一類具有非單調(diào)型功能反應(yīng)的捕食-食餌擴(kuò)散系統(tǒng)的持久性和全局吸引性

徐長玲，程榮福

(北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 吉林　132013)

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一類具有非單調(diào)型功能反應(yīng)的捕食-食餌擴(kuò)散系統(tǒng)的持久性和全局吸引性

徐長玲，程榮福

(北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 吉林132013)

摘要：利用微分方程的比較原理和重合度理論中的延拓定理，及Lyapunov函數(shù)和Barbalat引理，研究了一類具有雙密度制約和非單調(diào)型功能性反應(yīng)的捕食-食餌擴(kuò)散系統(tǒng)的持久性和全局吸引性，獲得了周期系統(tǒng)存在唯一全局漸近穩(wěn)定正周期解的充分條件.

關(guān)鍵詞：擴(kuò)散系統(tǒng)；正周期解；非單調(diào)功能性反應(yīng)；持久性；全局漸近穩(wěn)定性

【引用格式】徐長玲，程榮福.一類具有非單調(diào)型功能反應(yīng)的捕食-食餌擴(kuò)散系統(tǒng)的持久性和全局吸引性[J].北華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016，17(2)：141-147.

1引言

捕食者和被捕食者系統(tǒng)是生態(tài)數(shù)學(xué)中非常經(jīng)典的模型，現(xiàn)已有大量的研究工作[1-8]，對于具有雙密度制約和非單調(diào)型功能反應(yīng)的捕食者與被捕食者模型已成為研究熱點(diǎn)之一.本文進(jìn)一步考慮如下系統(tǒng)

(1)

其中：gi(xi，t)=ri(t)-ai(t)xi(t)(i=1，2)，x1(t)，x2(t)分別表示食餌在第1階段和第2階段中時(shí)刻t的密度；D1(t)和D2(t)分別表示擴(kuò)散系數(shù)；x3(t)是捕食者在第1階段中時(shí)刻t的密度；ri(t)，ai(t)，bi(t)，ci(t)，d(t)，Di(t)，a3(t)∈C(，+)(i=1，2)，當(dāng)t∈+=(0，+)時(shí)，它們是連續(xù)有界嚴(yán)格正的函數(shù)；時(shí)滯τ1>0，τ2>0，E>0；Ki(s)：+→+是分段連續(xù)函數(shù)且滿足(i=1，2).系統(tǒng)(1)的生態(tài)意義參見文獻(xiàn)[1].

φi∈C+，xi(s)=φi(s)≥0， s∈[-τ，0]， φi(0)>0， i=1，2，3.

(2)

2系統(tǒng)的持久性

證明類似于文獻(xiàn)[2-3]，略.

為了證明系統(tǒng)的一致持久性，不妨假設(shè)(x1(t)，x2(t)，x3(t))T是系統(tǒng)(1)的滿足正初始條件(2)的任意正解，設(shè) V1(t)=max{x1(t)，x2(t)}，計(jì)算系統(tǒng)(1)的右導(dǎo)數(shù)，得

設(shè)V2(t)=min{x1(t)，x2(t)}，類似地，當(dāng)t≥T2時(shí)，從系統(tǒng)(1)，有

設(shè)T=T4，M=max{M1，M2}，m=min{m1，m2}.綜上，任意正解Mi，mi(i=1，2)存在，且它們不依賴系統(tǒng)(1)，那么，我們得到緊區(qū)域：

當(dāng)t>T時(shí)，系統(tǒng)(1)的解將進(jìn)入并保留在緊區(qū)域D內(nèi)，因此D是正向不變集且是系統(tǒng)(1)的最終有界域.據(jù)此，可以直接得到下面引理：

引理2如果

成立，那么系統(tǒng)(1)是一致持久的.

3系統(tǒng)正周期解的存在性

假設(shè)ri(t)，ai(t)，bi(t)，ci(t)，d(t)，Di(t)，a3(t)∈C(，+)(i=1，2)是關(guān)于周期ω的正周期函數(shù)，系統(tǒng)(1)是ω-周期系統(tǒng).在下面定理證明中將利用Mawhin和Gaines的持續(xù)性定理[4].

(a)Ly≠λNy，?y∈?Ω∩DomL，λ∈(0，1)；

(b)QNy≠0，y∈?Ω∩KerL；

(c)deg{JQN，Ω∩KerL，0}≠0.

(3)

D2(t)exp{y1(t)-y2(t)}，

取X=Z={(y1(t)，y2(t)，y3(t))T∈C(，3)：y(t+ω)=y(t)}，且yyi(t)，y∈X.那么X和Z是在此范數(shù)下的Banach空間，利用周期性，易知Λi(y，t)是ω-周期函數(shù).令 Nx=(Λ1(y，t)，Λ2(y，t)，Λ3(y，t))T，y∈X.；，則

是Z中的閉子集，且

KerL=3，dimKerL=3，

故L是指標(biāo)為零的Fredholm映射.容易證明P，Q 是連續(xù)投影且使得

ImP=KerL，KerQ=ImL=Im(I-Q).

