采用協(xié)方差矩陣稀疏表示的DOA估計(jì)方法

趙永紅,張林讓,劉 楠,解 虎

(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西西安 710071)

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采用協(xié)方差矩陣稀疏表示的DOA估計(jì)方法

趙永紅,張林讓,劉 楠,解 虎

(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西西安 710071)

摘要:針對(duì)L1-SRACV算法在低快拍時(shí)波達(dá)方向估計(jì)性能嚴(yán)重下降的問題,分析其原因并提出一種基于快速極大似然算法的波達(dá)方向估計(jì)新方法.首先利用快速極大似然算法估計(jì)協(xié)方差矩陣,以解決由于快拍數(shù)較低引起協(xié)方差矩陣小特征值不穩(wěn)定的問題.然后建立了基于快速極大似然算法的稀疏模型進(jìn)行波達(dá)方向估計(jì).最后,為了進(jìn)一步提高算法在快拍數(shù)較小時(shí)的性能,選擇剔除協(xié)方差矩陣的對(duì)角元素,并對(duì)建立的波達(dá)方向估計(jì)模型進(jìn)行了修改.仿真結(jié)果表明,所提算法相對(duì)于L1-SRACV算法具有高的估計(jì)精度和檢測(cè)概率,尤其是在快拍數(shù)較小時(shí)仍能獲得高的估計(jì)精度.

關(guān)鍵詞:稀疏表示;波達(dá)方向估計(jì);高分辨;協(xié)方差矩陣;相關(guān)信號(hào);快速極大似然算法

波達(dá)方向(Directional of Arrival,DOA)估計(jì)是陣列信號(hào)處理的熱點(diǎn)問題.傳統(tǒng)方法包括普通波束形成、Capon方法[1]、子空間類方法[2-3]和最大似然方法.子空間類方法能實(shí)現(xiàn)超分辨,但只適用于非相干信號(hào),對(duì)相干信號(hào)而言,必須先進(jìn)行去相關(guān)處理,而最大似然方法可以處理相干信號(hào),但算法的性能易受參數(shù)初始化準(zhǔn)確度的影響,而且計(jì)算復(fù)雜度比較高.

近年來,學(xué)者們將稀疏重構(gòu)的思想應(yīng)用到DOA估計(jì)中,提出了大量基于稀疏表示的DOA估計(jì)方法[4-6],相對(duì)于傳統(tǒng)的DOA估計(jì)方法,這些方法具有更高的估計(jì)精度和角度分辨能力.文獻(xiàn)[4]將稀疏重構(gòu)的思想應(yīng)用于加權(quán)子空間擬合(Weighted Subspace Fitting,WSF)問題,使WSF問題的求解不再依賴于初始值的選取.文獻(xiàn)[5]提出了JLZA算法,采用混合l2,0范數(shù)進(jìn)行DOA估計(jì),以解決l1范數(shù)約束會(huì)導(dǎo)致在目標(biāo)角度間隔較近時(shí)產(chǎn)生的估計(jì)偏差.文獻(xiàn)[6]提出了SPICE方法,該方法基于協(xié)方差匹配技術(shù),通過協(xié)方差矩陣的稀疏迭代進(jìn)行DOA估計(jì),具有很高的估計(jì)精度.文獻(xiàn)[7]提出了一種加權(quán)迭代最小范數(shù)(FOCUSS)方法,并將其應(yīng)用在DOA估計(jì)中,但該方法僅適用于單次快拍,之后經(jīng)過學(xué)者們的改進(jìn),文獻(xiàn)[8]提出了多快拍FOCUSS算法.文獻(xiàn)[9]提出了一種新的基于協(xié)方差矩陣稀疏表示的聯(lián)合波達(dá)方向估計(jì)方法,該方法僅利用協(xié)方差矩陣的部分信息進(jìn)行DOA估計(jì)方法,并且不需要已知噪聲功率.

