou 362000， China)

Abstract：A class of special matrix is studied and some conclusions are made.

Key words：symmetry； congruence.

中圖分類(lèi)號(hào)：O 151.21

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1674-1374(2016)01-0102-03

DOI:10.15923/j.cnki.cn22-1382/t.2016.1.21

作者簡(jiǎn)介：劉建明(1982-)，男，漢族，福建惠安人，泉州師范學(xué)院講師，碩士，主要從事計(jì)算數(shù)學(xué)及高等數(shù)學(xué)教學(xué)與研究,E-mail:liujmcqu1999@163.com.

基金項(xiàng)目：福建省中青年教師教育科研項(xiàng)目(JA13270)； 泉州師范學(xué)院校級(jí)自選項(xiàng)目(2014KJ15)

收稿日期：2015-05-25