一般矩陣特征值新的相對(duì)擾動(dòng)界

孔祥強(qiáng)（菏澤學(xué)院數(shù)學(xué)系，山東菏澤274015）

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一般矩陣特征值新的相對(duì)擾動(dòng)界

孔祥強(qiáng)
（菏澤學(xué)院數(shù)學(xué)系，山東菏澤274015）

摘要：利用矩陣的約當(dāng)分解和矩陣的Schur三角分解及矩陣的計(jì)算技巧，深入探討了任意矩陣特征值的相對(duì)擾動(dòng)問(wèn)題。在矩陣特征值絕對(duì)擾動(dòng)的基礎(chǔ)上，得到了全新的任意矩陣特征值的相對(duì)擾動(dòng)上界,并且所得結(jié)果推廣了原有的結(jié)論。

關(guān)鍵詞：矩陣；特征值；相對(duì)擾動(dòng)上界

矩陣特征值的擾動(dòng)理論，是研究矩陣在某種特定結(jié)構(gòu)下，其特征值的擾動(dòng)上界問(wèn)題。文獻(xiàn)［1-2］研究了矩陣特征值的乘法擾動(dòng)；文獻(xiàn)［3］研究了奇異可對(duì)角化矩陣特征值的加法擾動(dòng)。本文研究非奇異一般矩陣的相對(duì)擾動(dòng)上界問(wèn)題，在絕對(duì)擾動(dòng)上界的基礎(chǔ)上，得到了任意矩陣特征值的相對(duì)擾動(dòng)上界，所得結(jié)果是原有結(jié)論的推廣。

1　幾個(gè)定義和引理

定義1［4］（正規(guī)矩陣）若矩陣A∈Cn×n，滿(mǎn)足AHA=AAH，則A為正規(guī)矩陣。若滿(mǎn)足AH=A-1，則A為酉陣。

定義2［5］（Shur三角分解）設(shè)A∈Cn×n，則必存在酉陣U，使得UHAU=T，其中為上三角矩陣，λ1，λ2，…，λn為A的n個(gè)特征值, UH為矩陣U的共軛轉(zhuǎn)置矩陣。當(dāng)適當(dāng)選取U時(shí)，可使T的對(duì)角線(xiàn)元素按任一指定順序排列。T稱(chēng)為A的Shur上三角形式。

定義3［6］（矩陣的F-范數(shù)）設(shè)A∈Cn×n，令則稱(chēng)它為矩陣A的F-范數(shù)。

引理1［7］設(shè)A為正規(guī)矩陣，B=A+E，則存在1，2，…，n的某個(gè)排列π，使得

其中UHBU=Λ+diag（Δ1，Δ2，…，Δs），U為酉陣，Λ為由B的特征值構(gòu)成與Δi的階數(shù)相對(duì)應(yīng)的對(duì)角陣，1≤s≤n，Δi（i=1，2，…，s）為嚴(yán)格上三角陣。

引理2［8］設(shè)A和B為任意的n×n矩陣，則存在1，2，…，n的某個(gè)排列π，使得

2　主要結(jié)果

在引理2特征值絕對(duì)擾動(dòng)上界的基礎(chǔ)上，得到了下面的相對(duì)擾動(dòng)上界定理。

定理設(shè)A，B∈Cn×n，且A為非奇異矩陣，則存在1，2，…，n的某個(gè)排列π，使得

設(shè)T=diag（T1，…，Tp），則T可逆，從而

故

由引理1知，存在1，2，…，n的某個(gè)排列π，使得

又

故

由式（1）、（2）得

又

故

證畢。

注（1）從證明的過(guò)程中不難發(fā)現(xiàn)，下面的結(jié)果成立

該結(jié)果比定理中的上界還要小。

此即為引理1的結(jié)果，因此式（3）的結(jié)果是文獻(xiàn)［7］中定理的進(jìn)一步推廣。

參考文獻(xiàn):

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【責(zé)任編輯：王桂珍foshanwgzh@163.com】

New bounds of relative perturbation for eigenvalues of arbitrary matrices

KONGXiang- qiang
（Department of Mathematics, Heze University, Heze 274015, China）

Abstract:Network traffic prediction is the premise and foundation for network design, management, control and optimization. Aiming at the trend that majority of current network traffic appears close to cyclical changes, the paper presents a method that after the original data x((0))is mapped into a sine function（x((0))=sin y((0))y((0))=arcsin x((0))）, original data y((0))can be applied into GM（1，1）model for network traffic prediction, which avoids the shortcoming of monotonic prediction by using GM（1，1）model. Simulation results showthe prediction accuracy byusingthe presented model is significantlyhigher than that byusing GM（1，1）model, indicatingits application value tosome extent.

Keywords:sine function; GM(1, 1)model; network traffic; prediction

作者簡(jiǎn)介：孔祥強(qiáng)（1983-），男，山東菏澤人，菏澤學(xué)院講師。

基金項(xiàng)目：菏澤學(xué)院重點(diǎn)科研項(xiàng)目（2015010）

收稿日期：2015-07-14

文章編號(hào)：1008- 0171（2016）02- 0017- 03

中圖分類(lèi)號(hào)：O151.21

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A