多快拍的聯(lián)合估計(jì)可以有效提高算法的抗噪性能和估計(jì)精度,現(xiàn)有的多快拍聯(lián)合估計(jì)方法,包括基于直接數(shù)據(jù)域的多快拍聯(lián)合估計(jì)和基于協(xié)方差矩陣的聯(lián)合估計(jì).文獻(xiàn)[10]提出了基于稀疏信號(hào)重構(gòu)的稀疏陣列的DOA估計(jì)方法,該方法有很高的估計(jì)精度,且計(jì)算量較小,但是該方法不能直接處理相關(guān)信號(hào).文獻(xiàn)[11]針對(duì)多快拍提出了L1-SVD方法,該方法直接作用于多快拍獲得的數(shù)據(jù),通過奇異值分解(Singular Value Decomposition,SVD)方法降低算法的計(jì)算量,并將其成功應(yīng)用于窄帶信號(hào)和寬帶信號(hào)的DOA估計(jì)中,但該方法在低信噪比時(shí)性能急劇下降.文獻(xiàn)[12]基于奇異值分解,提出了多幀聯(lián)合欠定系統(tǒng)正則化聚焦求解算法(SVD-RMFOCUSS),并將其成功應(yīng)用于DOA估計(jì),該方法能準(zhǔn)確估計(jì)出目標(biāo)的方位,且計(jì)算量小,但需要確定正則化參數(shù),當(dāng)正則化參數(shù)選擇不準(zhǔn)確時(shí),算法可能會(huì)失效.文獻(xiàn)[13]提出了基于協(xié)方差矩陣稀疏表示的DOA估計(jì)方法(L1-SRACV),該方法可以處理相關(guān)信號(hào),并且不需要確定正則化參數(shù),但該算法的性能在快拍數(shù)較小時(shí)嚴(yán)重下降.

針對(duì)現(xiàn)有的基于協(xié)方差矩陣稀疏表示DOA估計(jì)方法在快拍數(shù)較小時(shí)性能嚴(yán)重下降的問題,基于快速極大似然(Fast Maximum Likelihood,FML)[14]算法,提出一種改進(jìn)的基于協(xié)方差矩陣稀疏表示的DOA估計(jì)方法.該方法通過FML穩(wěn)定協(xié)方差矩陣的小特征值,使算法的穩(wěn)健性得到提升,并且做了進(jìn)一步處理,削弱了噪聲的影響,從而使算法能夠獲得更高的角度分辨能力和估計(jì)精度,尤其是在快拍數(shù)較小時(shí)也能獲得很高的估計(jì)精度.

1 信號(hào)模型

其中,s(t)=[s1(t),s2(t),…,sK(t)]T,表示陣列接收的目標(biāo)信號(hào)矢量,(·)T表示轉(zhuǎn)置運(yùn)算;n(t)是陣列接收的噪聲矢量,服從零均值的復(fù)高斯分布,噪聲功率為σ2;A(θ)表示陣列流形矩陣,A(θ)= [ a(θ1),a(θ2),…,a(θK) ],a(θk)= [ 1,exp(-j2πf d21sinθkc),…,exp(-j2πfdM1sinθkc) ]T,為第k個(gè)信號(hào)的導(dǎo)向矢量,f是信號(hào)的載

以線陣為例,假設(shè)該陣列由M個(gè)陣元構(gòu)成,以第1個(gè)陣元為參考陣元,其他陣元與參考陣元的間距依次為d21,d31,…,dM1,空間遠(yuǎn)場(chǎng)存在K個(gè)窄帶信號(hào),其入射方向θ=[θ1,θ2,…,θK],則陣列的接收信號(hào)可以表示為波頻率,c表示電磁波的傳播速度.假設(shè)信號(hào)與噪聲是不相關(guān)的,則陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為

其中,E(·)和(·)H分別表示取期望運(yùn)算和共軛轉(zhuǎn)置運(yùn)算,IM表示M×M的單位陣,Rs=E [ s(t)sH(t)],是信號(hào)協(xié)方差矩陣.

