一類(n+1)次多項式系統(tǒng)極限環(huán)的存在性與唯一性

曹　明

(陜西學(xué)前師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 陜西 西安　710100)

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一類(n+1)次多項式系統(tǒng)極限環(huán)的存在性與唯一性

曹明

(陜西學(xué)前師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 陜西 西安710100)

摘要：基于Liapunov級數(shù)理論對一類(n+1)次多項式系統(tǒng)在原點的焦點量和極限環(huán)問題進(jìn)行了研究，得到了原點是該系統(tǒng)的焦點或中心的一個充分條件和該系統(tǒng)依賴于參數(shù)δ的Hopf分支問題，且分析了當(dāng)參數(shù)滿足δma=0時系統(tǒng)極限環(huán)的存在性與唯一性.

關(guān)鍵詞：多項式系統(tǒng)； Liapunov級數(shù)； 分支； 極限環(huán)

0引言

在文獻(xiàn)[1-3]中，作者提出了相伴系統(tǒng)的概念,并詳細(xì)研究了二次系統(tǒng)的相伴系統(tǒng)的極限環(huán)問題.基于文獻(xiàn)[4,5]的啟發(fā)，本文討論的是另一類(n+1)次多項式系統(tǒng)

(1)

(方程均為實系數(shù)多項式，且bn≠0).

系統(tǒng)(1)是在三次系統(tǒng)(2)

(2)

基礎(chǔ)上添加一些實或虛的不變直線y=yi得到的，其中yi是方程φ(y)=1+b1y+b2y2+…+bnyn=0(bn≠0)的根，所以稱系統(tǒng)(1)和(2)為一對相伴系統(tǒng).令方程φ(y)=0的最大負(fù)實根為A(若A不存在，則記A=-∞),最小正實根為B(若B不存在，則記B=-∞).

(3)

取新的變換x=x，y=H-1(u)，系統(tǒng)(3)進(jìn)一步可化為廣義Lienard系統(tǒng)(4)

(4)

其中H(A)

1中心和焦點問題

為了詳細(xì)地研究系統(tǒng)(1)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，首先考察系統(tǒng)(1)對應(yīng)線性系統(tǒng)

(5)

易知系統(tǒng)(5)有唯一的奇點O(0,0).若給系統(tǒng)(5)附加非線性項lx2+mx2y+ax3和b1xy+b2xy2+…+bnxyn,(bn≠0)，就得到系統(tǒng)(1).應(yīng)用文獻(xiàn)[5]的定理4.7，我們有如下引理:

引理1對于自治微分系統(tǒng)(1)，我們有(Ⅰ)若|δ|≥2，則O(0,0)為結(jié)點;(Ⅱ)若0<|δ|<2，則O(0,0)為(粗)焦點.在系統(tǒng)(1)中，當(dāng)|δ|≥2時O(0,0)為結(jié)點，當(dāng)0<|δ|<2時屬于中心焦點判定問題.

引理2對于系統(tǒng)(1),O(0,0)的焦點量是：ω0=δ；若ω0=0，則ω1=a；若ω0=ω1=0，則ω2=ma；若ω0=ω1=ω2=0,則O(0,0)是中心.若ωi>0(<0)，ω0=ω1=ω2=…=ωi-1=0，那么O(0,0)是不穩(wěn)定(穩(wěn)定)細(xì)焦點(其中ωi是O的第i階焦點量).

證明:為了獲得O的焦點量，我們采用文獻(xiàn)[2]和[6]的方法和記號.在系統(tǒng)(4)中令δ=0,F(x),g(x)按冪級數(shù)展開如下列形式：

F(x)=lx2+ax3+lmx4+amx5+lm2x6+

ax7+lm3x8+……

f(x)=F′(x)=2lx1+3ax2+4lmx3+5amx4+…

≡a1x+a2x2+a3x3+…+

g(x)=x+mx3+m2x5+m3x7+…+mnx2n+1+…

≡C0x+C1x2+C2x3+…+

g3=2β1,g5=2(-4c1β2+β3),

通過計算可得，g3=2a,g5=2am.由文獻(xiàn)[6]定理5知，如果ω0=δ，g3=2β1=2a>0(<0)則O(0,0)是一階不穩(wěn)定(穩(wěn)定)的細(xì)焦點；δ=g3=a=0，g5=0，則O(0,0)是中心.記O的第i階焦點量為ωi，由于系統(tǒng)(1)化為系統(tǒng)(4)時O的穩(wěn)定性改變了，因此有ω0=δ；若ω0=0，則ω1=a；若ω0=ω1=0，則ω2=ma；若ω0=ω1=ω2=0,則O(0,0)是中心.

