矩陣微分方程通解的待定矩陣法

吳幼明，梁麗枝，吳文峰（．佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系，廣東佛山58000；．愛荷華威斯萊大學(xué)商業(yè)管理系，愛荷華芒特普萊森特564）

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矩陣微分方程通解的待定矩陣法

吳幼明1，梁麗枝1，吳文峰2
（1．佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系，廣東佛山528000；2．愛荷華威斯萊大學(xué)商業(yè)管理系，愛荷華芒特普萊森特52641）

摘要：基于矩陣微分方程理論，采用待定矩陣方法，推導(dǎo)了非齊次項為三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積的一類常系數(shù)矩陣微分方程的通解公式。進(jìn)行了2種特殊情況的討論，利用算例驗證矩陣微分方程通解公式的正確性。豐富了矩陣微分方程的解法理論。

關(guān)鍵詞：矩陣微分方程；待定矩陣方法；通解

求矩陣微分方程的通解公式和特解公式［1-8］是矩陣微分方程理論的重要部分，但目前只有一階矩陣微分方程研究結(jié)果比較豐富，而高階矩陣微分方程研究結(jié)果還較少。對于高階常系數(shù)線性矩陣微分方程來說，可用待定矩陣方法［3-5］求出矩陣微分方程的通解公式和特解公式。文獻(xiàn)［6］給出了矩陣微分方程Af"（x）-Bf（x）=t（x）的通解公式，但t（x）僅為二次多項式情形，而文獻(xiàn)［3］推導(dǎo)了文獻(xiàn)［6］的方程在t（x）為三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)相乘形式的通解公式；文獻(xiàn)［7-8］分別在文獻(xiàn)［6］的基礎(chǔ)上得到了矩陣微分方程Af"（x）-aAf′（x）-Bf（x）=t（x）和方程Af"（x）-Bf′（x）-Af（x）=t（x）的通解公式，對文獻(xiàn)［6］作了推廣，但t（x）也僅為二次多項式情形，而文獻(xiàn)［4］推導(dǎo)了文獻(xiàn)［7］的方程在t（x）為三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)相乘形式的通解公式，加深了文獻(xiàn)［7］的結(jié)果。本文在文獻(xiàn)［3，4，7，8］的基礎(chǔ)上采用待定矩陣方法和按列比較方法，推導(dǎo)出了文獻(xiàn)［8］的方程在t（x）為三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)相乘形式的通解公式，是文獻(xiàn)［8］的縱向推廣，亦是文獻(xiàn)［3-4］的橫向補充，更具有一般性。

1　符號

給出矩陣微分方程

其中fi=fi（x）（i=1，2，3）是關(guān)于x的函數(shù)，ti（x）（i=1，2，3）是關(guān)于x的三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的乘積，aij，bij（i，j=1，2，3）是常數(shù)。

因此，式（1）整理后為

2　方程的通解

2.1齊次方程的通解

方程（2）對應(yīng)的齊次方程為

則方程（3）的通解［8］為，其中，而是矩陣C的3個特征根，V是矩陣C的列特征向量的矩陣，C1′、C2′是常數(shù)向量。

2.2非齊次方程的特解

對方程（2），設(shè)

將式（5）代入方程（2），整理并比較相同三角函數(shù)的系數(shù)，得到下列2個等式

由式（6）取第i列得

由式（7）取第i列得

將式（8）代入式（9）并整理有

同理得

令

所以，方程（2）的一個特解為

從而，方程（2）的通解為

2.3特殊情況的討論

（1）當(dāng)βi=0（i=1，2，3）時，式（12）變?yōu)?/p>

式（14）與文獻(xiàn)［5］（當(dāng)li=mi=0，i=1，2，3時）的結(jié)論完全一致，證明本文的公式是文獻(xiàn)［5］的深化。

（2）當(dāng)B=0時，式（12）簡化后的結(jié)果與文獻(xiàn)［3］當(dāng)A=B時的結(jié)論完全一致，證明本文的公式是文獻(xiàn)［3］的拓展。

3　算例

用本文方法解下列矩陣方程

其中

所以

從而，矩陣方程（15）的1個特解為

經(jīng)檢驗，式（16）確是矩陣方程（15）的1個特解。

4　結(jié)語

本文采用待定矩陣法，得到了一類常系數(shù)矩陣微分方程的通解公式，但這是在假定矩陣的特征根互異的情況下得到的結(jié)論。矩陣的特征根是重根時的情況少見報道，尚有待進(jìn)一步探討。

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【責(zé)任編輯：王桂珍foshanwgzh@163.com】

Undetermined matrix method for the general solution of matrix differential equation

WUYou- ming1，LIANGLi- zhi1，WUWen- feng2
（1. Department of Mathematics, Foshan University, Foshan 528000, China; 2. Department of Business Administration, Iowa Wesleyan University, Mount Pleasant 52641, America）

Abstract:Based on matrix differential equation theory , and by the method of undetermined matrix , the paper is devoted to provide a general solution of finding a kind of matrix differential equation with constant coefficients, and the non- homogeneous terms of matrix differential equation are the form of the trigonometric functions multiplied by exponential function. The special cases are discussed in detail. For example, the general solution formulas are validated. It is shown that the present method of solving on matrix differential equation is effective and general.

Keywords:matrixdifferential equation; method ofundetermined matrix; general solution

作者簡介：吳幼明（1962-），男，廣東廣州人，佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院副教授，博士。

基金項目：廣東省自然科學(xué)基金資助項目（S2013010012463）

收稿日期：2015-09-11

文章編號：1008- 0171（2016）02- 0001- 04

中圖分類號：O151.21

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A