“拋物線及其標準方程”教學設計

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“拋物線及其標準方程”教學設計

閆瑞霞

(山西省沁水縣沁水中學，048200)

一、教材分析

1.教材前后聯(lián)系,地位與作用

拋物線及其標準方程是普通高中課程標準實驗教科書(人教版)選修2-1中的第二章第四節(jié)的內容．

學生已經學習了橢圓和雙曲線的定義、方程和幾何性質,對坐標法已有了初步的認識,這些為學習拋物線奠定了基礎；同時,對拋物線的定義、方程的學習能讓學生進一步深化對坐標法的認識,也為下一節(jié)用代數方法研究拋物線的幾何性質做好鋪墊．

拋物線在生產和科學技術中有廣泛的應用,體現了數學與生產和科學技術的緊密聯(lián)系,這就要求我們在教學中注意理論聯(lián)系實際,培養(yǎng)學生應用數學的能力,學以致用．

2.教學目標

(1)知識與技能.掌握拋物線的定義,掌握拋物線的四種標準方程形式及其對應的焦點、準線．

(2) 過程與方法.掌握對拋物線標準方程的推導,進一步理解求曲線方程的方法——坐標法．通過本節(jié)課的學習,提高學生觀察、類比、分析和概括的能力．

(3)情感、態(tài)度與價值觀.通過本節(jié)的學習,體驗研究解析幾何的基本思想,感受圓錐曲線在刻畫現實和解決實際問題中的作用,進一步體會數形結合的思想．

3.教學重難點

(1)重點.拋物線的定義及焦點、準線;拋物線的四種標準方程和p的幾何意義．

(2)難點.在推導拋物線標準方程的過程中,如何選擇適當的坐標系．

二、教法與學法

1.教法

本節(jié)課主要采用啟發(fā)引導法．在整個教學過程中,引導學生觀察、分析和歸納,使學生思維緊緊圍繞“問題”層層展開,培養(yǎng)學生學習的興趣,也充分體現以教師為主導,學生為主體的教學理念．同時,采用多媒體輔助教學,借助多媒體快捷、形象和生動的輔助作用,突出知識的形成過程,符合學生的認識規(guī)律,也可以增加趣味．

2.學法

本節(jié)課從引入課題開始,盡可能讓學生參與知識的產生及形成過程,充分發(fā)揮學生的主體作用,使學生全方位地參與問題結論的得出,教師只起點撥作用．這樣做不僅可以增加學生的參與機會,提高參與意識,而且教給了學生獲取知識的途徑,思考問題的方法,使學生真正成為教學的主體．

三、教學過程

1.創(chuàng)設情境，引入課題

用多媒體輔助教學向學生展示益智游戲《憤怒的小鳥》的視頻.

設計意圖用學生感興趣的益智游戲引入課題，激發(fā)學生的學習興趣，體會數學是源于生活又服務于生活.

2.學生自學，合作探究

探究1拋物線定義

閱讀課本第64頁～第67頁，回答下列問題，開展探究活動：

用幾何畫板畫圖，如圖1.點F是定點，l是不經過點F的定直線，H是l上任意一點，過點H作MH⊥l,線段FH的垂直平分線m交MH于點M，拖動點H，觀察點M的軌跡.

問題1點M的軌跡是什么？

問題2你能發(fā)現點M滿足的幾何條件嗎？

問題3在拋物線定義中，條件“l(fā)不經過點F”去掉是否可以？

探究2拋物線的標準方程

問題4求曲線方程的一般步驟是什么？

問題5你認為如何選擇坐標系，能使拋物線方程更簡單？

問題6請你推導出拋物線的方程.

問題7標準方程y2=2px(p>0)中p的幾何意義是什么？

問題8如果拋物線的開口方向向下，或向左(向右)時，其標準方程又是什么？并填寫課本第66頁表格.

設計意圖讓學生自主學習，合作探究，參與知識的產生及形成過程，充分發(fā)揮學生的主體作用，使學生全方位地參與問題結論的得出，教師只起到點撥作用.這樣做不僅增加了學生的參與機會，提高了參與意識，而且教給了學生獲取知識的途徑、思考問題的方法，使學生真正成了教學的主體.

3.展示交流，精講點撥

(1)教師用幾何畫板展示課本第64頁中的數學實驗.

(2)學生展示探究1，并給出拋物線的定義.

(3)定直線l不經過點F時，將會得到怎樣的曲線？

訓練1

(i)方程

表示的曲線是()

(A)圓(B)橢圓

(C)雙曲線(D)拋物線

(ii)若動點P與定點F(1，1)和直線l:3x+y-4=0的距離相等，則動點P的軌跡是()

(A)橢圓(B)雙曲線

(C)拋物線(D)直線

(4)學生展示探究2，并完成下表1：

注意應將圖形的位置特征和方程的形式結合起來記憶,通過四種標準方程對比并總結：

① 方程的一次項決定焦點的位置，

② 一次項系數的符號決定開口方向．

訓練2

(i)已知拋物線的方程如下,求其焦點坐標和準線方程：

①y2=-6x;

②3x2+5y=0.

(ii)分別求滿足下列條件的拋物線的標準方程：

①準線方程為2y+4=0;

②焦點在直線x+3y+15=0上.

解題感悟:________________.

設計意圖用幾何畫板完成數學實驗,讓學生在美觀、動靜結合中經歷拋物線定義的形成過程．再由學生口述定義,如不完整,教師進行補充；并讓學生注意到:直線l不經過定點F．

通過訓練1加深學生對拋物線的定義的理解,由感性認識上升到理性認識．由學生展示建系方法,教師引導,總結出不同的方法．

讓三個小組到黑板上,分別推導其中一種情況的拋物線的方程,并得出拋物線的標準方程,從而突破本節(jié)課的難點;并強調p的幾何意義,突出本節(jié)課的重點．

再讓三個小組到黑板上,分別推導開口向左(上、下)的拋物線標準方程．

填表后,教師引導學生結合拋物線的位置特征和方程形式進行記憶,使學生更好地掌握本節(jié)的重點內容．

通過訓練2，鞏固四種方程形式及曲線特征,引導學生代數與幾何的互化,滲透數形結合的思想,強化解析幾何的基本思想與方法．

4.課堂小結,拓展訓練

(1)課堂小結

①今天學到了什么?(知識方面)

②體驗了哪些數學思想?

(2)拓展訓練

①求拋物線y=ax2(a≠0)的焦點坐標和準線方程；

②求經過過點(3,-4)的拋物線的標準方程.

(3)布置作業(yè)

必做題:課本第73頁A組1,3,4.

選做題:

(i)拋物線y=4x2上的一點M到焦點的距離為1,則點M的縱坐標是 ()

①求點M的軌跡方程;

②是否存在M,使|MA|+|MF|取得最小值?若存在,求此時點M的坐標;若不存在,請說明理由.

設計意圖課堂小結,拓展訓練,是學生對本節(jié)課內容的一個總結與提升,培養(yǎng)學生的歸納與總結能力,同時又是對本節(jié)課所學知識的一個檢驗,也加深了學生對本節(jié)知識的理解和記憶．作業(yè)的安排是為了鞏固所學知識,提高學生對知識的運用能力．分為必做題和選做題,這樣,可以讓不同層次的學生得到不同的發(fā)展．