置換對(duì)稱性在多元函數(shù)積分中的應(yīng)用

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(安徽科技學(xué)院　信息與網(wǎng)絡(luò)工程學(xué)院，安徽　鳳陽(yáng)　233100)

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置換對(duì)稱性在多元函數(shù)積分中的應(yīng)用

張?jiān)?/p>

(安徽科技學(xué)院信息與網(wǎng)絡(luò)工程學(xué)院，安徽鳳陽(yáng)233100)

摘要：本文研究置換對(duì)稱性成立的條件，由此給出了二重積分、三重積分、曲線積分和曲面積分的置換對(duì)稱性定理，并給出利用置換對(duì)稱性簡(jiǎn)化問(wèn)題的若干實(shí)例。

關(guān)鍵詞：置換對(duì)稱性；輪換對(duì)稱性；對(duì)換；多元函數(shù)

積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，其內(nèi)容豐富，應(yīng)用廣泛，巧用幾何意義和物理意義[1]以及對(duì)稱性計(jì)算積分可大大的簡(jiǎn)化計(jì)算，提高計(jì)算效率。在定積分的計(jì)算中，巧妙地利用積分區(qū)域關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱性和被積函數(shù)的奇偶性，可達(dá)到事半功倍的效果，此命題在經(jīng)過(guò)推廣后，利用積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面的對(duì)稱性和被積函數(shù)的奇偶性，可簡(jiǎn)化二重積分、三重積分、曲線積分和曲面積分的計(jì)算[2-4]。隨后，考慮到定積分僅與積分域及被積函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則有關(guān)，而與積分變量的符號(hào)無(wú)關(guān)，借助輪換對(duì)稱性的定義，部分教育工作者利用積分區(qū)域關(guān)于變量的輪換對(duì)稱性研究積分的計(jì)算[5-7]。鑒于此，本文受已有文獻(xiàn)的啟發(fā)，引入抽象代數(shù)中的置換概念，定義了積分域的置換對(duì)稱性，探討在置換對(duì)稱性下多元函數(shù)的積分，給出各種積分的計(jì)算公式，用這些公式可轉(zhuǎn)化被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)，使積分計(jì)算簡(jiǎn)便易行。

1預(yù)備知識(shí)

注：本文所指的置換均指非恒等置換。

定義1.2[8]若σ是一個(gè)n次置換，滿足(1)σ(a1)=a2,σ(a2)=a3,…,σ(a1)=a1；(2)σ(a)=a，當(dāng)a≠ai(i=1,2,…,l)，則稱σ是一個(gè)長(zhǎng)為l的輪換，并記作σ=(a1,a2,…,al)，長(zhǎng)度為2的輪換稱為對(duì)換。

若有限集合A={x,y,z}，則可能的置換為：

其中σ1，σ2，σ3是2-輪換(對(duì)換)，σ4，σ5是3-輪換。 下文不加說(shuō)明的話，σi(1≤i≤5)均為此置換。

定義1.3若Ω表示一個(gè)與方向無(wú)關(guān)有界幾何體(曲線段、平面區(qū)域、空間區(qū)域、曲面塊等)，若σ是關(guān)于變量的一個(gè)置換，滿足σ(Ω)=Ω，即經(jīng)過(guò)置換后邊界方程不變，則稱Ω關(guān)于該置換具有置換對(duì)稱性。

2積分域無(wú)方向的多元函數(shù)置換對(duì)稱性定理

由文獻(xiàn)[9]可得，當(dāng)點(diǎn)M(x1,x2…xn)∈Rn時(shí)，數(shù)量值函數(shù)為f(M)=f(x1,x2,…,xn)，其中x1,x2,…xn稱為函數(shù)f的自變量，域Ω表示一個(gè)有界的幾何體(曲線段、平面區(qū)域、空間區(qū)域、曲面塊等)，此時(shí)數(shù)量值函數(shù)在域上的積分可表示為∫Ωf(x1,x2,…xn)dΩ。

引理2.1[9]若T:y1=y1(X),y2=y2(X),…,yn=yn(X)為可逆變換，Ω為有界閉區(qū)域，f(y1,y2,…,yn) 是T(Ω)上的連續(xù)函數(shù)，則有n重積分的變量代換公式:

其中X=(x1,x2,…,xn).

定理2.1設(shè)Ω表示一個(gè)與方向無(wú)關(guān)有界幾何體，多元函數(shù)f(x1,x2,…,xn)在域Ω上可積，若存在一個(gè)置換σ，滿足σ(Ω)=Ω，則有

∫Ωf(x1,x2,…,xn)dΩ=∫Ωσ(f(x1,x2,…,xn))dΩ

∫Ωσ(f(x1,x2,…,xn))dΩ

=∫Ωσ(f(x1,x2,…,xn))dx1dx2…dxn

=∫σ(Ω)σ(f(x2,x2,…,xn))dx1dx2…dxn

=∫σ(Ω)f(σ(x1),σ(x2),…,σ(xn))dx1dx2…dxn

=∫Ωf(x1,x2,…,xn)dx1dx2…dxn

=∫Ωf(x1,x2,…,xn)dΩ

推論2.2若二元函數(shù)在平面曲線弧上可積，且對(duì)置換σ=(x,y)，滿足σ(L)=L，即曲線弧關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則∫Lf(x,y)ds=∫Lf(y,x)ds.

推論2.3若三元函數(shù)f(x,y,z)在空間曲線Γ上可積，則有：

(1)若σ1(Γ)=Γ，則∫Γf(x,y,z)ds=∫Γf(y,x,z)ds.

(2)若σ2(Γ)=Γ，則∫Γf(x,y,z)ds=∫Γf(z,y,x)ds..

