例析函數(shù)中的恒成立問題與存在性問題

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例析函數(shù)中的恒成立問題與存在性問題

江西省贛州中學(xué)(341000)李金花

談及高中數(shù)學(xué)最重要的知識(shí)內(nèi)容，無疑是函數(shù)，作為高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合是高考的熱點(diǎn)，多以壓軸題出現(xiàn)，難度較大，區(qū)分度較強(qiáng)，可見其在高中數(shù)學(xué)中的地位極其重要！而“恒成立”或“存在性”問題始終占據(jù)著函數(shù)最難最重要的位置，這些問題中，導(dǎo)數(shù)都是函數(shù)研究的重要工具，而將問題的思想方法準(zhǔn)確地分析出來，這是問題的難點(diǎn).筆者作為高中一線教師，通過對(duì)各省市試題及多種教輔資料分析，總結(jié)出了幾種非常常見，數(shù)學(xué)思想極其豐富的幾大題型，給廣大師生參考.

1變量相同，函數(shù)不同的恒成立與存在性問題

(1)對(duì)任意x∈[a,b]都有f(x)

(2)存在x0∈[a,b]使得f(x0)

(3)存在x0∈[a,b]使得f(x0)=g(x0)成立

解題思路：這類問題三大題型的解題思路基本一致，函數(shù)f(x)與g(x)中的變量是一樣的，故這兩個(gè)函數(shù)是同時(shí)變化的.其解題思路是首先考慮分離其中的參數(shù)，分離成m

例1設(shè)f(x)=ax+2,g(x)=a2x2-lnx+2,a∈R.

(1)若a=2，求曲線y=g(x)在點(diǎn)(1,g(1))處的切線方程；

(2)是否存在負(fù)數(shù)a，使f(x)≤g(x)對(duì)一切正數(shù)x都成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

解：(1)易得7x-y-1=0.

(2)令h(x)=g(x)-f(x)=a2x2-lnx-ax，則原題等價(jià)于h(x)min≥0,x∈(0,+∞).

2變量不同，函數(shù)不同的恒成立與存在性問題

(1)對(duì)任意x1∈[a,b]，任意x2∈[c,d]，都有f(x1)

解題思路：這類問題顯然與第一類問題不同，其函數(shù)f(x)與g(x)中的變量是不同的，變量之間沒有關(guān)聯(lián)，故這兩個(gè)函數(shù)是各自變化的.題意要求y=f(x),x∈[a,b]中的任意一個(gè)函數(shù)值均小于y=g(x),x∈[c,d]中的任意一個(gè)函數(shù)值，故問題可轉(zhuǎn)化為f(x)max(x∈[a,b])

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對(duì)任意x1,x2∈(0,+∞),g(x1)

(2)對(duì)任意x1∈[a,b]，均存在x2∈[c,d]，使得f(x1)

解題思路:該題型與題型二相似，題意要求y=f(x),x∈[a,b]中的任意一個(gè)函數(shù)值均小于y=g(x),x∈[c,d]中的某一個(gè)函數(shù)值，故問題可轉(zhuǎn)化為f(x)max(x∈[a,b])

例3已知函數(shù)f(x)=ax+lnx.

(1)若a=2，求曲線y=f(x)在x=1處的切線的斜率；

(2)討論f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)設(shè)g(x)=x2-2x+2，若對(duì)任意x1∈(0,+∞)，均存在x2∈[0,1]，使得f(x1)

解：(1)易得k=3.

3變量不同，函數(shù)相同的恒成立與存在性問題

(1)對(duì)任意x1∈[a,b]，均存在x2∈[c,d]，使得f(x1)=g(x2)成立

解題思路：對(duì)于這類題型，題意是要求對(duì)于y=f(x),x∈[a,b]中的任意一個(gè)函數(shù)值，都在y=g(x),x∈[c,d]的函數(shù)值中.故原題可轉(zhuǎn)化為y=f(x),x∈[a,b]的值域A?y=g(x),x∈[c,d]的值域B.

例4已知f(x)=lnx-ax(a∈R).

(1)討論f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)y=f(x),x∈(1,2)的值域?yàn)锳，y=g(x),x∈(1,2)的值域?yàn)锽，由題意可知，A?B.

(2)對(duì)任意x1,x2∈[a,b]，|f(x1)-f(x2)|≤ξ(ξ>0)恒成立

解題思路：對(duì)于這類題型，題意是在y=f(x),x∈[a,b]中，任取兩個(gè)函數(shù)值，這兩個(gè)值之差不超過ξ，故原題可轉(zhuǎn)化為f(x)max-f(x)min≤ξ,x∈[a,b]，只需求出y=f(x),x∈[a,b]的最大值和最小值即可解決.

(1)求f(x)的解析式；

綜上，m的取值范圍為0≤m≤1.

以上幾道例題是函數(shù)“恒成立”和“存在性”問題中的常見題型，題目融合了很多知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想方法，分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)和作差構(gòu)造函數(shù)都是解決這類問題的通法，結(jié)合了分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等思想方法，導(dǎo)數(shù)是解決與函數(shù)有關(guān)問題的強(qiáng)有力的工具.我們?cè)诮虒W(xué)中要選擇典型題目并進(jìn)行深層次的理解或延伸，把握好解題思路，將問題的條件和結(jié)論自然融合.當(dāng)然，教學(xué)中要有針對(duì)性地進(jìn)行綜合訓(xùn)練，高考復(fù)習(xí)才能高效，學(xué)生才能有所進(jìn)步.