如果ωi>0(<0)，ω0=ω1=ω2=…ωi-1=0,

那么O(0,0)是不穩(wěn)定(穩(wěn)定)細(xì)焦點(其中ωi是O的第i階焦點量).

若ω0=ω1=ω2=0,

即δ=a=ma=0時，系統(tǒng)(1)可化為

(6)

因為X(-x,y)=X(x,y),Y(-x,y)=-Y(x,y)，系統(tǒng)(6)的向量場是關(guān)于y軸對稱的，由平面系統(tǒng)的對稱原理可得O(0,0)是中心.

2系統(tǒng)的極限環(huán)

不失一般性，我們不妨假設(shè)l≥0(否則可通過變換(x,y,t)→(x,-y,-t)來改變符號),a≥0(否則可通過變換(x,y,t)→(-x,y,-t)來改變符號).同時在系統(tǒng)(4)中我們?nèi)砸?x,y,t)記(x,μ,τ).

考慮l=0和l≠0兩種情形下系統(tǒng)(1)的極限環(huán).

定理1當(dāng)l=0時，考慮一類自治微分系統(tǒng)(1)有：

(Ⅰ)若a>0,則原點O為一階穩(wěn)定細(xì)焦點，則當(dāng)0<δ?1,在原點O的外圍至少存在(1)的一個不穩(wěn)定極限環(huán).

(Ⅱ)a<0,則原點O為一階不穩(wěn)定細(xì)焦點，則當(dāng)-1<δ?0,在原點O的外圍至少存在(1)的一個穩(wěn)定極限環(huán).

證明： 首先基于Liapunov形式級數(shù)法理論，得到了O是系統(tǒng)(1)的焦點或中心的一個充分條件.

假設(shè)形式級數(shù)

其中Fk(x,y)是x,y的k次其次式，k=3,4,5…，于是

-2mcos3θsinθ-2acos4θ+2(b12-b2)cosθsin3θ

自然地，可以得到如下結(jié)論：

引入極坐標(biāo)變換x=rcosθ,y=rsinθ后，經(jīng)計算得結(jié)果

不失一般性，令α=-2b13+4b1b2-2b3，

引入極坐標(biāo)變換x=rcosθ,y=rsinθ后，經(jīng)計算得結(jié)果

F6(x,y)=

基于Liapunov形式級數(shù)法理論自然得到當(dāng)a=0時，原點O是系統(tǒng)(1)的中心.

注：當(dāng)δ=0且l=0時，一類多項式系統(tǒng)(1)在有限遠(yuǎn)奇點O(0,0)處的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)完全取決于參數(shù)α的符號.

繼續(xù)證明定理1的后半部分，只證明情形(Ⅰ)，情形(Ⅱ)類似可得.

顯然O(0,0)是系統(tǒng)(1)|-2<δ<0穩(wěn)定(粗)焦點，當(dāng)l=0，a<0，且參數(shù)δ從-1增大到0時,O(0,0)是系統(tǒng)(1)|δ=l=0的不穩(wěn)定細(xì)焦點.根據(jù)Hopf分支理論，在原點O(0,0)的外圍至少存在(1)的一個不穩(wěn)定極限環(huán).

定理2如果δma=0，則系統(tǒng)(1)或(4)至多有一個極限環(huán).具體內(nèi)容是:

(1)如果a=0，則當(dāng)系統(tǒng)(1)或(4)滿足條件δm≠0時沒有極限環(huán).

(2)如果m=0，則當(dāng)δ≥0時，系統(tǒng)(1)或系統(tǒng)(4)沒有極限環(huán)；當(dāng)δ<0時，系統(tǒng)至多有一個極限環(huán)，若存在，必穩(wěn)定.

(3)如果δ=0時，則當(dāng)系統(tǒng)滿足ml≠0時系統(tǒng)(1)或(4)沒有極限環(huán).

此定理可分為三個部分來證明:

第一部分，可視為命題1：如果a=0，則當(dāng)系統(tǒng)(1)或(4)滿足條件δm≠0時沒有極限環(huán).

