彈體侵徹混凝土開(kāi)坑階段阻力的計(jì)算*

薛建鋒，沈培輝，王曉鳴

(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇南京 210094)

1 引 言

為了研究侵徹過(guò)程中彈體所受阻力的變化情況，需要對(duì)彈頭表面在開(kāi)坑區(qū)的侵徹阻力進(jìn)行清晰的描述。鑒于Forrestal方法的不足，本研究基于應(yīng)力波損傷理論，對(duì)混凝土材料開(kāi)坑區(qū)的侵徹特性進(jìn)行分析，利用應(yīng)力波反射形成層裂闡述靶面成坑機(jī)理，并根據(jù)侵徹阻力做功的簡(jiǎn)化等效阻力線(xiàn)得到新阻力模型，將理論結(jié)果與數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較，得出開(kāi)坑階段阻力計(jì)算新方法的適用范圍。

2 Forrestal半經(jīng)驗(yàn)法[2-3]

大量混凝土靶侵徹實(shí)驗(yàn)表明，混凝土材料的侵徹通道可分為開(kāi)坑區(qū)和貫穿孔洞區(qū)。Forrestal假設(shè)：在開(kāi)坑區(qū)的4R(R為彈體半徑)深度內(nèi)，侵徹阻力隨侵徹深度增大而線(xiàn)性增大；當(dāng)侵徹深度大于4R以后，侵徹阻力與侵徹深度的關(guān)系可以采用空腔膨脹理論描述，即侵徹阻力F的表達(dá)式為

(1)

式中：C為侵徹阻力系數(shù)；W為侵徹深度；B為動(dòng)阻力項(xiàng)系數(shù)，B=1；S為靶體靜態(tài)阻力系數(shù)；fc為混凝土材料的單向無(wú)側(cè)限抗壓強(qiáng)度；N為頭部形狀因子；ρ為混凝土密度；v為彈體速度。其中，侵徹阻力系數(shù)C和頭部形狀因子N的表達(dá)式為

式中：m為彈體質(zhì)量；v0為彈體初始速度；v1為開(kāi)坑結(jié)束時(shí)的彈體速度；ψ為曲徑比。當(dāng)侵徹深度等于4R時(shí)，開(kāi)坑階段恰好結(jié)束，根據(jù)連續(xù)性條件，由(1)式計(jì)算可得，此時(shí)的彈體速度為

(4)

3 理論模型

3.1 開(kāi)坑過(guò)程描述

開(kāi)坑區(qū)是撞擊應(yīng)力波引起表層混凝土材料損傷破壞形成的。沖擊應(yīng)力波在混凝土靶的自由表面反射形成拉伸波，在臨近自由表面的位置造成相當(dāng)高的拉應(yīng)力，一旦滿(mǎn)足最大拉應(yīng)力瞬時(shí)斷裂準(zhǔn)則，就會(huì)在該處引起材料的破壞；當(dāng)裂口足夠大時(shí)，整塊裂片攜帶著傳入其中的動(dòng)量從靶體飛離；出現(xiàn)層裂后，靶體表面形成新的自由面，繼續(xù)入射的應(yīng)力波在新自由表面上反射，造成第2層層裂；以此類(lèi)推，混凝土表面逐漸被破壞，形成開(kāi)坑區(qū)。

圖1 簡(jiǎn)化等效阻力曲線(xiàn)Fig.1 Simplified equivalent resistance line

開(kāi)坑深度與彈體直徑有關(guān)，一般認(rèn)為開(kāi)坑深度為彈體直徑的2倍。根據(jù)文獻(xiàn)[13]可知，應(yīng)力波在混凝土表層造成損傷的深度應(yīng)該比開(kāi)坑區(qū)的深度還要大，即應(yīng)力波損傷的深度將大于(6～8)R。應(yīng)力波在混凝土材料內(nèi)的傳播速度遠(yuǎn)大于彈體運(yùn)動(dòng)速度，因此當(dāng)彈體侵徹混凝土靶一定深度后產(chǎn)生的應(yīng)力波能量足夠大，足以損傷和破壞彈體運(yùn)動(dòng)前方的混凝土表層，造成混凝土表層材料強(qiáng)度下降，從而使得開(kāi)坑區(qū)混凝土對(duì)彈體阻力的下降?？紤]應(yīng)力波對(duì)混凝土表層的損傷和破壞，在開(kāi)坑區(qū)，簡(jiǎn)化等效阻力線(xiàn)由0～kR區(qū)間的零阻力線(xiàn)和kR以后的滿(mǎn)阻力線(xiàn)構(gòu)成，如圖1所示。為保證開(kāi)坑區(qū)侵徹效應(yīng)近似等效，要求簡(jiǎn)化等效阻力線(xiàn)做功與真實(shí)阻力線(xiàn)做功近似相等，即兩陰影區(qū)域SA和SB的面積相等。

