構(gòu)造等差數(shù)列解讀無理方程組

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構(gòu)造等差數(shù)列解讀無理方程組

江蘇省泰州市姜堰區(qū)羅塘高級中學(225500)金岳男

本文主要談談如何構(gòu)造等差數(shù)列解讀某些非數(shù)列的無理方程組問題，供師生教學時參考.

點評：本題解法的巧妙之處在于通過構(gòu)造等差數(shù)列，大大減少了計算量，降低了解題的難度，可謂匠心獨具，新穎別致.體現(xiàn)了解題的探索精神和創(chuàng)新精神，充分顯示了構(gòu)造法的優(yōu)越性.

點評：本題用一般的思維方式考慮，很難找到解題的方法，而通過構(gòu)造等差數(shù)列，溝通了題設與結(jié)論的關(guān)系，使問題得到輕松解決.此題從表面上看似乎與等差數(shù)列無關(guān)，使人陷入“山窮水盡疑無路”之情景.但仔細觀察題目條件的特點，充分展開聯(lián)想，發(fā)揮思維的創(chuàng)造性，使得解題思路簡捷明快，解法簡單順暢，解法靈活巧妙.

思路分析：本題若采用平方法，對(1)式進行兩次平方去掉根號求解，不僅運算復雜，而且也很困難.然而注意到(1)式的特征“兩數(shù)之和是第三數(shù)”，應用構(gòu)造等差數(shù)列的方法求解，可使問題化繁為簡、變難為易.

點評：本題解法的巧妙之處在于通過構(gòu)造等差數(shù)列，避免了傳統(tǒng)解法中脫根號的繁瑣運算.

例4解方程組

思路分析：本題可采用平方法去根號求解，也可采用換元法求解.然而根據(jù)(1)式的特征，通過構(gòu)造等差數(shù)列求解，卻別有風味.

經(jīng)檢驗上述四組解都是原方程組的解.

點評：本題按常規(guī)解法較繁較難，然而運用了構(gòu)造等差數(shù)列法，則降低了解題難度，提高了解題速度，收到了意想不到的效果.

綜上可知：例1例2均是先從已知方程變形入手，通過構(gòu)造等差數(shù)列，設公差為d，再將所設兩無理方程兩邊平方相減，求得公差d與x之間的關(guān)系式，最后將此關(guān)系式代回所設的無理方程中求得其解.例3例4均是從方程組中第(1)式入手，通過構(gòu)造等差數(shù)列，設公差為d，將方程組中第(2)式變形為關(guān)于d的二次方程，求出d的數(shù)值后，進而求得方程組的解.構(gòu)造等差數(shù)列解無理方程組，其關(guān)鍵是要從問題的背景出發(fā)，根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征，尋找兩代數(shù)式之和等于第三個代數(shù)式的關(guān)系去構(gòu)造等差數(shù)列.這種方法通俗易懂，它既有利于學生融會貫通“基礎知識和基本技能”，又有利于幫助學生提高綜合解題水平，對于啟迪學生思維、開拓學生視野，提高教學質(zhì)量，提高教師講課效果，對于培養(yǎng)學生學數(shù)學、用數(shù)學、研究數(shù)學的興趣均頗有益處.

參考文獻

[1]馬小燕.構(gòu)造等差數(shù)列探究高考三角求值問題[J].數(shù)學教學通訊(重慶)，2010，9.