一種板球系統(tǒng)的Box-Jenkins模型辨識(shí)研究

夏澤雨，崔世鋼，耿立輝

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)天津市信息傳感與智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津　300222）

上述的準(zhǔn)則函數(shù)可以寫為：

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一種板球系統(tǒng)的Box-Jenkins模型辨識(shí)研究

夏澤雨，崔世鋼，耿立輝

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)天津市信息傳感與智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津300222）

摘要：板球系統(tǒng)是一種典型的非線性多變量系統(tǒng)，是先進(jìn)控制理論、系統(tǒng)辨識(shí)和狀態(tài)估計(jì)等方法的典型驗(yàn)證平臺(tái)，其主要功能是讓小球在平板上按照期望的軌跡運(yùn)行。由于機(jī)器老化，先前的機(jī)理模型已不能表示板球系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。為保證控制精度，為板球系統(tǒng)后期先進(jìn)控制器的設(shè)計(jì)提供模型依據(jù)，本文將已有的關(guān)于離散系統(tǒng)的Box-Jenkins模型辨識(shí)技術(shù)，推廣應(yīng)用到連續(xù)時(shí)間板球系統(tǒng)的模型中，利用參考輸入信號(hào)的方法設(shè)計(jì)出持續(xù)激勵(lì)作為輸入信號(hào)，采用輔助變量法和最小二乘法來分別辨識(shí)板球系統(tǒng)模型和噪聲模型，利用雙線性變換得出板球系統(tǒng)的連續(xù)時(shí)間Box-Jenkins模型，通過數(shù)值仿真實(shí)例，驗(yàn)證了這種方法的有效性。

關(guān)鍵詞：板球系統(tǒng)；Box-Jenkins模型；輔助變量法；最小二乘法

板球系統(tǒng)是球桿系統(tǒng)的二維擴(kuò)展。作為具有2個(gè)自由度的機(jī)械系統(tǒng)，板球系統(tǒng)通常用于對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的研究和在實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論的控制過程研究，是先進(jìn)控制理論、系統(tǒng)辨識(shí)和狀態(tài)估計(jì)等方法的典型驗(yàn)證平臺(tái)。其控制對(duì)象是具有2個(gè)相互垂直的旋轉(zhuǎn)軸的板，目的是讓一個(gè)自由滾動(dòng)的小球能夠平衡在平板上特定的位置，或沿一定的軌跡滾動(dòng)。板球系統(tǒng)涉及自動(dòng)控制、運(yùn)動(dòng)控制、數(shù)字圖像處理、機(jī)器視覺等領(lǐng)域[1]。由于系統(tǒng)長(zhǎng)期使用，機(jī)器老化，系統(tǒng)存在誤差，先前的機(jī)理模型已不能準(zhǔn)確描述系統(tǒng)的真實(shí)模型。為給板球系統(tǒng)設(shè)計(jì)出更高精度的控制器，需要采集實(shí)時(shí)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)以辨識(shí)出板球系統(tǒng)的真實(shí)模型。

早在20世紀(jì)20年代，研究人員就開始研究B-Jenkins模型，直到1970年George Box和Gwilym Jenkins[2]提出著名的時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型，也就是Box-Jenkins模型。該模型是指將非平穩(wěn)時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時(shí)間序列，然后將因變量?jī)H對(duì)其滯后值及隨機(jī)誤差項(xiàng)的現(xiàn)值和滯后值進(jìn)行回歸所建立的模型。研究發(fā)現(xiàn)，關(guān)于板球系統(tǒng)的辨識(shí)非常少，先前的Box-Jenkins模型辨識(shí)技術(shù)只能應(yīng)用到離散時(shí)間系統(tǒng)上，而本文將該方法推廣應(yīng)用到連續(xù)時(shí)間板球系統(tǒng)的模型辨識(shí)中。本文利用Box-Jenkins模型辨識(shí)板球系統(tǒng)的系統(tǒng)模型和噪聲模型，為板球系統(tǒng)后期的先進(jìn)控制器設(shè)計(jì)提供模型依據(jù)。首先為板球系統(tǒng)閉環(huán)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)出合適的M序列，之后利用輔助變量法和最小二乘法估計(jì)出板球系統(tǒng)的Box-Jenkins模型[3]，最后通過雙線性變換和最小實(shí)現(xiàn)處理得到板球系統(tǒng)理想的實(shí)時(shí)模型。

1　板球系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

對(duì)板球系統(tǒng)而言，如果僅采用力學(xué)方法，板球系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型將很難得到。拉格朗日法在機(jī)器人建模中的成功應(yīng)用說明它比較適合解決這種復(fù)雜的機(jī)械系統(tǒng)問題，因此采用拉格朗日方法來計(jì)算推導(dǎo)板球系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。拉格朗日方程的一般形式為：

小球在x軸的運(yùn)動(dòng)可以被描述成如下的線性狀態(tài)空間方程組[1]

這個(gè)等式中輸入、輸出矩陣為：

因而，板球系統(tǒng)上關(guān)于小球在x軸上和平板在x軸上的角加速度數(shù)學(xué)模型可以計(jì)算出來，數(shù)學(xué)模型為：

