基于三階剪切形變理論的復(fù)合層合矩形板水下聲輻射研究

胡昊灝，高 巖

（中國船舶科學(xué)研究中心 a.船舶振動(dòng)噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；b.江蘇省綠色船舶技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無錫 214082）

基于三階剪切形變理論的復(fù)合層合矩形板水下聲輻射研究

胡昊灝a(chǎn)，b，高 巖a，b

（中國船舶科學(xué)研究中心 a.船舶振動(dòng)噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；b.江蘇省綠色船舶技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無錫 214082）

以簡化的三階剪切形變理論為基礎(chǔ)，由虛功原理建立了較厚復(fù)合層合矩形板水下振動(dòng)與聲輻射方程，通過Rayleigh-Ritz法求解系統(tǒng)方程。為了驗(yàn)證所給方法的正確性將計(jì)算結(jié)果與有限元法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，并將三階剪切形變理論（TSDT）所得聲輻射解與一階剪切形變理論（FSDT）計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，指出前者在計(jì)算復(fù)合層合板聲輻射上的優(yōu)勢。最后通過改變楊氏模量，剪切模量，鋪層厚度，纖維鋪設(shè)角等參數(shù)，指出影響復(fù)合層合板聲輻射的主要因素和分頻段變化規(guī)律，可為水下典型結(jié)構(gòu)聲輻射預(yù)報(bào)和噪聲控制提供參考。

三階剪切形變；復(fù)合層合板；聲輻射；噪聲控制

0 引 言

復(fù)合層合材料具有輕質(zhì)高強(qiáng)，耐腐蝕等優(yōu)良特性，因而被廣泛地應(yīng)用于船舶工業(yè)中。由于復(fù)合材料本身構(gòu)成的復(fù)雜性，其動(dòng)力學(xué)特性要遠(yuǎn)復(fù)雜于各向同性材料[1]。

近年來，對復(fù)合層合材料動(dòng)力學(xué)的研究主要分為兩類方法，第一類是以三維彈性理論為基礎(chǔ)的研究[2]，該方法需要建立各層彈性力學(xué)方程，結(jié)合應(yīng)力應(yīng)變的邊界條件以及連續(xù)性條件聯(lián)合求解，由于沒有對應(yīng)力分布作任何假設(shè)，計(jì)算極其繁瑣，只有當(dāng)層數(shù)很少，加載方式邊界條件都很簡單時(shí)才能求解。另一類則是以二維彈性理論為基礎(chǔ)，包括經(jīng)典層合板理論（CLPT）[3]、一階剪切形變理論（FSDT）[4-6]、高階剪切形變理論（HSDT）[7]和離散層理論[8]等方法，它們是在三維彈性理論的基礎(chǔ)上對沿厚度方向的應(yīng)力分布作適當(dāng)假設(shè)而得到的，吳梵[9]在求解正交加筋復(fù)合夾層板的彎曲問題時(shí)，對面板和底板采用基于Kirchhoff假設(shè)的CLPT理論，而對芯層采用基于mindlin模型的FSDT理論。Daneshjou[10-11]也利用這兩種理論求解了無限長復(fù)合層合圓柱殼的隔聲量問題，Cao[12]用FSDT理論求解了無限加雙周期肋骨平板的遠(yuǎn)場聲壓。CLPT理論忽略了剪切和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，僅適合薄板，F(xiàn)SDT是目前應(yīng)用最多的，但該理論假設(shè)沿厚度方向的剪切應(yīng)變?yōu)槌?shù)，需要引入剪切修正因子，而事實(shí)上剪切修正因子的獲取較復(fù)雜?？紤]到經(jīng)典層合板理論與一階剪切形變所存在的問題，本文采用簡化的三階剪切形變理（TSDT）論來分析復(fù)合層合矩形板的聲輻射問題，該方法將位移場用厚度坐標(biāo)的三次方展開，更能真實(shí)地反映層間應(yīng)力分布，所含未知數(shù)個(gè)數(shù)與一階剪切形變理論相同，且不需要引入剪切修正因子。