證明：當(dāng)a=0時，則在系統(tǒng)(4)中

我們定義曲線L和H如下

(u,v)∈D={(u,v:v<0

mu2<1)}

由F(u)=F(v)得：

(u-v)[δ+δmuv+l(u+v)]=0

即 [δ+δmuv+l(u+v)]=0

(7)

(u-v)[-δ+mδ(u+v)2+2lm(u+v)+

m2δu2v2]=0

即

[-δ+mδ(u+v)2+2lmuv(u+v)+

m2δu2v2]=0

(8)

假設(shè)曲線L和H在區(qū)域D內(nèi)相交，交點(u,v)，即聯(lián)立(7)、(8)可得：

δ(1+2m2u2v2-mu2-mv2)=0

(9)

當(dāng)δ≠0且m≠0時，(9)等價于下面兩式

m(u2+v2)=1+2m2u2v2

(10)

如果L和H相交，則由(10)可知mu2和mv2一定滿足一元二次方程

z2-(1+2m2u2v2)z+m2u2v2=0

(11)

可是由(10)、(11)知：

1+m2u2v2

當(dāng)δ≠0且m≠0時，

顯然mu2v2≠1+m2u2v2，故L和H在區(qū)域內(nèi)D沒有交點，從而由文獻(xiàn)[8]知系統(tǒng)(1)α=0或(4)α=0沒有極限環(huán).

第二部分可視為命題2：如果m=0，則當(dāng)δ≥0時，系統(tǒng)(1)或(4)沒有極限環(huán)；當(dāng)δ<0時，系統(tǒng)至多有一個極限環(huán)，若存在，必穩(wěn)定.

證明：記系統(tǒng)(1)的右邊分別P(x,y)為Q(x,y)和則有

所以當(dāng)A0時系統(tǒng)(1)δ=m=a沒有極限環(huán)，此時O為一階不穩(wěn)定焦點.再根據(jù)旋轉(zhuǎn)向量場理論知，如果δ>0，O仍然不穩(wěn)定，故系統(tǒng)(1)m=0或(4)m=0沒有極限環(huán).

如果δ<0，則在系統(tǒng)(4)m=0中

F(x)=δx+lx2+ax3

f(x)=F′(x)=δ+2lx+3ax2

g(x)=x

易于驗證滿足下列條件

(a)φ(0)=0,φ′(y)>0;

(b)xg(x)>0,x≠0,G(±∞)=+∞;

由文獻(xiàn)[8]的定理5.9可知系統(tǒng)(4)m=0至多存在一個極限環(huán)；若存在，必穩(wěn)定.在下面討論系統(tǒng)(1)或(4)的極限環(huán)時，不妨令a>0,m≠0.

如果δ=0則系統(tǒng)(4)中

同理定義曲線L和H如下

(u,v)∈D={(u,v:v<0

mv2<1,mu2<1)}

由F(u)=F(v)，得：

(u-v)[l(u+v)+a(u2+uv+v2)-

amu2v2]=0

[l(u+v)+a(u2+uv+v2)-amu2v2]=0

(12)

(u-v)[3a-am(u2+uv+v2)+

2lm(u+v)+3amuv+am2u2v2]=0,

即

[3a-am(u2+uv+v2)+2lm(u+v)+

3amuv+am2u2v2]=0

(13)

假設(shè)曲線L和H在區(qū)域D內(nèi)相交，交點(u,v)，即聯(lián)立(12)、(13)可得：

a+ml(u+v)+amuv=0

(14)

第三部分可視為命題3：如果δ=0時，則當(dāng)系統(tǒng)滿足ml≠0時,系統(tǒng)(1)或(4)沒有極限環(huán).

證明：因為當(dāng)δ=0且m≠0時，(14)等價于下面兩式

(15)

如果L和H相交，則由(10)可知mu和mv一定滿足一元二次方程

(16)

可是由(15)、(16)知：

muv=-1

(17)

綜上三個命題的證明，定理2得證.

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【責(zé)任編輯：陳佳】

The (n+ 1) polynomial systems in the existence and uniqueness of limit cycles

CAO Ming

(Department of Mathematics， Shaanxi Xueqian Normal University, Xi′an 710100, China)

Abstract:The current essay tries to investigate the focus at the origin and limit cycles of the kind of (n+1)-th polynomial system based on the Liapunov series theory.We can conclude the origin is a sufficient condition of the focus or center in the system and the Hopf branch problem of the system relies on the parameter δ,and analysis when the parameters meet δma=0 the system the existence and uniqueness of limit cycles.

Key words:polynomial system; Liapunov series; branch; limit cycles

中圖分類號：O175.14

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1000-5811(2016)02-0169-05

作者簡介:曹明(1986-)，女，陜西咸陽人，講師，研究方向：微分方程與動力系統(tǒng)

基金項目：陜西省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃項目(SGH140708)； 陜西學(xué)前師范學(xué)院科研基金重點項目(2014ZDKJ010)

收稿日期:2016-01-04