3.2 阻力計(jì)算

彈體頭部表面的應(yīng)力為

(5)

式中：psd≈2(1-lnα)σsd/3，其中σsd為混凝土材料的動(dòng)態(tài)屈服強(qiáng)度，α=1-(ρ/ρp)，ρp為混凝土的鎖變密度；C=BNρ，其中動(dòng)阻力項(xiàng)系數(shù)B的表達(dá)式為

經(jīng)典框架有很多種形式的推廣, 例如連續(xù)框架[4]、算子值框架[5]、G-框架[6]、子空間框架[7]、 Banach框架[8]、Hilbert C*-?？蚣躘9]等。文獻(xiàn)[10]對(duì)經(jīng)典框架的等式與不等式做了深入的研究。本文在文獻(xiàn)[11-12]的基礎(chǔ)上, 用算子理論的方法對(duì)Rd上的測(cè)度框架進(jìn)行進(jìn)一步的研究。

(6)

混凝土材料綜合動(dòng)態(tài)強(qiáng)度參數(shù)的公式為

(7)

式中：Wmax為最大侵徹深度。在開(kāi)坑區(qū)，彈頭的軸向阻力可表示為

(8)

圖2 彈頭參量示意圖Fig.2 Warhead parameters

式中：r為曲率半徑，μ為摩擦系數(shù)，φ0為彈頭侵徹的初始角度，φ為侵徹過(guò)程中的角度，如圖2所示。

根據(jù)能量守恒定理可知，由于阻力的作用，侵徹過(guò)程中彈體的動(dòng)能減小。根據(jù)動(dòng)能定理，彈體減小的動(dòng)能等于開(kāi)坑階段阻力和開(kāi)坑深度的乘積，即

(9)

根據(jù)3.1節(jié)中分析，取k≈4時(shí)，即有SA≈SB，此時(shí)彈體的阻力模型由(1)式變?yōu)?/p>

(10)

將W(t=0)=4R、v(t=0)=v0兩個(gè)初始條件與(10)式聯(lián)立求解，得到最大侵徹深度的計(jì)算公式為

(11)

4 數(shù)值模擬及實(shí)驗(yàn)研究

為了驗(yàn)證理論模型的可靠性和正確性，進(jìn)一步采用數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)方法研究開(kāi)坑過(guò)程中侵徹深度與阻力之間的關(guān)系。

4.1 有限元模型

圖3 彈靶有限元網(wǎng)格Fig.3 Finite element model

利用ANSYS-DYN軟件建立彈體侵徹混凝土靶的有限元模型如圖3所示。彈體的直徑為10 mm，長(zhǎng)度為70 mm，頭部曲率半徑為3或4。為消除側(cè)面約束對(duì)侵徹的影響，將混凝土靶設(shè)置為半無(wú)限靶，直徑為300 mm，高度為400 mm?？紤]到彈體結(jié)構(gòu)和載荷的對(duì)稱(chēng)性，為節(jié)省計(jì)算時(shí)間，采用實(shí)體模型的1/4進(jìn)行建模和求解。在彈體經(jīng)過(guò)靶板區(qū)域20 mm的范圍內(nèi)，網(wǎng)格比較密集，其他區(qū)域網(wǎng)格較稀疏。對(duì)彈體和靶體對(duì)稱(chēng)面上的節(jié)點(diǎn)設(shè)置對(duì)稱(chēng)約束，并對(duì)靶側(cè)面施加邊界條件，以模擬靶體被固定的情況。

彈體采用剛性模型描述，彈體密度為7.83 g/cm3，彈性模量為204 GPa，泊松比為0.3。彈體內(nèi)裝填物視為各向同性彈塑性材料，其密度為1.8 g/cm3，彈性模量為5 GPa，泊松比為0.4，采用彈塑性材料模型描述。在彈體斜侵徹混凝土靶的過(guò)程中，彈體與混凝土靶板之間選擇LS-DYNA中的面面接觸算法。混凝土靶滿(mǎn)足Grüneisen狀態(tài)方程，其強(qiáng)度模型采用HJC累積損傷材料模型，具體材料參數(shù)如表1所示。其中G為剪切模量，A1為內(nèi)聚力強(qiáng)度，B1為壓力強(qiáng)化系數(shù)，C1為應(yīng)變率敏感系數(shù)，N1為壓力硬化系數(shù)，T為混凝土的最大拉伸強(qiáng)度，D1和D2是混凝土損傷參數(shù)，εfmin為混凝土的最小塑性應(yīng)變，p1為靜水壓力。