以往的文獻(xiàn)關(guān)于有限大彈性薄板聲輻射的研究已經(jīng)很成熟[13]，但關(guān)于復(fù)合層合板（尤其是有限大復(fù)合層合板）的聲輻射問題，由于其動(dòng)力學(xué)模型的復(fù)雜性和應(yīng)用隱秘性而鮮有涉及，本文利用變分法首先建立復(fù)合層合板水下聲輻射模型，然后求解并分析材料參數(shù)和幾何參數(shù)對輻射噪聲的影響，最后給出了一些有意義的結(jié)論，為水下典型結(jié)構(gòu)聲輻射預(yù)報(bào)提供參考。

1 模型描述

如圖1所示，取一由纖維加強(qiáng)的復(fù)合層合矩形板，將其四條邊均簡支于無限大剛性障板上，板的上側(cè)為無限大水域，下側(cè)為真空，考慮在機(jī)械點(diǎn)力激勵(lì)下復(fù)合板的聲輻射問題。

1.1 位移場

圖1 復(fù)合層合板聲輻射示意圖Fig.1 The schematic of sound radiation for laminated composite plate

圖2 復(fù)合層合矩形板各層橫向分布Fig2 The transverse distribution for each layer

圖3 復(fù)合層合板位移形變Fig3 The deformation of the plate

結(jié)合圖2，圖3，將位移展開為厚度坐標(biāo)的三次函數(shù)形式，即：

其中：u0、v0和w0為中性面上的位移，φx、φy、θx、θy、λx和λy為待定參數(shù)。

θx、θy、λx和λy可以通過層合板上表面和下表面的剪切應(yīng)力自由的邊界條件[7]求得，即：

經(jīng)過化簡后位移場僅含五個(gè)未知變量，這與一階剪切形變理論（FSDT）所包含的未知數(shù)是一樣的。

其中：系數(shù)c1=4/3h2（h為板的總厚度）。

1.2 非線性應(yīng)變場

與三階剪切形變位移理論對應(yīng)的復(fù)合層合板的應(yīng)變場可由Von Karman非線性理論給出：

1.3 合成應(yīng)力及合成力矩

其中：N表示面內(nèi)合成應(yīng)力，M表示合成力矩，P、Q和R表示高階合成應(yīng)力，A、B、D、E、F和H為不同類型的剛度矩陣。

1.4 流載聲壓

無限大水域中的聲壓p滿足Helmholtz方程：

其中：k0=ω/c0為聲場波數(shù)，c0為水中聲速。

在復(fù)合層合板與流體接觸表面滿足法向振速連續(xù)性：

通過求解方程聲場聲壓的表達(dá)式可由Rayleigh積分給出：

其中：ρ0為流體密度，為板表面振速，R為板表面上的點(diǎn)與場點(diǎn)的距離。

2 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程與方程求解

利用Hamilton原理（即虛功原理）可知：

符號δ表示變分，V，T和Wex分別為系統(tǒng)應(yīng)變能、動(dòng)能以及外力做功。將應(yīng)力、應(yīng)變以及位移表達(dá)式（3）-（8）代入（14）式，然后利用分部積分使虛位移δu0、δv0、δw0、δφx和δφy分離出來且令它們的系數(shù)為0，即可得到系統(tǒng)的Euler-Lagrange運(yùn)動(dòng)方程：

其中：q表示作用在復(fù)合層合板上的激勵(lì)，在這里q=F-p，F(xiàn)表示諧和點(diǎn)激勵(lì)F=F0δ（x-x0）（y-y0），p表示板表面流體載荷聲壓，其表達(dá)式由Rayleigh積分（13）給出。

2.1 Rayleigh-Ritz解

以反對稱角鋪設(shè)纖維材料的復(fù)合層合板為例，當(dāng)滿足四邊簡支邊界條件時(shí)形式解可設(shè)為：

其中：km=mπ/a，kn=nπ/b

式中：Sij、mij分別為剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，pmn為聲壓模態(tài)幅值：

Zmnpq為復(fù)合層合板表面輻射聲阻抗，其表達(dá)式為：

求解系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程（21）可得到夾芯板橫向位移模態(tài)幅值wmn，進(jìn)一步可得到系統(tǒng)的均方振速以及輻射聲功率表達(dá)式。