由上式可知，板球系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是一個(gè)4階系統(tǒng)。

2　基于BJ模型的辨識(shí)方法

實(shí)際過程中，干擾大部分都是有色噪聲，這類模型可以表示為Box-Jenkins模型，它可以描述為[4-5]：

式中：A（z-1）= 1 + a1（z-1）+ anaz-na；B（z-1）= 1 + b1（z-1）+ bnbz-nb；C（z-1）= 1 + c1（z-1）+ cncz-nc；D（z-1）= 1 + d1（z-1）+ dndz-nd；u（k）和y（k）分別表示系統(tǒng)模型的輸入和被噪聲污染的輸出；v（k）表示不相關(guān)的零均值白噪聲。

2.1系統(tǒng)模型的辨識(shí)

在板球系統(tǒng)中，首先關(guān)注如下描述形式的板球系統(tǒng)模型的辨識(shí)問題。

對(duì)于噪聲模型部分，令

則線性動(dòng)態(tài)模型系統(tǒng)可以表述為：

式中：u（k）和y（k）為模型系統(tǒng)的輸入變量和輸出變量；e（k）為有色噪聲。由于直接用最小二乘法不能得到模型參數(shù)的無偏、有效估計(jì)，因而式（7）可以寫成最小二乘的形式

式（8）中

式中：L為數(shù)據(jù)長(zhǎng)度；na和nb分別為多項(xiàng)式A（z-1）和B（z-1）的階次。

為獲得模型參數(shù)的無偏、一致估計(jì)，設(shè)模型殘差為：

上述的準(zhǔn)則函數(shù)可以寫為：

參考文獻(xiàn)在[3]中證明出式（12）收斂的條件。所謂的收斂，就是是從輸入、輸出數(shù)據(jù)集合中構(gòu)造出來的向量，稱之為輔助變量。該變量可以選擇多種形式([3])，本文列出下面一種形式

式中：滯后nb步的輸入u（k - nb- i）（i = 1，2，…，na）為輔助變量。

由h*（k）組成的H*L可稱作輔助矩陣。通過上述分析可知，式（13）能夠估計(jì)出Box-Jenkins模型的系統(tǒng)模型部分。

2.2噪聲模型部分辨識(shí)

對(duì)于噪聲模型部分，令

式中：v（k）為輸入；e?（k）為輸出?，F(xiàn)在問題就變?yōu)锳RMA模型的參數(shù)辨識(shí)問題，將式（14）經(jīng)過如下的轉(zhuǎn)換得到

式（15）有最小二乘法結(jié)構(gòu)為：

可以得到β的估計(jì)值，進(jìn)而可以推算出v（k）的估計(jì)值。

應(yīng)用高階AR模型，可將式（14）轉(zhuǎn)化為如下ARX模型結(jié)構(gòu)

由最小二乘法（LS）就能夠估計(jì)出C（z-1）和D（z-1）。

3　板球系統(tǒng)的辨識(shí)

3.1辨識(shí)思路

一般的板球控制系統(tǒng)如圖1所示。圖1中：K（z-1）為控制器；P（s）為板球系統(tǒng)；u0和ym為在辨識(shí)中采集到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，分別是系統(tǒng)的輸入和噪聲污染的輸出；v（k）為噪聲。

圖1　板球控制系統(tǒng)方框圖

根據(jù)上文的辨識(shí)算法就能夠辨識(shí)出板球系統(tǒng)的模型，辨識(shí)的過程如圖2所示。

根據(jù)信號(hào)的流動(dòng)關(guān)系可以得到這個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的模型為[6-7]：

圖2中，由式（19）完成Guy（z-1）到P（z-1）的轉(zhuǎn)化，即得到板球系統(tǒng)的離散模型為：

圖2　辨識(shí)過程

應(yīng)用如下雙線性變換，完成P（z-1）到P（s）的轉(zhuǎn)換，即可得到板球系統(tǒng)的連續(xù)系統(tǒng)為：

式中：T為采樣時(shí)間。

3.2參考輸入信號(hào)的設(shè)計(jì)

連續(xù)時(shí)間的偽隨機(jī)二值信號(hào)（PRBS）又名M序列，是周期的確定信號(hào)，且可復(fù)現(xiàn)。故可設(shè)計(jì)M序列作為板球?qū)嶒?yàn)控制系統(tǒng)的參考輸入信號(hào)，其設(shè)計(jì)方法和步驟如下。

（1）在穩(wěn)定控制系統(tǒng)的輸入端加上脈沖信號(hào)，觀察脈沖信號(hào)從加入到輸出減少為最高脈沖響應(yīng)10%所經(jīng)歷的時(shí)間，該時(shí)間就為過渡過程時(shí)間Ts。

（2）在參考信號(hào)的輸入端加上占空比為50%的方波信號(hào)，逐漸增加該信號(hào)的頻率，直到輸入信號(hào)沒有明顯的變動(dòng)位置，該時(shí)刻信號(hào)的頻率即為最高截止頻率fmax。