(3)若σ3(Γ)=Γ，則∫Γf(x,y,z)ds=∫Γf(x,z,y)ds.

(4)若σ4(Γ)=Γ，則∫Γf(x,y,z)ds=∫Γf(y,z,x)ds..

(5)若σ5(Γ)=Γ，則∫Γf(x,y,z)ds=∫Γf(z,x,y)ds.

推論2.4若三元函數(shù)f(x,y,z)在空間有界閉區(qū)域Ω上可積，則有：

推論2.5若三元函數(shù)f(x,y,z)在空間曲面∑上可積，則有

3積分域有方向的多元函數(shù)置換對(duì)稱性定理

由于置換不能保方向性，下面淺談下積分域有方向時(shí)的置換對(duì)稱性。

若L為有向曲線弧，若不考慮方向性，L經(jīng)過(guò)置換σ=(x,y)后曲線方程不變，即任一點(diǎn)(x,y)∈L，有(y,x)∈L。從而平面曲線L關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則曲線L經(jīng)過(guò)置換σ后，曲線L關(guān)于直線y=x翻轉(zhuǎn)，其方向剛好與原方向相反，即曲線L經(jīng)過(guò)置換σ后是L-(L的反向曲線弧)。

定理3.1若P(x,y)和Q(x,y)均在有向曲線弧L上連續(xù)，且對(duì)置換σ=(x,y)，滿足σ(L)=L-，則有∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=-∫LP(y,x)dy+Q(y,x)dx.

證明：

∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫σ(L)σ(P)dσ(x)+σ(Q)dσ(y)

=∫L-P(y,x)dy+Q(y,x)dx

=-∫LP(y,x)dy+Q(y,x)dx

(1)若積分曲面∑經(jīng)過(guò)σ1置換后曲面方程不變，即曲面關(guān)于平面y=x對(duì)稱，且曲面的法向量方向不變，則有：

(2)若積分曲面∑經(jīng)過(guò)σ2置換后曲面方程不變，且曲面的法向量方向不變，則有：

(3)若積分曲面∑經(jīng)過(guò)σ3置換后曲面方程不變，且曲面的法向量方向不變，則有：

(4)若積分曲面∑經(jīng)過(guò)σ4置換后曲面方程不變，且曲面的法向量方向不變，則有：

(5)若積分曲面∑經(jīng)過(guò)σ5置換后曲面方程不變，且曲面的法向量方向不變，則有：

4應(yīng)用舉例

從而有

在極坐標(biāo)中，積分區(qū)域D={(θ,ρ)|0≤θ≤2π,0≤ρ≤R}，于是有

解：利用Ω的對(duì)稱性，分別對(duì)換x,y和z，有

于是

例3設(shè)平面曲線L為圓周x2+y2=1，求∫Lx2ds.

解：利用L的對(duì)稱性，對(duì)換x,y，有∫Lx2ds=∫Ly2ds，

從而有

解：利用積分曲面∑的對(duì)稱性，分別對(duì)換x,y和x,z，有

于是

證明：(1)利用積分區(qū)域的對(duì)稱性，對(duì)換x,y，于是有

于是

解：利用球面的對(duì)稱性，分別對(duì)換x,z和y,z，于是有

從而

=4πtan1.

參考文獻(xiàn)：

[1]丁峰．利用幾何意義和物理意義巧解積分[J]．安徽科技學(xué)院學(xué)報(bào)， 2007,21(1):50-52.

[2]曹斌，孫艷．對(duì)稱性在積分計(jì)算中的應(yīng)用[J]．吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2012，33(3)：125-128．

[3]鄭妤．利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化第二類曲面積分[J]．高等數(shù)學(xué)研究，2014，17(2)：42-43．

[4]周海青．對(duì)稱性在曲面積分計(jì)算中的應(yīng)用[J]．青海大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2002，20(6)：55-57．

[5]馬軍英．用積分域變量輪換對(duì)稱性計(jì)算幾類積分[J]．山東師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2004，19(1)：79-81．

[6]李源，郝小枝．多元數(shù)量值函數(shù)積分中的輪換對(duì)稱性[J]．云南大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2013，35(S2)：433-437．

[7]王建平，張香偉．積分的輪換不變性在重積分計(jì)算中的應(yīng)用[J]．河南教育學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2014，23(2)：13-15．

[8]胡冠章，王殿軍．應(yīng)用近世代數(shù)(第3版)[M]．北京：清華大學(xué)出版社，2006．

[9]陳紀(jì)修，於崇華，金路．?dāng)?shù)學(xué)分析(第2版)[M]．北京：高等教育出版社，2004．

[10]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)(第6版)[M]．北京：高等教育出版社，2007．

(責(zé)任編輯：馬世堂)

Application of the Permutation Symmetry in Multivariate Function Integral

ZHANG Yuan-ting

(College of Information and Network Engineering, Anhui Science and Technology University, Fengyang 233100，China)

Abstract：In this paper, the conditions for the permutation symmetry are discussed, and according to it, permutation symmetry theorem is given in double integral, triple integral, curve integral and surface integral. Some examples about application theorem to simplify the problem are given.

Key words:Permutation symmetry；Rotation symmetry；Exchange；Multivariate function.

中圖分類號(hào)：O13

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-8772(2016)01-0103-06

作者簡(jiǎn)介：張?jiān)?1987-)，女，安徽省六安市人，碩士，助教，主要從事代數(shù)編碼與密碼研究。

基金項(xiàng)目：安徽省振興計(jì)劃項(xiàng)目(2014zdjy098)。

收稿日期：2015-10-26