多元函數極值的應用分析

趙澤福

(昭通學院, 云南 昭通　657000)

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多元函數極值的應用分析

趙澤福

(昭通學院, 云南 昭通657000)

摘要：從方向導數法和梯度、內積法兩個方面舉例分析了多元函數極值的判定方法。實例研究了多元函數極值在利潤最大化、效用最大化以及實際問題等領域中的應用，對于資源的合理配置以及效益的最大化問題提供了技術參考。

關鍵詞：多元函數; 極值; 應用研究

0引言

近年來，隨著多元函數極值問題的研究越來越廣泛，與多元函數極值相關的分析和研究也越來越深入，使得該方面的理論也相對變得完善，因此，多元函數極值也在諸多領域得到應用，不僅應用于企業(yè)單位等利潤的計算，同樣應用于解決實際生活遇到的問題。文中基于多元函數極值的理論分析，展示了多元函數極值的應用。

1多元函數極值

在多元函數極值的定義中，設二元函數f(x,y)在某點P(a,b)的鄰域有定義域，位置P點的自變量增量為ΔP(m,n)，由此可以得到該函數的增量值為Δf=(a+m,b+n)-f(a,b)，如果Δf>0，則P(a,b)為該函數的極大值點，反之則為該函數的極小值點，極大值點所對應的函數值為極大值，反之為極小值，兩者統(tǒng)稱為多元函數的極值。

方程組

中解為該函數的穩(wěn)定點。

如果函數在P(a,b)點存在兩個偏導數，并且P(a,b)為函數的極值點，則

函數f(x,y)在某點P(a,b)的鄰域存在二階連續(xù)偏導數，讓

Δ=B2-AC1)如果 Δ<0，則P(a,b)為函數的極值點，當A>0時，P(a,b)為函數的極小值點；當A<0時，P(a,b)為函數的極大值點；

2)如果Δ>0，則P(a,b)不是該函數的極值點。

2多元函數極值的判法

2.1方向導數法判定多元函數的極值

設某函數f(p)在p0點處連續(xù)，存在r>0，并且有f(p)在去心鄰域中可微，如果Dp0p-f(p)在去心鄰域中保持符號不變，則該多元函數在p0處有極值。并且當Dp0p-f(p)為正值的時候，多元函數存在極小值；反之存在極大值。

舉例：求解f(x,y)=x2-2xy+3y2-2x+2y+10是否存在極值，如存在，求其極值大小。

解

經計算得x=1，y=0。

由此可知，該函數中(1,0)點的任意方向導數都是0。另

由最后的函數式可以看出，Dp0p-f(p)≥0，因此，可以判定該函數是存在極值的，并且存在極小值，極小值為f(1,0)=9。

2.2梯度、內積法判定多元函數的極值

設定函數f(x)為Rn→R的函數，并且要求x0=(x1,x2，…,xn)∈Rn,B(x0,δ)為x0的鄰域，如果函數在該鄰域范圍內為連續(xù)函數，則B0(x0,δ)是可以進行微分的，由此可以推導出：

1)如果(x-x0)·grandf(x)<0,則函數f(x)在x0處存在極大值；

2)如果(x-x0)·grandf(x)>0,則函數f(x)在x0處存在極小值。

當f(x,y)=g(u(x,y),v(x,y))時，有

舉例：判定函數f(x,y)=2x2+10y2-12x+20y-6極值。

解

解得，x=3,y=-1。

判定

所以函數在點(3，-1)處存在極小值f(3,-1)=-34。

3多元函數極值的應用

3.1利潤最大化問題的應用

x2----報紙廣告費用支出,萬元;

Z----企業(yè)商品銷售的總收入,萬元。

根據廣告與收益的關系，求最佳的廣告方式，使得企業(yè)的收益最大化。

解：企業(yè)收益值為商品銷售值與廣告投入費用值的差值，設企業(yè)的最大利潤值為：

R=(15+26x1+14x2-8x1x2-5x21-2x22)-(x1+x2)=

求解參數的極值，并賦予極值的條件得：

通過極值條件公式可以得到駐點值為x1=1/6萬元，x2=35/12萬元。

而利潤函數在駐點的矩陣為：

由于該函數的駐點矩陣為負矩陣，由此可得利潤函數在駐點位置的值為極大值，也就是該企業(yè)廣告策略的利潤最大化，即電視廣告費用為1/6萬元，報紙廣告費用的支出為35/12萬元，這樣可以獲得最大利潤點。

企業(yè)單位借助于多元函數的極值可以很好地解決利潤最大化的問題，通過極值的運用，企業(yè)不僅可以在支付和收入之間尋找一個均衡點以獲取利潤的最大化，還可以在限定一定的預算支出情況下找到費用支出的最佳點，實現資金資源的最佳利用和資源最優(yōu)配置，這對于企業(yè)追求利潤最大化來講，多元函數極值的應用起到了決定性的作用。