3 模型驗(yàn)證與參數(shù)分析

所分析復(fù)合層合板由六層單層板構(gòu)成，各層厚度相等均為h=0.002（m），板長度a=0.6（m），寬b= 0.6（m），為了計(jì)算方便，假設(shè)各層材料相等，纖維鋪設(shè)角度分別為 ［45°/-45°/45°/-45°/45°/-45°］。楊氏模量E1=1.2×1011（Pa），E2=1×1010（Pa）；泊松比υ12=0.4，υ21=0.4；剪切模量G12=G23=5.9×109（Pa），G13=3× 109（Pa）；各層材料密度均為1 600（kg/m3）。激勵(lì)點(diǎn)位置為（0.3 m，0.2 m），激勵(lì)力幅值為1（N）。振速參考級為5×10-8（m/s），輻射聲功率參考級為0.67×10-18（w）。

3.1 算法驗(yàn)證

以往的文獻(xiàn)中關(guān)于有限復(fù)合層合板聲輻射的計(jì)算很少，為了驗(yàn)證所建模型的正確性，本文利用有限元商業(yè)軟件Ansys計(jì)算模型的均方振速，取復(fù)合層合材料Solid186單元來進(jìn)行對比驗(yàn)證，Solid186單元為20節(jié)點(diǎn)三維實(shí)體單元，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有三個(gè)自由度，位移按厚度坐標(biāo)的二次方展開，支持材料的非線性行為和大形變與三階剪切形變理論（TSDT）比較接近。圖4給出了用兩種方法計(jì)算的復(fù)合層合板均方振速對比圖，從圖中可以看出兩者具有較好的一致性。

圖5為上述模型分別采用一階剪切形變理論（FSDT）和三階剪切形變理論（TSDT）計(jì)算的輻射聲功率，由圖可看出在600 Hz以下的頻帶內(nèi)，兩者輻射聲功率級完全一致，這是因?yàn)樵诘皖l范圍所分析波長遠(yuǎn)大于厚度，此時(shí)剪切形變和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對聲輻射影響很小，隨著頻率的增加兩者的差別開始增大，F(xiàn)SDT遺漏了較多的模態(tài)峰值，一方面是因?yàn)閷τ谳^厚的復(fù)合層合板高階剪切應(yīng)力和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量會對聲輻射起到一定作用，另一方面由于FSDT理論中剪切修正因子的選取差別也會帶來一定的誤差，這也進(jìn)一步說明了TSDT理論能更準(zhǔn)確地反映材料內(nèi)部應(yīng)力分布。

圖4 模型均方振速驗(yàn)證Fig4 Validation of model mean square power of velocity

圖5 FSDT與TSDT輻射聲功率對比Fig 5 Comparison between the sound radiated FSDT and TSDT

3.2 參數(shù)分析

3.2.1 彈性模量對聲輻射的影響

為了能簡單而有效地說明彈性模量對聲輻射的影響，取一單層正交各向異性復(fù)合板，厚度為0.006（m），鋪層角度為45°，其余參數(shù)同上文一致。圖6分析了材料參數(shù)E1、E2、G12和G13對聲輻射的影響，由公式（9）和（10）可知這四個(gè)量將影響拉壓剛度A、彎曲剛度D以及高階剛度F、H等，因此其變化規(guī)律對聲輻射的影響要遠(yuǎn)復(fù)雜于各向同性材料。從圖中可看到在低頻范圍內(nèi)（500 Hz以內(nèi)），改變G12和G13對輻射聲功率的影響很小，而改變E1和E2則有明顯的頻率峰值偏移，且峰值大小也有所改變。在中高頻范圍，改變E1、E2、G12和G13均會產(chǎn)生頻率峰值偏移和大小改變，但是改變E1和E2，輻射聲功率級大小變化在5 dB到10 dB左右，而改變G12和G13時(shí)輻射聲功率級的起伏在5 dB以下。因此說，改變不同方向的楊氏模量E1和E2對聲輻射的影響要大于改變剪切模量G12和G13對聲輻射的影響，從整體上來說增加材料楊氏模量，系統(tǒng)的輻射聲功率水平下降，這主要是影響了彎曲剛度，然而在某些區(qū)域隨著楊氏模量增加反而會增加輻射聲功率，因?yàn)闂钍夏Ａ康脑黾訒淖兤渌鼊偠?。剪切模量對中低頻區(qū)域影響很小，僅在高頻段有一定影響，這是因?yàn)樵诘皖l段剪切形變相對于分析波長可以忽略。

