基于B—S模型的可轉(zhuǎn)債定價(jià)研究

鄭雪儀

摘 要：隨著我國(guó)資本市場(chǎng)的不斷發(fā)展，可轉(zhuǎn)換債券成為籌資和規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的重要金融工具，其定價(jià)問(wèn)題日益為各界所關(guān)注。本文選擇目前主流的布萊克-舒爾斯模型對(duì)深機(jī)轉(zhuǎn)債進(jìn)行價(jià)格估計(jì)，并使用蒙特卡洛方法進(jìn)行對(duì)比估價(jià)。結(jié)果表明，使用B-S模型對(duì)可轉(zhuǎn)債進(jìn)行定價(jià)存在高估現(xiàn)象，但其定價(jià)誤差遠(yuǎn)低于由蒙特卡洛法帶來(lái)的誤差。

關(guān)鍵詞：可轉(zhuǎn)債定價(jià)；Black-Scholes模型；純債券價(jià)值；期權(quán)價(jià)值；深機(jī)轉(zhuǎn)債

一、緒論

（一）研究背景及目的

可轉(zhuǎn)換公司債券，簡(jiǎn)稱“可轉(zhuǎn)債”，是一種與股權(quán)相聯(lián)的債券，具備股票和債券的雙重性質(zhì)，其持有人可以在規(guī)定的轉(zhuǎn)換期限內(nèi)，將債券按既定的轉(zhuǎn)換價(jià)格和轉(zhuǎn)換比率轉(zhuǎn)換為公司對(duì)應(yīng)的普通股，享受福利分配和資本增值。

我國(guó)第一支上市的可轉(zhuǎn)債是1992年發(fā)行的寶安轉(zhuǎn)債，但以轉(zhuǎn)股價(jià)過(guò)高而夭折。2001年，中國(guó)證監(jiān)會(huì)發(fā)布了《上市公司可轉(zhuǎn)換公司債券實(shí)施辦法》等文件，從政策上保證了可轉(zhuǎn)換公司債券的合法市場(chǎng)地位，標(biāo)志我國(guó)可轉(zhuǎn)換公司債券進(jìn)入規(guī)范發(fā)展階段。證監(jiān)會(huì)于2006年5月頒布了《上市公司證券發(fā)行管理辦法》，進(jìn)一步規(guī)范了可轉(zhuǎn)債發(fā)行的條款細(xì)則。在完善的政策指引下，可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)的規(guī)模不斷擴(kuò)大，截至2015年，我國(guó)巳累計(jì)發(fā)行可轉(zhuǎn)債已有100多只。

可轉(zhuǎn)債的最基本問(wèn)題是定價(jià)問(wèn)題，由于可轉(zhuǎn)債代表公司對(duì)自身未來(lái)業(yè)績(jī)的期許，因此定價(jià)對(duì)于公司而言十分重要。定價(jià)可以決定公司能否真正降低自身成本，正確的定價(jià)能夠吸引投資者對(duì)發(fā)行公司的興趣加大投資規(guī)模。我國(guó)可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)的飛速發(fā)展并未得到相應(yīng)的理論實(shí)證研究的同步支持，因此仍需要以我國(guó)可轉(zhuǎn)債市場(chǎng)的實(shí)際情況入手進(jìn)行定價(jià)研究。

（二）文獻(xiàn)綜述

早期可轉(zhuǎn)債定價(jià)的理論方法主要來(lái)自Black和Schole關(guān)于期權(quán)及公司債券定價(jià)的研究。1977年Ingersoll首次將Black-Scholes（簡(jiǎn)稱B-S）模型應(yīng)用到可轉(zhuǎn)債定價(jià)問(wèn)題中，并提出了基于公司價(jià)值的單因素模型，獲得定價(jià)解析式，但由于可轉(zhuǎn)債的條款過(guò)分復(fù)雜，導(dǎo)致解析式的難獲得。許多學(xué)者在考慮利率、股價(jià)、波動(dòng)率和等多個(gè)因素的基礎(chǔ)上，提出更為復(fù)雜的定價(jià)模型。Brennan將利率引入先前的定價(jià)模型中，形成公司價(jià)值和利率的雙因子定價(jià)模型。2008年，Paclokovalov則進(jìn)一步將股價(jià)、波動(dòng)率、利率和信用風(fēng)險(xiǎn)作為四大因素實(shí)現(xiàn)可轉(zhuǎn)債價(jià)格的估計(jì)。

