具有大時(shí)滯的非線性定常大系統(tǒng)的無(wú)條件穩(wěn)定性

韓月喬， 高存臣

(中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 山東 青島 266100)

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具有大時(shí)滯的非線性定常大系統(tǒng)的無(wú)條件穩(wěn)定性

韓月喬， 高存臣

(中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 山東 青島 266100)

摘要：應(yīng)用Lyapunov函數(shù)分解法(即標(biāo)量和的Lyapunov函數(shù)法)，結(jié)合微分方程與微分差分方程的等價(jià)性的方法(即分解等價(jià)法)，研究了具有大時(shí)滯的非線性定常大系統(tǒng)的無(wú)條件穩(wěn)定性，得到了該系統(tǒng)為無(wú)條件穩(wěn)定的充分性判據(jù)。本文對(duì)時(shí)滯項(xiàng)的研究不同于以往的小時(shí)滯，找到了使含大時(shí)滯項(xiàng)的系統(tǒng)為無(wú)條件穩(wěn)定的途徑，從而為這類問題的研究給出了一種新方法。

關(guān)鍵詞：定常大系統(tǒng)； 大時(shí)滯； 非線性； 無(wú)條件穩(wěn)定性

HAN Yue-Qiao， GAO Cun-Chen. Unconditional stability of monlinear constant large scale systems with large time delay[J].Periodical of Ocean University of China, 2016, 46(3): 134-140.

在任何實(shí)際控制系統(tǒng)中，由于信號(hào)的傳遞、變量的測(cè)量以及系統(tǒng)設(shè)備所具有的一些物理特性等各種因素，時(shí)滯的影響往往是不可避免的，如多級(jí)火箭發(fā)射控制信號(hào)具有時(shí)滯、電感器的感應(yīng)具有時(shí)滯等。近年來(lái)，時(shí)滯系統(tǒng)的研究成為控制理論中的一個(gè)熱點(diǎn)問題，引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注[1-3]，特別是對(duì)于具有小時(shí)滯的非線性系統(tǒng)，已有了比較深入的研究[4-13]。其中，文獻(xiàn)[4]研究了時(shí)滯離散廣義大系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[5]研究了具有時(shí)滯的非線性無(wú)窮大系統(tǒng)的穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[7]研究了二階非線性時(shí)滯微分方程的穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[9]研究了變時(shí)滯線性系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[11]整合了分?jǐn)?shù)時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性測(cè)試。他們狀態(tài)當(dāng)中的時(shí)滯多為小時(shí)滯，然而，對(duì)具有大時(shí)滯的非線性大系統(tǒng)的研究并不多見。一般而言，由于對(duì)大時(shí)滯項(xiàng)中的狀態(tài)xi(t-τ)的處理比較棘手，從而給問題的討論帶來(lái)一定障礙，使得大時(shí)滯系統(tǒng)的研究處于初始階段。本文通過將小時(shí)滯[5-7]推廣到大時(shí)滯，應(yīng)用標(biāo)量和的Lyapunov函數(shù)法，結(jié)合分解等價(jià)法，研究了具有大時(shí)滯的非線性定常大系統(tǒng)，得到了系統(tǒng)時(shí)滯無(wú)關(guān)的無(wú)條件穩(wěn)定的充分性判據(jù)。

1預(yù)備知識(shí)

考慮具有大時(shí)滯的非線性定常大系統(tǒng)

(1)

其中，φi(t)∈C1([-τ,0],R)，cij,bij為實(shí)常數(shù),i,j=1,2,…,n；τ≡Const.≥0，令

為研究方便，本文作出如下假設(shè)：

(2)

其中η是與xi，yi無(wú)關(guān)的正常數(shù)。

系統(tǒng)(1)中不含時(shí)滯的線性部分為

(3)

將(3)按主對(duì)角線分成l組相互無(wú)關(guān)的微分方程組

(4)

(5)

(r=1,2,…,l;n1+n2+…+nl=n)，

記

(6)

E為(3)的系數(shù)矩陣中除掉(4)的系數(shù)矩陣J后，矩陣元素的絕對(duì)值的最大值，即

E=

(7)

系統(tǒng)(4)中第r(r=1,2,…,l)組的微分方程組為

(8)

微分方程組(8)的特征方程為

(9)

I∈Rnr×nr為單位矩陣。

對(duì)r=1,2,…,l，代數(shù)方程(9)的Routh-Hurwitz主子行列式為

(10)

設(shè)系統(tǒng)(4)的特征方程(9)的特征根均具負(fù)實(shí)部，由Routh-Hurwitz定理知

2主要結(jié)果

定理1若系統(tǒng)(4)的零解是漸近穩(wěn)定的，并設(shè)系統(tǒng)(1)的非線性項(xiàng)滿足假設(shè)條件(A1)，則存在常數(shù)▽1>0,▽2>0，使當(dāng)

(11)

時(shí)，對(duì)任何τ≥0，系統(tǒng)(1)的零解也是漸近穩(wěn)定的[11-12]。其中

(12)

(13)

(14)

證明作l個(gè)Lyapunov函數(shù)的和式[3]

V=Vn1+…+Vnr+…+Vnl。

(15)