其中,(·)*表示復(fù)共軛運(yùn)算,xm(t)表示第m個(gè)陣元在t時(shí)刻的接收數(shù)據(jù),gm是Q×1維的系數(shù)向量,在超完備基矩陣()下是稀疏的,當(dāng)且僅當(dāng)=θk時(shí),對(duì)應(yīng)位置的值非零,其余位置為0,em是M×1的列向量,除了第m個(gè)元素為1外,其它值都為0.將rm,m=1,2,…,M寫成矩陣的形式R=[r1,r2,…,rM],便可得到

2 基于協(xié)方差矩陣稀疏重構(gòu)的殘差約束模型

2.1 協(xié)方差矩陣的殘差約束模型

度量一個(gè)向量稀疏性的最直接的標(biāo)準(zhǔn)就是計(jì)算向量中非零元素的個(gè)數(shù),即l0范數(shù),但是基于l0范數(shù)約束的優(yōu)化問題是一個(gè)NP-hard問題,最常用的方式是用l1范數(shù)代替l0范數(shù),這樣使得問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)凸優(yōu)化問題,并且可以得到全局最優(yōu)點(diǎn).那么基于式(4)的DOA估計(jì)問題可以轉(zhuǎn)化成如下的約束問題:

其中,vec(·)表示矩陣的向量化,As N(μ,C)表示近似服從均值為μ,協(xié)方差矩陣為C的多維正態(tài)分布,?表示克羅內(nèi)克(Kronecker)積.用代替R,將會(huì)導(dǎo)致式(5)的等式約束不再成立,因而稀疏解向量[g1,g2,…,gQ]T的求解轉(zhuǎn)換成如下的殘差約束模型[13]:

其中,Asχ2(M2)表示近似服從自由度為M2的χ2分布,η的確定是由式(7)以高概率成立為前提的.

2.2 分析協(xié)方差矩陣小特征值對(duì)殘差約束模型的影響

顯然,(U*?U)(U*?U)H=I,(UT?UH)(UT?UH)H=I,可知(U*?U)和(UT?UH)都是酉矩陣,又(UT?UH)=(U*?U)H,可以將式(9)寫成

根據(jù)矩陣特征分解的惟一性,可知(U*?U)和(Λ?Λ)分別是矩陣^W的特征矩陣和對(duì)角矩陣,因此可以看出,矩陣^W的特征值由協(xié)方差矩陣估計(jì)值^R的特征值克羅內(nèi)克積決定,將其代入式(8),可得

根據(jù)酉矩陣的性質(zhì)可知

3 采用協(xié)方差矩陣稀疏表示的DOA估計(jì)方法

3.1 快速極大似然算法

假定協(xié)方差矩陣R可以分解成如下形式:

其中,R0是一個(gè)半正定Hermitian矩陣,IM是M階單位陣,σ2是噪聲功率.則協(xié)方差矩陣R可以通過快速極大似然來估計(jì)[14],其表達(dá)式為

其中,Λ=diag(λ1,λ2,…,λ^K,^σ2,^σ2,…,^σ2),是一個(gè)M×M的對(duì)角矩陣是特征值大于的個(gè)數(shù)是噪聲功率,通常是已知的或者通過足夠長(zhǎng)的時(shí)間快拍估計(jì)得到,λ1,λ2,…,λ^K是采樣協(xié)方差矩陣的大特征值,Φ= [Φ1,Φ2,…,ΦM],Φ1,Φ2,…,ΦM是采樣協(xié)方差矩陣的單位特征向量.通過式(14),可以看出FML算法的特點(diǎn)是將協(xié)方差矩陣小特征值固定在噪聲功率處,從而避免了由于快拍數(shù)有限而導(dǎo)致小特征值的不穩(wěn)定.

