面積法與極限思想的形成*

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面積法與極限思想的形成*

江西師大教育學(xué)院(330022)

胡細(xì)細(xì)江西師大數(shù)信學(xué)院(330022)劉詠梅

1.引言

高中數(shù)學(xué)有關(guān)極限的教學(xué)問題引起了廣泛的討論和研究，極限思想是基本數(shù)學(xué)思想之一，在教學(xué)中，極限的符號廣泛使用，沒有極限的語言會使教學(xué)顯得很不自然．[1]而從現(xiàn)行的高中數(shù)學(xué)教材來看，對于極限我們主要是利用“趨于”、“逼近”、“無限接近”等進行直觀描述，并沒有給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹唉?δ定義”．學(xué)生在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)和微積分的時候往往會產(chǎn)生一種模糊的認(rèn)識，對于涉及極限思想的問題也不能很好的解決．從數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程來看，對曲面面積的探索正是極限思想形成的重要基礎(chǔ)．如圓的面積問題一直是古代數(shù)學(xué)家孜孜不倦探索的數(shù)學(xué)問題，公元3世紀(jì)，中國偉大數(shù)學(xué)家劉徽采用割圓術(shù)求圓面積；公元12世紀(jì)，印度人用“印度圓”求圓面積的方法，到后來開普勒(Kepler，J．)用無限個微小三角形求圓面積的方法．[2]借助面積關(guān)系解決問題的面積法不僅僅是一種古老的方法，也是個年輕的方法[3]，張景中先生通過“面積法”，為幾何開啟了新的紀(jì)元．它為學(xué)生直接觀察問題提供了很好的素材，給學(xué)生思考問題提供了支點．在教學(xué)中能否利用面積法，提升學(xué)生對極限的認(rèn)識，促進極限思想形成，從而更有效的運用極限思想解決問題，是一個值得探索的問題．

2.面積法對極限思想的意義

面積法是利用研究對象“形”的關(guān)系進行思維的方法，是利用思維對象變化過程中面積不變性將問題進行轉(zhuǎn)化的，是辯證思維在數(shù)學(xué)問題解決中的運用．任何幾何圖形，其面積是確定的，面積法是根據(jù)幾何量與涉及的有關(guān)圖形面積之間的內(nèi)在聯(lián)系，將問題轉(zhuǎn)化為面積的相關(guān)問題，從而把要論證的幾何量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為有關(guān)面積之間的關(guān)系，并通過圖形面積的等積變換對所論問題進行求解的方法．[4]面積法是形成數(shù)形轉(zhuǎn)化、有限無限轉(zhuǎn)化、化曲為直等重要思想的基礎(chǔ)之一，這些思想為極限的形成奠定了基礎(chǔ)，因而，將極限問題轉(zhuǎn)化為面積問題，回歸問題本源，是解決問題的重要途徑，也是學(xué)生形成極限思想的重要途徑．

2.1建立“形”與“數(shù)”的聯(lián)系

數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，“形”和“數(shù)”是構(gòu)成數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容．畢達哥拉斯學(xué)派很早就提出了有關(guān)“形數(shù)”的研究，并強烈地提出將數(shù)看作幾何思維元素．古希臘亞歷山大時期，運用幾何的知識處理等價的代數(shù)問題，如用線段代替數(shù)、兩數(shù)乘積的意義看成兩邊長等于兩數(shù)的矩形面積等．很多時候代數(shù)問題的解決往往需要借助面積，如用面積的關(guān)系來處理不等式問題．極限思想的運用之一，也是借助極限經(jīng)歷形與數(shù)的相互轉(zhuǎn)化，借助面積關(guān)系，進行面積分解和求和，這有助于幫助學(xué)生體會數(shù)形轉(zhuǎn)換的過程，有利于極限思想的形成．其聯(lián)系可表示為以下關(guān)系.

2.2建立“無窮”與“有窮”的聯(lián)系

Hilbert指出“數(shù)學(xué)是處理無窮的科學(xué)”[5]，數(shù)學(xué)中無窮的研究往往轉(zhuǎn)化為有窮的問題進行思考．面積法是由“有窮”向“無窮”過渡的重要方法，利用面積法對“有窮”的直觀認(rèn)識，有利于人們接受“無限”思維，這也是創(chuàng)造極限和微積分的重要依據(jù)．

從度量最簡單的矩形面積，到曲邊形面積，經(jīng)歷了漫長的發(fā)展過程，在割補變換中，思維也逐漸由“有窮”向“無窮”慢慢發(fā)展．由于面積守恒，面積的大小始終是“有限”的，圖形結(jié)構(gòu)的“割補移動”不會引起面積的改變，但是可以將圖形“無限”的分割，如分割成若干個正方形、矩形、三角形等圖形，因此面積也是“有窮”和“無窮”結(jié)合的有效載體．在利用面積關(guān)系進行割補轉(zhuǎn)化的過程中，人們對有窮和無窮的認(rèn)識也隨之不斷加深，逐漸萌芽了極限的思想，奠定了微積分的基礎(chǔ)．