中國(guó)學(xué)者對(duì)可轉(zhuǎn)債定價(jià)的研究始于21世紀(jì)初，一般是以國(guó)外研究方法為參照，進(jìn)而結(jié)合國(guó)內(nèi)實(shí)際情況來(lái)應(yīng)用。楊如彥等人選擇股票數(shù)據(jù)作為錄入數(shù)據(jù)，使用CIR利率期限模型建立了雙因素模型，結(jié)果發(fā)現(xiàn)利率對(duì)可轉(zhuǎn)債的價(jià)格影響甚小。劉毅和陳瑤（2011）在考慮可轉(zhuǎn)債的路徑依賴性后使用最小二乘的蒙特卡洛方法進(jìn)行定價(jià)，馮玥（2010）使用二叉樹對(duì)工商銀行的可轉(zhuǎn)債進(jìn)行定價(jià)。李茂盛（2012）使用B-S模型和參數(shù)模擬理論方法對(duì)可轉(zhuǎn)債進(jìn)行定價(jià)，發(fā)現(xiàn)理論價(jià)格與實(shí)際仍有一定偏差。龔其國(guó)通過(guò)蒙特卡洛方法發(fā)現(xiàn)其對(duì)可轉(zhuǎn)債的估算效果甚好。

二、定價(jià)模型

目前，還沒有一個(gè)統(tǒng)一的定價(jià)模型能夠完整地包含所有可能的條款假設(shè)。根據(jù)可轉(zhuǎn)債的特性，研究中主要針對(duì)可轉(zhuǎn)債的期權(quán)部分定價(jià)，下面介紹蒙特卡洛模擬法及B-S模型。

（一）蒙特卡洛模擬法

蒙特卡洛模擬在進(jìn)行期權(quán)估值時(shí)利用風(fēng)險(xiǎn)中性股指結(jié)論。通過(guò)模擬變量的很多途徑，得出風(fēng)險(xiǎn)中性世界的期望損益進(jìn)而使用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)。使用蒙特卡洛進(jìn)行模擬的步驟如下：（1）模擬股價(jià)s的一種隨機(jī)抽樣路徑；（2）計(jì)算該路徑下的衍生品損益；（3）重復(fù)前兩步得到多組關(guān)于衍生品損益的樣本；（4）計(jì)算樣本損益的平均值作為風(fēng)險(xiǎn)中性世界的期望損失估計(jì)值；（5）使用無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率作為貼現(xiàn)，得到衍生品的估計(jì)值。

該方法的優(yōu)勢(shì)在于不管損益依賴的s路徑如何改變，其只依賴于s的最終價(jià)值。當(dāng)股票的預(yù)期收益率和波動(dòng)率函數(shù)十分復(fù)雜時(shí)，蒙特卡洛的優(yōu)勢(shì)更加明顯。蒙特卡洛方法適用于歐式期權(quán)的定價(jià)。

（二）Black-Scholes模型

Black-Scholes模型于20世紀(jì)70年代初由Fischer Black、Myron Scholes和Robert Merton共同提出。該模型操作相對(duì)簡(jiǎn)單，稱為許多衍生品定價(jià)的重要參照模型。

以不支付紅利的歐式看漲期權(quán)為例。假設(shè)股票當(dāng)前價(jià)格為S，股票預(yù)期收益率為μ，股票價(jià)格波動(dòng)率為σ，則股票價(jià)格遵從幾何布朗運(yùn)動(dòng)。

若用f表示期權(quán)價(jià)值，則f必然是S和t的某一函數(shù)，因此可以推導(dǎo)出B-S-M微分方程如下：

在0時(shí)刻不支付紅利的股票歐式看漲的B-S定價(jià)公式分別如下：

c=SN（d1 ）-Ke-rTN（d2）

其中r表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，K表示執(zhí)行價(jià)格，N（d）表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)。d1和d2計(jì)算如下：

d1=ln（SK）+（r+σ22）TσTd2=d1-σT

其中σ表示股價(jià)波動(dòng)率，T是期權(quán)到期期限，用年表示。

可轉(zhuǎn)債中的期權(quán)部分實(shí)際上就是一種看漲期權(quán)，因此可以使用B-S定價(jià)公式對(duì)可轉(zhuǎn)換債券的期權(quán)部分定性定價(jià)。B-S公式所設(shè)計(jì)計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單，公式中所用參數(shù)大部分可直接在市場(chǎng)中獲得，而波動(dòng)率需要根據(jù)需求選擇歷史波動(dòng)率或隱性波動(dòng)率代入計(jì)算。該模型對(duì)于歐式期權(quán)定價(jià)尤其合適。

