分類討論在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)中有許多解題思想，主要包括數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想、函數(shù)思想、方程思想等，其中分類討論思想是高中數(shù)學(xué)中最常用的思想，用來解決含有參數(shù)的復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，把復(fù)雜的問題簡單化是運(yùn)用分類討論思想的目的，分類討論的過程就是把一個復(fù)雜的整體問題按一定的標(biāo)準(zhǔn)分解為若干個簡單的子問題的過程，再把這些子問題的結(jié)論進(jìn)行歸納總結(jié)，最后得出整體結(jié)論。應(yīng)用分類討論思想解決數(shù)學(xué)問題大致就是這樣一個過程，但是也要在實(shí)踐中不斷練習(xí)，實(shí)踐才能出真知，那教師如何教導(dǎo)學(xué)生在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用分類討論思想呢？下面以高二數(shù)學(xué)為例，通過四個方面介紹一下。

一、準(zhǔn)確確定討論對象。

研究對象的準(zhǔn)確確定是分類討論的第一步，只有把討論對象確定好了，才能進(jìn)行后續(xù)的討論，一般題目中只有一個參數(shù)的，就把這個參數(shù)確定為討論對象，對這個對象分類討論；如果題目中有多個參數(shù)，就要對題目進(jìn)行分析，把哪個參數(shù)確定為討論對象比較簡單，如果選擇的討論對象不對，會增加解題的繁瑣度，起到適得其反的效果，所以準(zhǔn)確確定研究對象很重要。教師在教學(xué)過程中要給學(xué)生滲透正確確定討論對象的思路，以簡單可行為主，在確定討論對象時，要對題目進(jìn)行全面分析，讓復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化。

比如：函數(shù)f（x）=ax2-2a2x+2，對于滿足10，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。這道題目中求解的是實(shí)數(shù)a的取值范圍，題中有兩個參數(shù)x和a，確定a為討論對象會更簡單，如果確定x為討論對象，那反而變的更復(fù)雜了。對含有參數(shù)的數(shù)學(xué)問題一定要仔細(xì)分析，準(zhǔn)確確定討論對象，為之后的解題步驟打下基礎(chǔ)。

二、按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類。

準(zhǔn)確確定討論對象后，第二步就是按照一定的標(biāo)準(zhǔn)對討論對象進(jìn)行分類，分類標(biāo)準(zhǔn)一定要具有科學(xué)性、全面性，做到分類不重復(fù)、不遺漏，不能隨意地分類。有關(guān)實(shí)數(shù)的題目，分類討論的標(biāo)準(zhǔn)就是全體實(shí)數(shù)；有關(guān)數(shù)學(xué)概念的，分類討論的標(biāo)準(zhǔn)就是數(shù)學(xué)概念的限制范圍；有關(guān)絕對值的，就要根據(jù)絕對值的意義確定分類標(biāo)準(zhǔn)。合理地確定分類標(biāo)準(zhǔn)是建立在學(xué)生對數(shù)學(xué)知識充分理解的基礎(chǔ)之上，如果學(xué)生對數(shù)學(xué)知識理解的不夠透徹，就無法清晰地按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類。教師在教學(xué)過程中要引導(dǎo)學(xué)生合理地確定分類標(biāo)準(zhǔn)，增強(qiáng)學(xué)生思考的邏輯性、綜合性和探索性。確定分類標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)鍵是不能遺漏，也不能重復(fù)，如果分類標(biāo)準(zhǔn)都確定錯了，那整道題目就無法解答正確了。

比如：上面的函數(shù)題目中，a是全體實(shí)數(shù)，討論的標(biāo)準(zhǔn)就要涵蓋全體實(shí)數(shù)，不要有遺漏，以0為分界點(diǎn)，把實(shí)數(shù)a分成三種情況，a>0，a=0，a<0，不重不漏，依次進(jìn)行討論。對于分類的標(biāo)準(zhǔn)一定要謹(jǐn)慎，如果在這一步出現(xiàn)遺漏或者重復(fù)的情況，那后邊的討論、求解、整合都是徒勞。

三、逐步討論、求解。

準(zhǔn)確確定討論對象、按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類之后，第三步就是逐步討論、求解了，注意討論時要按照一定的順序，不要忘記或忽略任何一種情況，這個過程考驗(yàn)學(xué)生的耐心和細(xì)心，教師一定要教導(dǎo)學(xué)生有條不紊地把每種情況都討論到，不要急于求成，使分類討論不徹底。求解的過程更考驗(yàn)學(xué)生的細(xì)心，不能馬虎，稍有不慎，就會出現(xiàn)錯誤，同時也考驗(yàn)了學(xué)生解題的嚴(yán)謹(jǐn)性。教師在教學(xué)過程中要培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牧?xí)慣，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牧?xí)慣是學(xué)習(xí)任何東西都需要的。在分類討論中培養(yǎng)的嚴(yán)謹(jǐn)習(xí)慣，在數(shù)學(xué)的任何解題過程中都可以用到，以后不論遇到多復(fù)雜的題目，學(xué)生都可以以一個冷靜、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男膽B(tài)來對待和解決。

比如：已知關(guān)于x的不等式k（x-2）>x+6，解該不等式。這個不等式中的k是參數(shù)，先對不等式進(jìn)行變形，（k-1）x>2k+6，針對k>1，k=1，k<1這三種情況逐步討論、求解，在求解過程中一定要細(xì)心，注意不等式的符號。

四、歸納小結(jié)、整合得出結(jié)論。

逐步討論、求解完畢之后，就到了歸納小結(jié)、整理得出結(jié)論的時候，這一步經(jīng)常會被學(xué)生忽略，學(xué)生以為分類討論完之后就萬事大吉了，其實(shí)不然，最后一步恰恰是最關(guān)鍵的一步，分類討論的目的是就是能讓復(fù)雜的問題得到解決，得出結(jié)論，如果只做了前三步，那題目還是沒有完成。教師在教學(xué)過程中要培養(yǎng)學(xué)生整合的習(xí)慣，不要半途而廢，貫穿數(shù)學(xué)中所謂的整體思想，完美地完成解題的最后一步。

比如：完成逐步討論、求解之后，一定不要忘了歸納小結(jié)、整合得出結(jié)論，例如上面不等式的題目，最后要總結(jié)確認(rèn)一下，不等式的解集為什么。這樣才保證了解題的完整性。

以上內(nèi)容通過四個方面闡述了分類討論在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，分別是：準(zhǔn)確確定討論對象，按照一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，逐步討論、求解，歸納小結(jié)、整合得出結(jié)論。這是在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用分類討論的四個步驟，只有把這四個步驟都運(yùn)用到位，才能準(zhǔn)確地運(yùn)用分類討論思想解決復(fù)雜的問題，但是教師也要引導(dǎo)學(xué)生具體問題具體分析，不要讓學(xué)生運(yùn)用千篇一律的方法進(jìn)行解題，這樣就曲解了應(yīng)用分類討論思想的目的，還要讓學(xué)生在解題過程中多理解、多運(yùn)用，找到適合學(xué)生自己的解題方法。當(dāng)然，教師還要不斷提高自己的數(shù)學(xué)專業(yè)水平，并在教學(xué)實(shí)踐中不斷總結(jié)、不斷積累，找到更好地方法讓學(xué)生運(yùn)用分類討論思想，達(dá)到事半功倍的效果。

（作者單位：山西省大同市左云縣高級中學(xué)）