3.2 采用協(xié)方差矩陣的DOA估計(jì)方法

其中,J1=[e2,e3,…,eM]T,Ji=[e1,…,ei-1,ei+1,…,eM]T,i=2,3,…,M-1,JM=[e1,e2,…,eM-1]T,則可以將用于DOA估計(jì)的式(15)轉(zhuǎn)化為

通過分析可知,文中算法在推導(dǎo)的過程中并未涉及協(xié)方差矩陣R秩的問題,也沒有假設(shè)信號(hào)是不相關(guān)的,因此,該算法不但可以處理非相關(guān)信號(hào),而且也適用于具有任意相關(guān)性的信號(hào),并且不需要任何去相關(guān)處理.另外,文中采用FM L方法估計(jì)協(xié)方差矩陣R,從而達(dá)到穩(wěn)定協(xié)方差矩陣R小特征值的目的,同時(shí)選擇剔除協(xié)方差矩陣中含有噪聲的元素,提高算法的穩(wěn)健性,并且使算法在快拍數(shù)較小時(shí)仍能得到高的估計(jì)精度.因此理論上,相對(duì)于L1-SRACV算法,文中算法能獲得更高的角度分辨能力和估計(jì)精度,并且能適用于快拍數(shù)較小的情況.

4 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證文中算法的性能,采用仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行分析.實(shí)驗(yàn)中,采用九陣元的均勻線陣,陣元間距為半波長(zhǎng),初始角度的劃分為將空間域范圍-90°～90°,以1°為間隔,劃分為181份.

實(shí)驗(yàn)1 假設(shè)空間遠(yuǎn)場(chǎng)存在兩個(gè)目標(biāo),來波方向?yàn)閇2°,11°],陣列的每個(gè)通道噪聲均為零均值的復(fù)高斯白噪聲,且各個(gè)通道的噪聲互不相關(guān),信噪比為-6 dB,同時(shí)假定信號(hào)和噪聲是不相關(guān)的,平穩(wěn)快拍數(shù)L=300.圖1和圖2分別給出了信號(hào)在不相關(guān)和相干(衰落系數(shù)0.8+0.9j)情況下得到的稀疏空域譜,通過對(duì)比可以看出,信號(hào)的相干性幾乎對(duì)文中算法的DOA估計(jì)不產(chǎn)生影響,因而通過實(shí)驗(yàn)證明了文中算法同樣適用于相干信號(hào),并且不需要任何額外的去相關(guān)處理.

圖1 空域譜(不相干信號(hào))

圖2 空域譜(相干信號(hào))

圖3給出了兩個(gè)不同信號(hào)在來波方向?yàn)閇2°,11°]時(shí)的檢測(cè)概率,快拍數(shù)L=300,圖中每個(gè)點(diǎn)均由200次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)給出估計(jì)結(jié)果.在每次實(shí)驗(yàn)中,若估計(jì)所得角度與真實(shí)角度相差的絕對(duì)值之和小于2°,則定義該次實(shí)驗(yàn)為一次正確檢測(cè);否則,認(rèn)為檢測(cè)失敗.可以看出,采用文中建立的DOA估計(jì)模型,算法的檢測(cè)概率得到明顯的改善,尤其是在信噪比較低時(shí),所提算法的檢測(cè)概率相對(duì)于L1-SRACV有較大的提升,且優(yōu)于L1-SVD算法.?

圖3 檢測(cè)概率隨信噪比的變化曲線

圖4 檢測(cè)概率隨角度差的變化曲線

實(shí)驗(yàn)2 考察文中算法在不同角度間隔下的檢測(cè)概率,以此來評(píng)估所提算法的角度分辨能力.圖4給出了幾種算法在不同角度間隔下的檢測(cè)概率,信噪比為-6 dB,蒙特卡洛次數(shù)為200,實(shí)驗(yàn)中假設(shè)一個(gè)信號(hào)固定在θ1=2°,另一個(gè)信號(hào)的角度θ2=θ1+Δθ,其中角度間隔Δθ=2°～28°,步長(zhǎng)為2°.可以看出,通過FML算法穩(wěn)定協(xié)方差矩陣小特征值后,算法的角度分辨能力確實(shí)得到提升,如圖4所示,在角度間隔較小時(shí),文中算法的角度分辨能力明顯優(yōu)于L1-SRACV方法和L1-SVD方法的.