2.3建立“直”與“曲”的聯(lián)系

古希臘三大著名幾何問題之一有化圓為方，這一問題的探索，是提出由直到曲解決問題的重要依據(jù)．如從等腰直角三角形—正方形—圓—橢圓(如下圖)的面積的思考，經(jīng)歷了特殊到一般的過程．可以得到一般的圓和橢圓的面積為s=kab形式，其中a為“中位線段長”，b為“高”，進而提出曲邊梯形等面積的猜想，這正是微積分計算原理的基本思想之一.基于這一基本思想，極限思維在歷史的道路上也前進了一大步．

通過無限逼近，借助已有的面積計算，推廣到一般的封閉的曲邊圖形面積，這是極限思想的重要體現(xiàn)，不僅孕育出了微積分，其本身也是解決問題的重要方法．有了微積分這一重要思想和工具，可以講很多問題可以轉(zhuǎn)化為面積之間關(guān)系，通過微積分得以解決．

2.4解決極限類函數(shù)不等式問題

面積法的具體運用是將需要研究的問題轉(zhuǎn)化為面積問題，借助面積之間關(guān)系來解決．極限類函數(shù)不等式問題也是高中數(shù)學(xué)重要的一類問題，面積法是解決這類問題的一種有效方法．這一方法是通過建立函數(shù)關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為面積之間的關(guān)系，再將面積問題借助微積分來解決，達到解決原問題的目的．

例(2012年天津高考題)已知函數(shù)f(x)=x-ln(x+a)的最小值為0，其中a>0．

(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)若對任意的x∈[0,+∞),有f(x)≤kx2成立，求實數(shù)k的最小值；

析解：(Ⅰ)(Ⅱ)略，下面討論(Ⅲ)．

步驟一：將原問題借助函數(shù)轉(zhuǎn)化為面積問題．

根據(jù)題目中的條件構(gòu)造函數(shù)關(guān)系式，正確繪制相應(yīng)的圖形，并使圖形能夠較為直觀地反映相應(yīng)的數(shù)量之間的關(guān)系，揭示出數(shù)與式的內(nèi)在屬性．在此過程中直觀思維是解決問題的基礎(chǔ)，是由形的問題向數(shù)的問題轉(zhuǎn)化的前提．

步驟二：建立面積之間的關(guān)系．

借助所作的圖形仔細(xì)觀察，探究圖形內(nèi)在的本質(zhì)屬性所蘊含的數(shù)量關(guān)系，并進行較為合理、準(zhǔn)確的猜測，衍生出新的數(shù)與式．

由函數(shù)圖形(如右)可知矩形面積和曲邊梯形面積的關(guān)系，在區(qū)間[1,n]上的n-1個小矩形的面積之和小于曲邊梯形的面積．

步驟三：面積關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系進行判斷．

以上通過圖形與構(gòu)造代數(shù)式及將其進行轉(zhuǎn)換，從而實現(xiàn)了數(shù)——形的相互轉(zhuǎn)化，形成了相應(yīng)的轉(zhuǎn)化思維，并通過必要的計算，從而判斷其較為復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系．

解決上述問題的基本思路是將需要解決的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為面積關(guān)系問題，將面積關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為積分問題．這也是借助面積法解決函數(shù)不等式的基本思路．

3.結(jié)語

華羅庚說過: “數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，數(shù)可以結(jié)合形進行直觀的解釋，在數(shù)—形的轉(zhuǎn)化的過程中，思維也在不斷的發(fā)展．面積問題的研究是極限思想的重要基礎(chǔ)，基于極限的微積分又為解決數(shù)學(xué)問題提供重要的思路．

當(dāng)然，在解決問題的過程中可綜合運用到函數(shù)、不等式、定積分、面積等數(shù)學(xué)知識，運用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、化歸、割補等重要思想方法．并由數(shù)的特點通過類比、聯(lián)想、創(chuàng)造等思維活動，構(gòu)造出相應(yīng)的面積，并經(jīng)歷觀察、猜想、頓悟，由特殊到一般的思維探究過程，從而逐漸形成正確的極限思想．

參考文獻

[1]俞求是．高中新課標(biāo)函數(shù)與微積分有關(guān)內(nèi)容的處理研究[J]．課程·教材·教法，2010，30(9)：59-62.

[2]《數(shù)學(xué)辭海》編輯委員會編.數(shù)學(xué)辭?！さ谝痪韀M].北京：中國科學(xué)技術(shù)出版社.2002.

[3]張景中．面積關(guān)系幫你解題[M] ．合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2013．1.

[4]張奠宙，宋乃慶．中學(xué)幾何研究[M]．北京：高等教育出版社，2006．

[5]匡繼昌．微積分和無窮小量的哲學(xué)思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報,2007,02:1-3.

[6]王新宏．賞析高考定積分試題[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,2015,03:58-60.

江西省學(xué)位與研究生教育教學(xué)改革項目支助，課題編號JXYJG-2012-028；江西省高等學(xué)校教學(xué)改革課題，課題編號：JXJG-14-2-25.