圖6 材料參數(shù)對聲輻射的影響Fig.6 Effects of material parameters to sound radiation

3.2.2 鋪層厚度和鋪設(shè)角對聲輻射的影響

如圖7所示，隨著復(fù)合層合板厚度的增加，大部分頻帶內(nèi)的輻射聲功率級均有所下降，模態(tài)峰值存在頻率偏移，且在中高頻段能有效抑制掉部分諧振模態(tài)峰，這種厚度對聲輻射的影響規(guī)律與均勻各向同性金屬板是一致的，但由于復(fù)合層合材料的密度較金屬板小很多，所以即使增加厚度也不會帶來過多質(zhì)量增加。因此增加復(fù)合層合板的厚度是有效降低輻射噪聲的手段。

圖8為纖維鋪設(shè)角對聲輻射的影響，由此可以看出聲輻射隨鋪設(shè)角度的變化關(guān)系比較復(fù)雜，由（10）式可知，鋪設(shè)角θ主要影響轉(zhuǎn)換剛度系數(shù)，θ與各類剛度系數(shù)均有較復(fù)雜的關(guān)系，因此不能籠統(tǒng)的概括改變鋪設(shè)角對聲輻射的影響，整體而言45°時(shí)平均輻射聲功率級較小，可以根據(jù)具體需要，在不同頻段內(nèi)對鋪設(shè)角進(jìn)行設(shè)計(jì)。

圖7 鋪層厚度對聲輻射的影響Fig.7 Effects of lamina thickness

圖8 纖維鋪設(shè)角對聲輻射的影響Fig.8 Effects of fiber orientation angle

4 結(jié) 論

本文利用三階剪切形變理論，采用變分法建立和推導(dǎo)了較厚復(fù)合層合矩形板水下聲輻射模型，通過與有限元法計(jì)算結(jié)果對比驗(yàn)證了所給算法的正確性，最后分析了不同參數(shù)對聲輻射的影響，得到如下結(jié)論：

（1）由于要考慮高階剪切和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，基于TSDT的復(fù)合層合板聲輻射系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的推導(dǎo)要復(fù)雜于CLPT和FSDT，但利用表面應(yīng)力自由條件可使系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程維數(shù)與FSDT相同，且不需要剪切修正，在中高頻率范圍，采用TSDT的聲輻射計(jì)算精度更高。

（2）材料參數(shù)對復(fù)合層合板聲輻射的影響要遠(yuǎn)復(fù)雜于各向同性材料情況，楊氏模量E1和E2對聲輻射的影響要大于剪切模量G12和G13，后者僅在高頻段有影響?？梢愿鶕?jù)不同的設(shè)計(jì)要求，改變材料參數(shù)而實(shí)現(xiàn)噪聲優(yōu)化。

（3）復(fù)合層合板鋪層厚度與鋪設(shè)角是影響聲輻射的重要參數(shù)，增加鋪層厚度在大部分頻段內(nèi)能有效地降低輻射聲功率級，而鋪設(shè)角由于影響各類剛度轉(zhuǎn)換系數(shù)對聲輻射的影響規(guī)律較為復(fù)雜，45°時(shí)平均輻射聲功率級較小。

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Sound radiation of underwater laminated composited rectangular plate using higher order shear deformation theory

HU Hao-haoa,b,GAO Yana,b
(a.National Key Laboratory on Ship Vibration&Noise;b.Jiangsu Key Laboratory of Green Ship Technology, China Ship Scientific Reaearch Center,Wuxi 214082,China)

Based on the simplified Third Order Shear Deformation Theory(TSDT),the vibration and sound radiation of moderate laminated composite rectangular plate were deduced,and the system motion equation was solved by Rayleigh-Ritz method.In order to validate the proposed method,the result was compared with the finite element method,and the advantage of calculating sound radiation was shown by comparing TSDT with FSDT.And by changing the Young’modulus,shear modulus,lamina thickness,fiber orientation angle,the main parameter and the variation in different frequency band were obtained,which could be a reference for underwater typical structure sound radiation and noise control.

third order shear deformation;laminated composite plate;sound radiation;noise control

TB535

：Adoi：10.3969/j.issn.1007-7294.2016.05.013

1007-7294（2016）05-0620-08

2016-02-27

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11274080）

胡昊灝（1983-）男，博士研究生，E-mail：huhaohao049@sohu.com；高 巖（1982-），女，高級工程師。