3.2效用最大化問題的應用

在經濟學中，經常會涉及到效應最大化的問題，在解決該種類型的問題中，通常借助于拉格朗日乘數法來對此類問題進行解答。消費者在進行消費中，所追求的就是效用最大化，即對所購商品的滿意度程度的最高化。舉例，設定消費者的效用函數為F=f(x1,x2)，進行消費中，預算的邊界條件為I=p1x1+p2x2，對此進行拉格朗日乘數法運算，得：

式中:λ----拉格朗日的乘數值。

在拉格朗日乘數方程的基礎上設定效用最大化的一階函數，即：

由第一階函數的條件可以得到F1/F2=p1/p2，其中F1/F2表示消費者所購商品的邊際替代率。因此，消費者效用最大化的條件是：兩件商品價格之間的比值等于兩件商品的邊際替代率，另外拉格朗日的乘數值等于貨幣的邊際效應。由此可以推出，消費者效用最大化的條件是消費者在每一個商品中最后一元錢所獲得的效用都是一致的，并且該商品的邊際效用與貨幣的邊際效應值相等。

在經濟學中，通過對多元函數極值的應用，可以很好地將其運用到商品經濟的消費中來，這樣消費者可以借助于多元函數的極值問題找到在一定的消費預算和效用的平衡點，幫助消費者選擇性價比最佳的商品，達到消費者滿意程度的最大化。

3.3解決實際問題的應用

多元函數的極值不僅可以應用于企業(yè)最大利潤化的運營策略，在實際問題中，還可以解決一些切合實際的問題，例如，某考試中心承辦一次考試，借用高校的教室作為考試的考場，該高校的教室有兩種，大教室最大容納考生的數量為50人，每一個教室的租金是70元；小教室最大容納考生的數量為30人，每一個教室的租金是40元。另外每一個大考場需要配備3名監(jiān)考老師，小考場配備2名監(jiān)考老師。在這次考試中，考生數量為1 800名，可以參加考試監(jiān)考教師的數量為114人，求在滿足本次考試的前提下，如何安排考場才能做到租金的最小化。

解：設需要大教室的數量為x1，需要小教室的數量為x2，則租金的最小化數學模型為

Z=min{70x1+40x2}

如果已知條件可以得到函數方程

式中：x1,x2----均為正數。

將最小化租金模型轉換成標準型為

Z=min{70x1+40x2+0x3+0x4}

將函數方程轉換成：

式中：x1,x2,x3,x4----均為正數。

可以得到全部函數的允許值為：

得

f(Yu1)=70×18+40×30=2460

在對考場布置問題的舉例中，借助于多元函數的極值很好地將資源進行了最優(yōu)配置，實現了資源的最佳利用價值，在實際生活中避免了資源的浪費。除此之外，在實際生活中諸多領域都會運用到多元函數的極值問題，諸如交通運輸的最佳道路選擇、運籌學中的最佳物流路線等，都會在一定程度上運用多元函數的極值幫助其解決實際問題。由此可見，多元函數的極值在實際生活中起到了良好的助推作用，有效地實現了資源的合理配備。

4結語

介紹了多元函數極值的定義及其性質，了解多元函數極值的判定準則和定理，并在此基礎上，推導了兩者多元函數極值的判定方法，通過實際舉例，很好地將多元函數的判定方法進行了全面的分析和概括，對于以后多元函數極值的判定中，可以靈活地運用不同的判定方法。最后通過實際案例的方式研究了多元函數在各領域的應用，借助于多元函數極值的應用，對于企業(yè)利潤最大化、消費者效用最大化以及生活實際問題等進行了解決，這對于各行業(yè)和各領域都起到了一定的擇優(yōu)選配的作用，有效地實現了資源的合理利用和優(yōu)化配置。

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Application of multivariate function extreme value

ZHAO Zefu

(Zhaotong University, Zhaotong 657000， China)

Abstract：With the directional derivative method and gradient/inner product methods, the determination of the multivariate function extreme values are analyzed. The applications of multivariate function extremum values in profit maximization and utility maximization are studied, which offer useful technical solutions for the problems of profit maximization and rational resources allocation.

Key words：multivariate function; extreme; applied research.

中圖分類號：O 175

文獻標志碼：A

文章編號：1674-1374(2016)01-0098-04

DOI:10.15923/j.cnki.cn22-1382/t.2016.1.20

作者簡介：趙澤福(1974-)，男，漢族，云南鎮(zhèn)雄人，昭通學院講師，主要從事基礎數學及微分方程方向研究,E-mail:285307087@qq.com.

基金項目：云南省教育廳科學研究基金(2015Y481)

收稿日期：2015-11-11