應(yīng)用型本科院校線(xiàn)性代數(shù)課程教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)方法的研究

張 慧

（金陵科技學(xué)院理學(xué)院，江蘇 南京 211100）

線(xiàn)性代數(shù)是應(yīng)用型本科院校大學(xué)生最重要的基礎(chǔ)課程之一，它高度的抽象性讓很多大學(xué)生望而生畏，特別是一些概念與結(jié)論，讓學(xué)生感到抽象難懂。另外，線(xiàn)性代數(shù)課程課時(shí)較少，學(xué)生花在這門(mén)課的時(shí)間也不多。因此，如何在教學(xué)時(shí)間少、難度大的情況下提高教學(xué)質(zhì)量，這是個(gè)值得深思的問(wèn)題。因此，高校教師在線(xiàn)性代數(shù)課堂上除了傳授知識(shí)外，還需融入思政元素，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，本文將從以下幾個(gè)角度談?wù)剢l(fā)式教學(xué)方法和融入思政元素的教學(xué)設(shè)計(jì)。

1 借助熱點(diǎn)問(wèn)題，講解知識(shí)點(diǎn)和挖掘思政元素，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

我們以矩陣及矩陣乘法概念為例，說(shuō)明從實(shí)際應(yīng)用出發(fā)講解概念的重要性，同時(shí)著重講解生活中熱點(diǎn)問(wèn)題，這樣學(xué)生會(huì)有更直觀的理解。矩陣是線(xiàn)性代數(shù)中的主要內(nèi)容，自然科學(xué)、工程技術(shù)和國(guó)民經(jīng)濟(jì)等許多領(lǐng)域中的實(shí)際問(wèn)題都可以用矩陣概念來(lái)描述，并且用相關(guān)的矩陣?yán)碚撆c方法去解決。矩陣最開(kāi)始是為了求解線(xiàn)性方程組服務(wù)的，后來(lái)因其更廣泛的應(yīng)用發(fā)展為一門(mén)研究生課程。

什么是“極化碼”，極化碼看起來(lái)很復(fù)雜，但本質(zhì)上是一些矩陣的乘法。比如，對(duì)某個(gè)4個(gè)比特的信號(hào)用極化碼編碼，即相當(dāng)于這個(gè)信號(hào)乘以一個(gè)四階方陣，則會(huì)得到另一個(gè)4個(gè)比特的信號(hào)。因此，可以看出矩陣及矩陣乘法在5G技術(shù)中的應(yīng)用。通過(guò)講述這一熱點(diǎn)問(wèn)題，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生們對(duì)矩陣及矩陣乘法的應(yīng)用有新的了解和認(rèn)識(shí)。尤其對(duì)于應(yīng)用型高校通信工程、信息工程、軟件和計(jì)算機(jī)等相關(guān)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，更清晰地感受到線(xiàn)性代數(shù)課程的重要性。

從上述5G技術(shù)這一例子中也可以看出，數(shù)學(xué)等基礎(chǔ)性學(xué)科，它的應(yīng)用可能若干年之后才能實(shí)現(xiàn)。而且一個(gè)重大發(fā)現(xiàn)或突破需要一個(gè)團(tuán)隊(duì)的共同努力。因此，引導(dǎo)學(xué)生無(wú)論學(xué)習(xí)還是以后科研一定要甘于、肯于坐“冷板凳”，只有堅(jiān)持不懈的努力，才能看到別人看不到的思路和解決方法，才能取得突破。同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生無(wú)論學(xué)習(xí)還是工作中需要有團(tuán)隊(duì)合作意識(shí)，這樣才能碰撞出智慧的火花。而且，我國(guó)5G技術(shù)的重大發(fā)展讓學(xué)生切身感受到很強(qiáng)的民族自豪感。關(guān)于民族自豪感，還可向?qū)W生提及下面一個(gè)例子。因此在線(xiàn)性代數(shù)課堂中引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立民族自豪感與自信心。

2 基于直觀理解和思政理念，啟發(fā)學(xué)生思考抽象概念或結(jié)論的意義

線(xiàn)性代數(shù)課程中向量組相關(guān)部分的理論性較強(qiáng)，前后知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系緊密。教材上相關(guān)實(shí)例較少。因此如何把這部分的概念及結(jié)論講透徹至關(guān)重要。

在講解向量組的線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)概念時(shí)，可以從幾何意義上給出解釋?zhuān)蟾诺兀舭严蛄靠闯扇S空間中的向量，那么兩個(gè)向量線(xiàn)性相關(guān)表示這兩個(gè)向量共線(xiàn)，線(xiàn)性無(wú)關(guān)則表示這兩個(gè)向量不共線(xiàn)；三個(gè)向量線(xiàn)性相關(guān)即表示這三個(gè)向量共面，線(xiàn)性無(wú)關(guān)則表示不共面。事實(shí)上，從線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)嚴(yán)格定義中也可推出，若兩向量線(xiàn)性相關(guān)，則對(duì)應(yīng)分量成比例，即這兩向量共線(xiàn)。因此上述理解與定義是吻合的。