因此L的逆映射KP有形式KP：ImL→DomL∩KerP，且

于是

KP(I-Q)Ny=(ψ1(y，t)，ψ2(y，t)，ψ3(y，t))T，

對應(yīng)算子方程 Lx=λNx，λ∈(0，1)，有

(4)

假設(shè)y(t)∈X是系統(tǒng)(4)對應(yīng)于某個(gè)λ∈(0，1)的ω-周期解，于是存在η1，η2∈[0，ω]，使得

進(jìn)而

(5)

(6)

如果y1(η1)≥y2(η2)，那么y1(η1)≥y2(η1)，利用式(5)有

(7)

如果y1(η1)

(8)

因此，對任意t∈[0，ω]有

(9)

將系統(tǒng)(4)的第3個(gè)等式兩邊從0到ω積分，有

(10)

利用式(10)，進(jìn)而有

(11)

(12)

那么，對于任意t∈[0，ω]，利用式(11)和(12)有

(13)

(14)

(15)

如果y1(ξ1)≥y2(ξ2)，那么y1(ξ2)≥y2(ξ2)，利用式(15)和(9)有

(16)

如果y1(ξ1)

那么，對任意t∈[0，ω]有

(17)

利用式(9)和(17)有

(18)

利用式(10)和(17)有

(19)

利用式(11)和(19)，對任意t∈[0，ω]有

(20)

從式(13)和(20)有

(21)

因此，從式(18)和(21)有

(22)

考慮如下方程

(23)

其中y=(y1，y2，y3)T∈3，μ∈[0，1].對系統(tǒng)(23)的任意解，存在0<ρ0<+，使得

(24)

易見，ρ1，ρ2，ρ0不依賴參數(shù)λ.

令B=2ρ2+ρ1+ρ0，且

那么Ω滿足引理3的條件(a).

當(dāng)y∈?Ω∩KerL=?Ω∩3時(shí)，從式(23)和(24)，有QNy≠0.因此，滿足引理3的條件(b).

為簡單起見考慮F1=0，F(xiàn)2=0，F(xiàn)3=0.定義映射φ：DomL∩KerL×[0，1]→X如下：

φ(y，μ)=(F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3)T，φ(y，μ)=(F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3)T.

當(dāng)(y1，y2，y3)T∈?Ω∩3，μ∈[0，1]時(shí)，利用式(23)和(24)，得φ(y，μ)≠0.注意ImP=KerL，令J是恒等映射，直接計(jì)算有

定理1如果

那么系統(tǒng)(1)至少有一個(gè)正ω-周期解.

4系統(tǒng)的全局吸引性

引理4[5](Barbalat 引理)假設(shè)f是定義在[t0，+)上的非負(fù)可積的一致連續(xù)函數(shù)，其中t0≥0，那么成立.

定理2系統(tǒng)(1)滿足正初始條件(2)和引理2、定理1的條件，如果

成立，那么系統(tǒng)(1)有唯一全局吸引性正解.

其中

計(jì)算系統(tǒng)(1)的解V(t)的右導(dǎo)數(shù)，得到

設(shè)0<σ=min{σ1，σ2，σ3}，那么

將上式從T到t積分，有

因此

證畢.

參考文獻(xiàn)：

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[2] Y M Huang.Global stability for a diffusive model with time delay and functional response[J].Journal of Biomathematics，2006，21：370-376.

[3] G Z Zing，J F Chen.Persistence and periodic orbits for two-species non autonomous diffusion models[J].Math Comput Modeling，1994，20：69-80.

[4] R E Gaines，J I Mawhin.Coincidence degree and nonlinear differential equations[M].Berlin：Springer-Verlag，1997：40-45.

[5] I Barbalat.System dequation differentilles doscilltion nonlinears[J].Rev Math Pure and Appl，1959，4：267-270.

[6] A Rojas-Palma，E Gonzalez-Olivares.Optimal harvesting in a predator-prey model with Allee effect and sigmoid functional response[J].Appl Math Model，2012，36：1864-1874.

[7] P Yangzhen，L Changguo，F(xiàn) Shunhou.A mathematical model of a three species prey-predator system with impulsive control and Holling functional response[J].Math Com Appl，2013，219：10945-10955.

[8] M Javidi，N Nyamoradi.Dynamic analysis of a fractional order prey-predator interation with harvesting[J].Appl Math Mode，2013，37：8946-8956.

【責(zé)任編輯：伍林】

Persistence and Global Attractivity of a Class of Predator-Prey Diffusive System with Non-Monotonic Type Functional Response

Xu Changling，Cheng Rongfu

(MathematicsandStatisticsSchoolofBeihuaUniversity，Jilin132013，China)

Abstract：We investigate the persistence and global attractivity of a class of predator-prey diffusive system with double density restrict and non-monotonic type functional response by applying Comparison Theorem of differential equation，the Continuation Theorem of coincidence degree theory，Barbalat Lemma and Lyapunov Function.The sufficient conditions with the existence of the unique globally asymptotically stable of the positive periodic solution are obtained.

Key words：diffusive system；positive periodic solution；non-monotonic type functional response；persistence；global asymptotic stability

中圖分類號：O175.7

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

作者簡介：徐長玲(1982-)，女，碩士，講師，主要從事微分方程定性理論研究，E-mail：xcl19820106@163.com.

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11201008).

收稿日期：2016-01-08

文章編號：1009-4822(2016)02-0141-07

DOI：10.11713/j.issn.1009-4822.2016.02.001