B-S模型屬于解析方法，蒙特卡洛方法屬于數(shù)值方法，蒙特卡洛方法可通過(guò)加大運(yùn)算次數(shù)來(lái)提高精準(zhǔn)度，但在運(yùn)算過(guò)程中工程量相對(duì)較大。B-S方法則作為唯一的解析法，解析解本身不會(huì)產(chǎn)生誤差，但是該方法對(duì)于美式期權(quán)的處理較為費(fèi)力，并且需要滿足一定的前提條件。

三、可轉(zhuǎn)換債券價(jià)值分析

由于B-S作為唯一的解析法，能夠得到套期保值參數(shù)和杠桿效應(yīng)的解析表達(dá)式，鑒于在我國(guó)的特殊情況，本文選擇B-S模型進(jìn)行深機(jī)轉(zhuǎn)債的實(shí)證研究。

可轉(zhuǎn)換債券相當(dāng)于一個(gè)內(nèi)嵌看漲期權(quán)的金融衍生產(chǎn)品，因此可將可轉(zhuǎn)換債券分解為純債券價(jià)值和期權(quán)價(jià)值兩個(gè)部分，可轉(zhuǎn)債的價(jià)值由這兩部分加總得來(lái)。

深機(jī)轉(zhuǎn)債的基本資料：1、代碼簡(jiǎn)稱：深機(jī)轉(zhuǎn)債；2、存續(xù)期間（年）：6；3、發(fā)行日期：2011-07-15；4、面額：100；5、初始轉(zhuǎn)股價(jià)：5.6600；6、票面利率：第一年為0.6%，第二年為0.8%，第三年為1.0%，第四年為1.3%，第五年為1.6%，第六年為1.9%。

以下小節(jié)將以深機(jī)轉(zhuǎn)債為例對(duì)其2014年12月1日進(jìn)行可轉(zhuǎn)債的價(jià)值計(jì)算。

（一）純債券價(jià)值

純債券價(jià)值相當(dāng)于投資于一般債券時(shí)可獲得的現(xiàn)金流的現(xiàn)值，計(jì)算公式如下：

P0=∑t=1nIt（1+r）t+Pt（1+r）t

其中It表示每年利息額度，P0為0時(shí)刻債券的現(xiàn)值，Pt表示債券的票面價(jià)值，r為貼現(xiàn)率。

深機(jī)轉(zhuǎn)債的票面利率采用逐年遞增的模式，因沒有六年期國(guó)債，因此采用2011年起期限與之相近的五年期國(guó)債作為貼現(xiàn)率（為6%），由于國(guó)債是單利，因此轉(zhuǎn)換為按年度復(fù)利的利率為5.26%。計(jì)算得出債券的純債券在發(fā)行（2011年）時(shí)的價(jià)值為79.37元。根據(jù)貼現(xiàn)率計(jì)算出在2014年12月份時(shí)的純債券價(jià)值為92.56元。

（二）期權(quán)價(jià)值

B-S模型是對(duì)期權(quán)的一種有效計(jì)算方式，根據(jù)公式需要對(duì)幾個(gè)參數(shù)進(jìn)行事前設(shè)定。（1）轉(zhuǎn)股價(jià)格K：深機(jī)轉(zhuǎn)債的初始轉(zhuǎn)股價(jià)為5.66元/股。該價(jià)格可作為期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格。（2）股價(jià)波動(dòng)率σ：股價(jià)波動(dòng)率σ是估價(jià)過(guò)程的重要參數(shù)。GARCH（廣義自回歸條件異方差）模型可以很好刻畫波動(dòng)率聚集性，從而對(duì)股票價(jià)格的波動(dòng)率產(chǎn)生很好的預(yù)測(cè)作用。

深機(jī)轉(zhuǎn)債對(duì)應(yīng)的股票是深圳機(jī)場(chǎng)，可使用深圳機(jī)場(chǎng)的股票收盤價(jià)數(shù)據(jù)進(jìn)行波動(dòng)率的計(jì)算。本文將選用2011年1月4日到2015年5月13日間的1056個(gè)收盤價(jià)數(shù)據(jù)作為樣本數(shù)據(jù)，使用EVIEWS軟件進(jìn)行股價(jià)波動(dòng)率的估算?？傻貌▌?dòng)率方差如下，

等式中參數(shù)均顯著通過(guò)檢驗(yàn)，通過(guò)GARCH模型所得深圳機(jī)場(chǎng)股票價(jià)格的波動(dòng)率為0.351936。