另外，對(duì)于結(jié)論“4個(gè)3維向量一定線(xiàn)性相關(guān)”，可引入生活中一個(gè)例子，4個(gè)人嘗3種菜且每人至少?lài)L其中的一種菜，那么必有兩人吃了某種相同的菜，那么這4個(gè)人之間有關(guān)系了，所以可粗略理解為線(xiàn)性相關(guān)。同樣地，5個(gè)4維向量一定線(xiàn)性相關(guān)，6個(gè)5維向量一定線(xiàn)性相關(guān)。

再如，向量組極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組這一概念，從字面上就可以理解。首先是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的，其次“極大”二字就體現(xiàn)為再加一個(gè)就線(xiàn)性相關(guān)了。這與極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組嚴(yán)格定義中兩個(gè)要素是吻合的。而且，在介紹極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組概念時(shí)，可以強(qiáng)調(diào)做事抓住本質(zhì)的思想，引導(dǎo)學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)。從而學(xué)生可以更深刻更全面地理解這個(gè)概念。另外，向?qū)W生說(shuō)明研究向量組性質(zhì)時(shí)通常只需借助其一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組就可以了。因此，這里可以引導(dǎo)學(xué)生，當(dāng)學(xué)習(xí)精力有限時(shí)，可以專(zhuān)注一個(gè)研究方向或一件擅長(zhǎng)的事，那么長(zhǎng)時(shí)間堅(jiān)持一定會(huì)取得一些成果。

3 借助知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，啟發(fā)學(xué)生積極思考做題思路

在教學(xué)中，講解一個(gè)題目做題思路時(shí)，若能一步步引導(dǎo)學(xué)生是大有益處的，這樣才能讓學(xué)生知道為什么這么做，在理解的基礎(chǔ)上總結(jié)出做題步驟，而不是死記硬背。

在判別向量組線(xiàn)性相關(guān)性或求其極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組時(shí)，因?yàn)橛袝r(shí)不易求出某向量如何用其余向量線(xiàn)性表示的，所以我們可以通過(guò)知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系，啟發(fā)學(xué)生積極思考做題思路。先講下面兩個(gè)命題等價(jià)：向量組線(xiàn)性相關(guān)；齊次線(xiàn)性方程組有非零解。而齊次線(xiàn)性方程組有非零解可借助系數(shù)矩陣的初等行變換，以及通過(guò)判斷變換后的行階梯形矩陣的非零行行數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)得出有非零解。所以，上述知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系給出了向量組線(xiàn)性相關(guān)性的一個(gè)判別方法，即先將這組向量按列寫(xiě)下來(lái)，若非零行行數(shù)更小，則線(xiàn)性相關(guān)。

再如，在講解實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的正交對(duì)角化時(shí)，首先通過(guò)求矩陣的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量組將矩陣對(duì)角化，然后分析正交對(duì)角化需要找到一個(gè)正交矩陣。由前面章節(jié)知識(shí)知道正交矩陣的列向量組或行向量組都是單位正交向量組。因此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：如何將線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量組轉(zhuǎn)化為正交的單位向量組。從而啟發(fā)學(xué)生想到之前章節(jié)中學(xué)習(xí)的施密特正交化過(guò)程。

通過(guò)上面幾個(gè)問(wèn)題思路的分析與講解，引導(dǎo)學(xué)生了解了世界上萬(wàn)事萬(wàn)物都是普遍聯(lián)系且發(fā)展、對(duì)立統(tǒng)一的。要看到知識(shí)點(diǎn)之間的區(qū)別與聯(lián)系，且在學(xué)習(xí)任何知識(shí)時(shí)，要把知識(shí)學(xué)懂，學(xué)通，看到“對(duì)立和統(tǒng)一”的辯證關(guān)系。

對(duì)于線(xiàn)性代數(shù)課程較少的問(wèn)題，教師可以在課堂上突出重點(diǎn)、難點(diǎn)以及學(xué)生易錯(cuò)的知識(shí)點(diǎn)，著重講解概念或結(jié)論以及它們的應(yīng)用例題。對(duì)于一些比較難的結(jié)論或定理的證明可以錄制下來(lái)，供感興趣的學(xué)生課后觀看。對(duì)學(xué)習(xí)主動(dòng)性高的學(xué)生，還可以讓他們做一做課后難一點(diǎn)的習(xí)題，推薦一些優(yōu)秀的輔導(dǎo)教材和慕課資源，讓他們更深入進(jìn)行學(xué)習(xí)線(xiàn)性代數(shù)這門(mén)課。

啟發(fā)式教學(xué)不僅能提高教學(xué)質(zhì)量，而且能培養(yǎng)學(xué)生融會(huì)貫通和學(xué)以致用的能力。同時(shí)，在線(xiàn)性代數(shù)課堂中融入思政元素，讓同學(xué)們?cè)谡n堂中吸收思想政治教育理念的營(yíng)養(yǎng)，達(dá)到“潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲”的效果。因此，將課程思政元素和課程內(nèi)容緊密結(jié)合起來(lái)，將數(shù)學(xué)教育與思政教育緊密結(jié)合起來(lái)，這樣使學(xué)生在課堂上不僅打牢基礎(chǔ)知識(shí)，而且提高思想修養(yǎng)、樹(shù)立家國(guó)情懷。