（3）利用過渡過程時(shí)間Ts和最高截止頻率fmax來確定M序列的參數(shù)，確定的規(guī)則為：

式中：Δt為脈沖間隔；Np為周期數(shù)。

3.3辨識(shí)步驟

步驟1確定u0。通常情況下，M序列具有白噪聲的特性，比較容易實(shí)現(xiàn)，故M序列可被當(dāng)作輸入信號(hào)。根據(jù)上文所述參考輸入信號(hào)的設(shè)計(jì)方法可以確定合適的M序列。

步驟2對(duì)采集到的u0和ym做預(yù)處理，創(chuàng)造一個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)象。

步驟3對(duì)該數(shù)據(jù)對(duì)象采用Box-Jenkins辨識(shí)方法進(jìn)行辨識(shí)，得到系統(tǒng)的Box-Jenkins模型，根據(jù)式（19）和式（20）可以推算出板球系統(tǒng)的離散模型。

步驟4根據(jù)式（21），將得到的離散數(shù)學(xué)模型進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得到板球系統(tǒng)的連續(xù)模型。

4　仿真驗(yàn)證

前期研究中，已經(jīng)設(shè)計(jì)好H∞回路成形魯棒控制器，其離散形式結(jié)構(gòu)為[8-10]：

式中：P（s）為板球系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。根據(jù)3.2提出的設(shè)計(jì)M序列的方法，得出過渡過程時(shí)間Ts= 0.035 s和最高工作頻率fmax= 2 Hz，設(shè)計(jì)出如下的M序列為：

以此PRBS作為持續(xù)輸入激勵(lì)u0，噪聲為均值0、方差為0.001的高斯白噪聲，采樣時(shí)間T = 0.03 s，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為1 667，對(duì)采集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行Box-Jenkins模型辨識(shí)方法，得到離散的辨識(shí)模型，將其進(jìn)行雙線性變換，得到的板球系統(tǒng)的辨識(shí)模型表達(dá)式為：

噪聲模型可以表示為：

辨識(shí)的模型和板球系統(tǒng)真實(shí)模型的伯德圖如圖3所示。由圖3可以看到：在中頻段的吻合效果比較好；在低頻段和高頻段吻合效果比較差，但是板球系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)中，中頻段的辨識(shí)精度至關(guān)重要。辨識(shí)的模型和板球系統(tǒng)真實(shí)模型控制系統(tǒng)正弦響應(yīng)的對(duì)比圖如圖4所示，由圖4可知辨識(shí)的效果令人滿意。

圖3　伯德圖對(duì)比

圖4　正弦響應(yīng)對(duì)比

5　結(jié)束語

在已有離散系統(tǒng)Box-Jenkins模型的基礎(chǔ)上，首先辨識(shí)出板球系統(tǒng)的閉環(huán)模型，通過轉(zhuǎn)化得到板球系統(tǒng)的離散模型，之后通過雙線性變換得到板球系統(tǒng)的連續(xù)模型，辨識(shí)的效果令人滿意，辨識(shí)出的板球系統(tǒng)模型為板球系統(tǒng)后期的先進(jìn)控制器設(shè)計(jì)提供模型依據(jù)。由于在實(shí)際工業(yè)中，系統(tǒng)模型多為變量帶誤差模型，因此在今后的研究中，還應(yīng)更多地關(guān)注板球系統(tǒng)變量帶誤差模型的辯識(shí)。

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Identification on a Box-Jenkins model for a ball and plate system

XIA Ze-yu，CUI Shi-gang，GENG Li-hui
（Tianjin Key Laboratory of Information Sensing & Intelligent Control，Tianjin University of Technology and Education，Tianjin 300222，China）

Abstract：A ball and plate system is a kind of typical and nonlinear system，which is also a multi- input and multi-output （MIMO）system.A ball and plate system is a typical test platform for advanced control theory，system identification，state estimation method and so on，and its main function is to make the ball run according to the desired trajectory on the plate.Because of the existence of the machine′s friction and aging，the mechanism of the previous model cannot express the true model of a ball and plate system.In order to ensure the control precision，and provide the cricket system for later advanced controller design，according to the model，the existing discrete system on the Box-Jenkins model identification technology is applied and popularized to continuous time cricket system model，the reference input signal is used to design sustained excitation as the input signal，and the instrumental variable method and least square method are used to estimate the cricket system model and noise model.By using bi-linear transform that cricket system of continuous time Box-Jenkins model，a numerical simulation example is given to verify the validity.

Key words：ball and plate system；Box-Jenkins model；instrumental variable method；least squares method

通訊地址：天津市河西區(qū)大沽南路1310號(hào)《天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)學(xué)報(bào)》編輯部

作者簡(jiǎn)介：夏澤雨（1988—），男，碩士研究生；崔世鋼（1963—），男，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)闄C(jī)器人控制、人工智能等.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61203119）；天津市自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目（14JCZDJC36300）；天津市高等學(xué)?？萍及l(fā)展基金資助項(xiàng)目（20130824）；天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)科研發(fā)展基金資助項(xiàng)目（RC14-48，KYQD03010）.

收稿日期：2016-01-26

中圖分類號(hào)：TP273

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：2095－0926（2016）01－0001－05