（3）無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r：在本文采用2014年的一年期定期存款利率作為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率3%，轉(zhuǎn)化為連續(xù)復(fù)利的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為2.96%。（4）剩余期限T：余期限使用年作為單位，本文以深機(jī)轉(zhuǎn)債2014年12月1的轉(zhuǎn)債價(jià)值為例，因此剩余期限為2.622263年。（5）轉(zhuǎn)股比例n：轉(zhuǎn)股比例為債券面值/轉(zhuǎn)股價(jià)格，則深機(jī)轉(zhuǎn)債的轉(zhuǎn)股比例n為100/5.6600=17.6678。即一份債券包括看漲期權(quán)17.6678份。

將參數(shù)帶入B-S定價(jià)模型中，得出深機(jī)轉(zhuǎn)債的單位期權(quán)價(jià)值為1.5794，一份債券對(duì)應(yīng)的期權(quán)為17.6678份，則單位可轉(zhuǎn)債的可轉(zhuǎn)期權(quán)價(jià)值為1.5794*17.6678=27.9046。

（三）可轉(zhuǎn)債理論價(jià)格

根據(jù)3.1和3.2部分計(jì)算所得，深機(jī)轉(zhuǎn)債在2014年12月1日的理論價(jià)格=純債券價(jià)格+期權(quán)價(jià)值=92.56+27.9046=120.46。當(dāng)日深機(jī)轉(zhuǎn)債的實(shí)際股價(jià)為117.25，兩者存在一定較小誤差。

使用蒙特卡洛方法對(duì)深機(jī)轉(zhuǎn)債進(jìn)行模擬定價(jià)，得出的可轉(zhuǎn)債價(jià)值：?jiǎn)挝黄跈?quán)為0.2，轉(zhuǎn)股比例為17.6678，期權(quán)價(jià)值為，可轉(zhuǎn)債價(jià)值為96.09，實(shí)際價(jià)值為117.25。

深機(jī)轉(zhuǎn)債使用B-S方法進(jìn)行期權(quán)部分價(jià)值計(jì)算，所得理論價(jià)值與實(shí)際價(jià)值之間的誤差為2.74%，使用蒙特卡洛方法進(jìn)行同等期權(quán)部分價(jià)值的估計(jì)，所得理論價(jià)值與實(shí)際價(jià)值之間誤差為-18.04%，遠(yuǎn)大于前一種方法所帶來(lái)誤差。

四、結(jié)論

根據(jù)上節(jié)的實(shí)證結(jié)果可得出如下結(jié)論：使用蒙特卡洛容易造成對(duì)期權(quán)價(jià)值的低估，從而導(dǎo)致理論價(jià)值相對(duì)于實(shí)際價(jià)值偏低，而是用B-S模型所估算的期權(quán)價(jià)值相對(duì)較高，因此導(dǎo)致其理論價(jià)值相對(duì)于實(shí)際價(jià)值偏高，從而造成債券價(jià)值的高估。不論是使用哪種方法均會(huì)存在一定的估值誤差，除了模型本身?xiàng)l件受限外，可能與我國(guó)市場(chǎng)的不完整有關(guān)。首先是我國(guó)的可轉(zhuǎn)債加入了諸如回售權(quán)和轉(zhuǎn)股價(jià)格調(diào)整等，這些會(huì)影響到定價(jià)的準(zhǔn)確性。其次，本文所用的是6年期債券，在估算純債券的價(jià)值時(shí)選擇的貼現(xiàn)率為5年期國(guó)債，不可避免會(huì)帶來(lái)定價(jià)的偏差。另外我國(guó)的資本市場(chǎng)以中小投資為主，存在很大的投機(jī)性，更容易產(chǎn)生波動(dòng)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 趙洋， 趙立臣，基于蒙特卡羅模擬的可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)研究[J]，系統(tǒng)工程學(xué)報(bào)， 2009，24（5）：621 - 625.

[2] 黃靖貴，楊善朝，馮霞，具有動(dòng)態(tài)信用風(fēng)險(xiǎn)的可轉(zhuǎn)債的定價(jià)研究[J]，數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理， 2008，27（6）：1108 - 1116.

[3] 唐文彬，張小勇， LSM可轉(zhuǎn)債定價(jià)模型及其應(yīng)用研究[J]，財(cái)經(jīng)理論與實(shí)踐，2008，

[4] 湯潔，B-S模型在可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)中的應(yīng)用研究[J]，時(shí)代金融，2015第2期

[5] 冒小棟，朱晨晨，我國(guó)可轉(zhuǎn)換債券的發(fā)展路徑即定價(jià)研究[J]，時(shí)代金融，2014年第4期

[6] 龔其國(guó)，陳涼，我國(guó)上市公司可轉(zhuǎn)債定價(jià)及實(shí)證研究[J]，現(xiàn)代管理科學(xué)，2014年第5期