一類(lèi)超線性Schr?dinger方程非平凡解的存在性

郭艾，李曉丹（華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東廣州510640）

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一類(lèi)超線性Schr?dinger方程非平凡解的存在性

郭艾，李曉丹
（華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東廣州510640）

摘要：通過(guò)變量代換，將超線性Schr?dinger方程轉(zhuǎn)變?yōu)檩^簡(jiǎn)單的橢圓型方程，然后利用山路引理證明了此問(wèn)題存在一個(gè)非平凡解。

關(guān)鍵詞：Schr?dinger方程；山路引理；非平凡解

研究下面Schr?dinger方程解的存在性

其中f（x，u）是關(guān)于x的1周期函數(shù)。

（V0）對(duì)所有的x∈RN，V（x）≥V0；

（V1）對(duì)所有的是一個(gè)H?lder連續(xù)函數(shù)，并且滿(mǎn)足：

（f1）當(dāng)s→0+，在RN中一致有

（f2）存在常數(shù)a1，a2>0和2＜q<2*使得對(duì)所有的（x，s）∈RN×［0，+∞）；

（f3）存在一個(gè)常數(shù)函數(shù)使得，對(duì)所有的，其中并且p≤q；

（f4）當(dāng)，在RN中一致有

定理假設(shè)N≥3，則方程（1）有一個(gè)非平凡解。

顯然方程（1）的解是下面泛函的臨界點(diǎn)

由于泛函I（u）在一般的Sobolev空間H1（RN）沒(méi)有定義，所以進(jìn)行如下變量代換

則式（3）就相當(dāng)于

在證明定理之前，首先給出一些相關(guān)的引理。

引理1對(duì)所有t≥0，有

證明見(jiàn)文獻(xiàn)［1-3］。

接下來(lái)，建立山路引理的幾何條件。

引理2存在ρ0，a0＞0使得對(duì)所有的有J（v）≥a0。

證明因?yàn)?/p>

由（f1）和（f2），對(duì)任意ε＞0，存在一個(gè)常數(shù)Cε＞0，使得

從而

由（V0），可以得到

令

通過(guò)引理1和（f1），有

同樣，通過(guò)引理1和（f1），有

于是，對(duì)充分小的ε>0，存在一個(gè)常數(shù)Cε>0，滿(mǎn)足

那么，有

通過(guò)選擇適當(dāng)小的ρ，當(dāng)‖v‖=ρ時(shí)，得到引理2。

由（f4）得即J（t?）→-∞，當(dāng)t→∞時(shí)。因此，引理3得證。

在A-R山路引理2和引理3的結(jié)果中，對(duì)于常數(shù)

其中

在水平值c處存在一個(gè)P-S序列，即當(dāng)n→∞時(shí)，J（vn）→c且J′（vn）→0［4-5］。

且

因此

令0<δ

即

由（f3），有

由式（6）可知，存在常數(shù)C1，使得

由（f2）知道p≥q，當(dāng)p=q時(shí)，由式（9）、（10）可以得出式（7）成立。當(dāng)p

接下來(lái)給出定理的完整證明。

證明首先，證明J′（vn）=0，也就是證明v是方程（1）的一個(gè)弱解。由引理4，知道是一個(gè)有界的P-S序列，因此存在在中滿(mǎn)足vn弱收斂于v，則由Lebesgue控制理論，可得

于是J′（vn）=0，v是方程（1）的一個(gè)弱解。接下來(lái)要證明v≠0，用反證法，假設(shè)v=0，分3步來(lái)證明假設(shè)不成立。

由G-1（t）≤g（G-1（t））t，得

假設(shè)

令q=λ（2+p）+（1-λ）（2*-p），λ∈（0，1），由H?lder不等式和引理1，得

因?yàn)?<2+β，2*-β<2*，則由式（5）、（10）和引理1得，對(duì)任意ε>0，有

由式（11）和J′（vn）vn→0可以得到

由引理1得

從而

由式（12）和（13）知，J（vn）→0，這與J（vn）→c＞0矛盾。因此不會(huì)消失，即存在使得

其中

并且

2J∞（v?）-J′∞（v?）v?=2J∞（v?）。

由c∞的定義知

如果V（x）≡V（∞），則證明了定理1；如果V（x）≤V（∞），但V（x）≡V（∞）不成立，由路徑Γ，有

矛盾，因此，v是一個(gè)非平凡解。

參考文獻(xiàn)：

［1］CHENG K, YAO Y. Solition solutions to a class relativistic nonlinear schr?dinger equation［J］. Appl Math and Comp, 2015, 260: 342- 350.

［2］LIUJ Q, WANGZQ. Soliton solutions for quasilinear Schr?dinger equations［J］. Proc Amer Math Soc, 2003, 131: 441- 448.

［3］LIU J Q, WANG Y Q, WANG Z Q. Soliton solutions for quasilinear schr?dinger equationsⅡ［J］. J Differential Equation, 2003, 187: 473- 493.

［4］ZHOU Huansong. Positive solution for a semilinear elliptic equation which is almost linear at infinity［J］. Z Angew Math Phys, 1998, 49: 896- 906.

［5］ELVESA, SILVAB, GILBERTOF. Vieira, quasilinear asymptoticallyperiodic schr?dinger equation with subcritical growth［J］. Nonlinear Analysis, 2010, 72: 2935- 2949.

［6］RRTHER W. Bifurcation for a semilinear elliptic equation on RNwith radiallysymmetric coefficients［J］. Manuscripta Math, 1989, 65: 413- 426.

［7］COLINM, JEANJEANL. Solutions for a quasilinear Schr?dinger equations: Adual approach［J］. Nonlinear Anal TMA, 2004, 56（2）: 213- 226.

【責(zé)任編輯：王桂珍foshanwgzh@163.com】

The existence of nontrivial solution to a class of superlinear Schr?dinger equation

GUOAi, LI Xiao- dan
（School of Mathematics, South China Universityof Technology, Guangzhou 510640, China）

Abstract:Usinga change ofvariable, we concert a class ofsuperlinear Schr?dinger equation into a simple elliptic one. Byusing Mountain pass Lemma, we showthe existence of nontrivial solution for a Schrodinger equation.

Keywords:Schr?dinger equation; mountain pass theorem; nontrivial solution

作者簡(jiǎn)介：郭艾（1962-），女，廣東廣州人，華南理工大學(xué)教授，博士。

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11461014）

收稿日期：2015-08-03

文章編號(hào)：1008- 0171（2016）02- 0005- 07

中圖分類(lèi)號(hào)：O241.6

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A