表1 混凝土材料參數(shù)Table 1 Concrete material parameters

4.2 實(shí)驗(yàn)方法

圖4為P3型和P4型兩種彈體的實(shí)物圖，其曲率半徑分別為3和4，彈身直徑均為10 mm，長(zhǎng)徑比為7，彈體材料為35CrMnSi高強(qiáng)度合金鋼，通過(guò)改變彈體內(nèi)部開(kāi)孔深度，確保彈體質(zhì)量為80 g。圖5為混凝土靶的實(shí)物圖，靶板直徑為300 mm，為彈徑的30倍，因此可以忽略靶板的橫向邊界效應(yīng)。為了方便澆注混凝土靶，并保證侵徹后靶體的完整性，靶板外圍采用3 mm厚的鋼圈加固。彈體速度通過(guò)改變裝藥量控制，并通過(guò)錫箔紙和雙通道測(cè)時(shí)儀進(jìn)行測(cè)量，現(xiàn)場(chǎng)布置如圖6所示。

圖4 兩種型號(hào)彈體實(shí)物圖Fig.4 Photos of projectiles

圖5 混凝土靶Fig.5 Concrete target

圖6 實(shí)驗(yàn)布局Fig.6 Experimental setup

4.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖7為實(shí)驗(yàn)后開(kāi)坑區(qū)的破壞效果。由圖7可知，侵徹后靶體正面開(kāi)坑呈漏斗形，形成了相對(duì)于彈著點(diǎn)基本對(duì)稱(chēng)的彈坑區(qū)。靶面無(wú)明顯裂紋，說(shuō)明邊界約束對(duì)侵徹過(guò)程幾乎沒(méi)有影響。開(kāi)坑區(qū)的幾何參數(shù)如表2所示。從表2可以看出，彈坑深度為彈體直徑的3～4倍，并且隨著彈體侵徹速度的增加，彈坑面積逐漸增加，彈坑深度也發(fā)生明顯的變化。

圖7 開(kāi)坑區(qū)破壞效果Fig.7 Photos of concrete damage

表2 開(kāi)坑區(qū)的幾何參數(shù)Table 2 Geometrical parameters of crater zone

5 結(jié)果分析

5.1 數(shù)值模擬結(jié)果分析

圖8為數(shù)值模擬中計(jì)算時(shí)間為20和95 μs時(shí)靶體的損傷效果。從圖8中可以看出，開(kāi)坑階段，混凝土發(fā)生了層裂和擠兌，并且靶體表面的開(kāi)坑形狀與實(shí)驗(yàn)結(jié)果(見(jiàn)圖7)一致。彈體撞擊混凝土靶時(shí)，彈體周?chē)膲毫h(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了混凝土材料的屈服強(qiáng)度，彈體和靶體內(nèi)部均產(chǎn)生強(qiáng)平面沖擊波，由于靶體表面的反射，平面波發(fā)生變形，并且在彈靶交界面上發(fā)生反射，使得在反射波后有許多靶體碎塊從靶體內(nèi)部向外飛出；之后，隨著彈體的深入，在反射波和壓縮波的共同作用下，更多的碎塊從靶體內(nèi)飛出，靶體表面形成漏斗坑；最終，彈頭全部進(jìn)入靶體，不再產(chǎn)生靶面剝落。

圖8 開(kāi)坑階段數(shù)值模擬結(jié)果Fig.8 Simulation results of cratering stage

5.2 模型的對(duì)比分析

Forrestal半經(jīng)驗(yàn)公式假設(shè)開(kāi)坑深度為彈徑的2倍，而實(shí)驗(yàn)中P4和P3彈體的開(kāi)坑深度均大于2倍的彈徑。根據(jù)新模型計(jì)算彈體在開(kāi)坑過(guò)程中所受的阻力，進(jìn)而求得不同開(kāi)坑速度時(shí)的開(kāi)坑深度，并將結(jié)果與Forrestal半經(jīng)驗(yàn)公式、數(shù)值計(jì)算和實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，如圖9所示。從圖9中可以看出，數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)結(jié)果與新模型預(yù)測(cè)值吻合較好。開(kāi)坑階段結(jié)束后，P3彈體的速度分別為835、724和676 m/s，開(kāi)坑階段消耗的動(dòng)能分別占彈體初始動(dòng)能的20.6%、21.8.%和16.1%；而開(kāi)坑階段結(jié)束后，P4彈體的速度分別為793、734和687 m/s，消耗的動(dòng)能占彈體初始動(dòng)能的22.2%、20.3%和19.5%。由于開(kāi)坑階段彈體消耗的動(dòng)能占彈體初始動(dòng)能的比例較大，因此彈體在開(kāi)坑區(qū)侵徹阻力的準(zhǔn)確表達(dá)式對(duì)了解彈體的剩余侵徹能力以及之后侵徹過(guò)程的分析很有意義。