實(shí)驗(yàn)3 在實(shí)驗(yàn)中,主要驗(yàn)證文中算法在DOA估計(jì)精度方面的性能,其衡量標(biāo)準(zhǔn)采用均方根誤差(Root Mean Square Error,RMSE),定義為

其中,H為均方根誤差的平均次數(shù),小于等于蒙特卡洛次數(shù),K表示目標(biāo)個(gè)數(shù),^θk,h為第h次有效實(shí)驗(yàn)對(duì)第k個(gè)目標(biāo)的估計(jì)角度,θk為第k個(gè)目標(biāo)的真實(shí)角度.假設(shè)空間遠(yuǎn)場(chǎng)兩窄帶信號(hào)的來波方向分別為[-16.67°,42.83°],采用文獻(xiàn)[10]所提的網(wǎng)格逐步精細(xì)化方法來降低角度劃分柵格對(duì)測(cè)角精度的影響,迭代次數(shù)為2,精細(xì)化比例為1/3.圖5給出了DOA估計(jì)的RMSE隨信噪比的變化情況,其中信噪比為-10～10 dB,步長(zhǎng)為2 dB,快拍數(shù)為300,蒙特卡洛次數(shù)為100.可以看出,相對(duì)于L1-SRACV方法,文中算法明顯地提升了低信噪比情況下的估計(jì)精度.在高信噪比情況下,文中算法的估計(jì)精度與L1-SRACV方法的估計(jì)精度相接近,且都優(yōu)于L1-SVD的.圖6展示了DOA估計(jì)的RMSE隨快拍數(shù)的變化情況,其中快拍數(shù)為50～200,信噪比為10 dB,蒙特卡洛次數(shù)為100.可以看出,在快拍數(shù)較多時(shí),文中算法和L1-SRACV方法的估計(jì)精度都很高,但當(dāng)快拍數(shù)較小時(shí),L1-SRACV方法的估計(jì)精度嚴(yán)重下降,而文中算法仍然可以得到很高的估計(jì)精度.

圖5 RMSE隨信噪比的變化曲線

圖6 RMSE隨快拍數(shù)的變化曲線

5 結(jié)束語

在L1-SRACV算法的基礎(chǔ)上,提出了一種改進(jìn)的DOA估計(jì)方法.采用快速極大似然算法估計(jì)協(xié)方差矩陣,穩(wěn)定了協(xié)方差矩陣的小特征值,從而提高算法在低快拍下的穩(wěn)健性.為了進(jìn)一步提高算法的性能,選擇剔除協(xié)方差矩陣中的對(duì)角元素,使所提算法能獲得高的估計(jì)精度和角度分辨能力,并且適用于低快拍的情況,實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果驗(yàn)證了文中算法的有效性.

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(編輯:王 瑞)

DOA estimation method based on the covariance matrix sparse representation

ZH AO Yonghong,ZHANG Linrang,LIU Nan,XIE Hu
(National Key Lab.of Radar Signal Processing,Xidian Univ.,Xi’an 710071,China)

Abstract:The performance of the L1-norm-based sparse representation of array covariance vectors(L1-SRACV)algorithm significantly degrades with the number of samples decreasing.This paper analyzes the essential cause of this performance degradation and proposes a new direction of arrival(DOA)estimation method based on the fast maximum likelihood(FML)algorithm.Firstly,the FML algorithm is employed to estimate the covariance matrix,which attenuates the instability of the small eigenvalues of the covariance matrix.Then the sparse representation model based on the FML is formulated for DOA estimation and finally,optimized by removing the diagonal elements of the covariance matrix to obtain better performance.Simulation results indicate that our method outperforms the L1-SRACV with a higher accuracy and detection possibility,particularly under small samples support.

Key Words:sparse representation;DOA estimation;high-resolution;covariance matrix;correlative signal;fast maximum likelihood algorithm

作者簡(jiǎn)介:趙永紅(1989-),女,西安電子科技大學(xué)博士研究生,E-mail:zhaoyh_2014@163.com.

基金項(xiàng)目:中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(JB140213)

收稿日期:2014-10-27 網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間:2015-05-21

doi:10.3969/j.issn.1001-2400.2016.02.011

中圖分類號(hào):TN957.51

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1001-2400(2016)02-0058-06

網(wǎng)絡(luò)出版地址:http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20150521.0902.008.html