圖9 開(kāi)坑深度與侵徹速度的關(guān)系Fig.9 Relation of penetration depth and velocity

6 結(jié) 論

根據(jù)半經(jīng)驗(yàn)公式對(duì)開(kāi)坑區(qū)的阻力進(jìn)行計(jì)算，從應(yīng)力波表層損傷理論和反射形成層裂角度解釋了混凝土開(kāi)坑的機(jī)理，利用侵徹阻力做功等效的方法建立了開(kāi)坑區(qū)阻力計(jì)算的新模型。經(jīng)驗(yàn)證，數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論模型計(jì)算結(jié)果吻合較好，新模型能夠較好地描述彈體在開(kāi)坑階段阻力與速度的關(guān)系，適用于彈體侵徹混凝土靶或部分以混凝土為面層的多層復(fù)合靶的侵徹計(jì)算。

[1] 吳 昊,方 秦,龔自明,等.應(yīng)用改進(jìn)的雙剪強(qiáng)度理論分析巖石靶體的彈體侵徹深度 [J].工程力學(xué),2009,26(8):216-222.

WU H,FANG Q,GONG Z M,et al.Analysis on penetration depth of projectiles into rock targets based on the improved twin shear strength theory [J].Engineering Mechanics,2009,26(8):216-222.

[2] FORRESTAL M J,ALTMAN B C,CARGILE J D,et al.An empirical equation for penetration depth of ogive-nose steel projectiles into concrete targets [J].Int J Impact Eng,1994,15(4):395-405.

[3] FORRESTAL M J,FREW D J,HANCHAK S J,et al.Penetration of grout and concrete targets with ogive-nose steel projectile [J].Int J Impact Eng,1996,18(5):465-476.

[4] FORRESTAL M J,FREW D J,HICHERON J P,et al.Penetration of concrete targets with deceleration time measurement [J].Int J Impact Eng,2003,28(5):479-497.

[5] FREW D J,HANCHAK S J,GREEN M L,et al.Penetration of concrete targets with ogive-nose rods [J].Int J Impact Eng,1998,21(6):489-497.

[6] QIAN L X,YANG Y,LIU T.A semi-analytical model for truncated-nose projectiles penetration into semi-infinite concrete targets [J].Int J Impact Eng,2000,24(9):947-955.

[7] 沈河濤.彈丸侵徹混凝土效應(yīng)研究 [D].北京:北京理工大學(xué),1996.

SHEN H T.Research on the effect of projectile penetration into concrete [D].Beijing:Beijing Institute of Technology,1996.

[8] BACKMAN M E,GOLDSMITH W.The mechanics of projectiles into targets [J].Int J Eng Sci,1978,16(1):1-99.

[9] 劉海鵬,高世橋,金 磊,等.彈侵徹混凝土靶面成坑的分階段分析 [J].兵工學(xué)報(bào).2009,30(增刊2):52-56.

LIU H P,GAO S Q,JIN L,et al.Phase analysis on crater-forming of projectile penetrating into concrete target [J].Acta Armamentarii,2009,30(Suppl 2):52-56.

[10] CHEN X W,FAN S C,LI Q M.Oblique and normal perforation of concrete targets by a rigid projectile [J].Int J Impact Eng,2004,30(6):617-637.

[11] 柴傳國(guó),皮愛(ài)國(guó),武海軍,等.卵形彈體侵徹混凝土開(kāi)坑區(qū)侵徹阻力計(jì)算 [J].爆炸與沖擊,2014,34(5):630-635.

CHAI C G,PI A G,WU H J,et al.A calculation of penetration resistance during cratering for ogive-nose projectile into concrete [J].Explosion and Shock Waves,2014,34(5):630-635.

[12] 彭 永,方 秦,吳 昊,等.對(duì)彈體侵徹混凝土靶體阻力函數(shù)計(jì)算公式的探討 [J].工程力學(xué),2015,32(4):112-199.

PENG Y,FANG Q,WU H,et al.Discussion on the resistance forcing function of projectiles penetrating into concrete targets [J].Engineering Mechanics,2015,32(4):112-119.

[13] 王成華,史利平,徐孝誠(chéng).混凝土靶侵徹計(jì)算的半經(jīng)驗(yàn)法 [J].強(qiáng)度與環(huán)境,2007,34(2):31-37.

WANG C H,SHI L P,XU X C.Semi-empirical method of penetration into concrete targets [J].Structure Environment Engineering,2007,34(2):31-37.