對(duì)(15)沿著系統(tǒng)(1)的積分曲線對(duì)t求導(dǎo)數(shù)，有

xn(t),x1(t-τ),…,xn(t-τ))]+2×

(16)

其中

(17)

x1(t-τ),…,xn(t-τ))|+2×

xn(t-τ)),…,fn(x1(t),…,xn(t),x1(t-τ),…,xn(t-τ)]|。

(18)

應(yīng)用文獻(xiàn)[3]第3章引理4,得到估計(jì)式

(19)

σ=n1+…+nr-1+1,…,n1+…+nr-1;j=n1+…+nr-1+1,…,n1+…+nr(r=1,2,…,l)將(19)式代入(17)式，由文獻(xiàn)[3]第3章引理4，得

(20)

將(12)~(14)式代入(20)式中，得到

(21)

因?yàn)閚=n1+…+nr+…+nl，所以少于l個(gè)n1,n2,…,nl的任意線性組合皆小于n。即

(22)

同理，對(duì)任意的r(r=2,3,…，l-1),有

(23)

(r=2,3,…，l-1)

(24)

將(22)~(24)式代入(21)式中，得到

(25)

由文獻(xiàn)[3]第3章引理5，得到

(26)

將(26)式代入(25)式，得到

V*≤

(27)

應(yīng)用文獻(xiàn)[3]第3章引理4以及假設(shè)A1)，得到

(28)

σ=n1+…+nr-1+1,…,n1+…+nr-1;j=n1+…+nr-1+1,…,n1+…+nr(r=1,2,…,l)將不等式(28)代入(18)式中，得到

V**≤

(29)

運(yùn)用假設(shè)A1)，將(12)-(14)式代入(29)式中，得

V**≤

(30)

運(yùn)用文獻(xiàn)[3]第3章引理6于(30)式，得到

(31)

綜上，得到

(32)

推論1對(duì)于具有大時(shí)滯的線性定常大系統(tǒng)

(33)

3數(shù)值例子

考慮2維具有大時(shí)滯的非線性定常系統(tǒng)

(34)

(35)

此時(shí)，子系統(tǒng)(35)的零解是漸近穩(wěn)定的，由于

(36)

所以，由定理1知，系統(tǒng)(34)的零解是無(wú)條件穩(wěn)定的。

系統(tǒng)(34)的狀態(tài)曲線圖形如圖1所示。從圖1可以看出，狀態(tài)曲線x1(t)，x2(t)隨著時(shí)間t的增加將會(huì)趨于0，即系統(tǒng)(34)是無(wú)條件穩(wěn)定的。而且系統(tǒng)的狀態(tài)曲線在0.5S內(nèi)就接近0了，所以，該系統(tǒng)在本文定理的條件下，具有快速穩(wěn)定的性能。

圖1　系統(tǒng)(34)的狀態(tài)曲線示意圖

4結(jié)語(yǔ)

在本文，應(yīng)用標(biāo)量和的Lyapunov函數(shù)法，結(jié)合微分方程與微分差分方程的分解等價(jià)性方法，研究了具有大時(shí)滯的非線性定常大系統(tǒng)的無(wú)條件穩(wěn)定性，得到了一個(gè)系統(tǒng)為無(wú)條件穩(wěn)定的充分性判據(jù)。給出了具體的數(shù)值例子說(shuō)明了研究結(jié)果的可行性和有效性。

順便指出：利用本文的方法可以給出具有大時(shí)滯的非線性時(shí)變大系統(tǒng)為無(wú)條件穩(wěn)定的判據(jù)，限于篇幅，將另文給出。

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責(zé)任編輯陳呈超

Unconditional Stability of Nonlinear Constant Large Scale Systems with Large Time Delay

HAN Yue-Qiao， GAO Cun-Chen

(School of Mathematical Sciences, Ocean University of China, Qingdao 266100, China)

Abstract:In this paper, nonlinear constant large scale systems with large time delay are under consideration. Generally speaking, issues of large time delay systems have been rarely investigated yet because it is difficult to deal with the state term, which brings some difficulties to the dissussion of the problem. Motivated by the above discussion, the purpose in this work lies in overcoming the difficulties. By using the Lyapunov function decomposition method (that is the method of Lyapunov function of the scalar sum) and the equivalence method of differential equations and differential difference equations (that is decomposition equivalent method), a sufficient condition of unconditional stability is obtained. In addition, different from the previous research which takes attentions on the small time delay, this paper aims to investigate systems with large delay and find a way to keep the systems unconditionally stable, which proposes a new method for study on such problems. At last, a numerical example is presented to illustrate the effectiveness of the proposed approach. It is worth pointing out that the unconditional stability criterion of this paper would be extended to other systems such as nonlinear time varying systems with large time delay in the furture.

Key words:constant large scale systems；large time delay；nonlinearity；unconditional stability

DOI：10.16441/j.cnki.hdxb.20130343

中圖法分類號(hào)：O211.6

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1672-5174(2016)03-134-07

作者簡(jiǎn)介：韓月喬(1991-)，女，博士生。E-mail:415778808@qq.com

收稿日期：2013-09-04；

修訂日期：2015-12-10

*基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(60974032)資助

引用格式：韓月喬， 高存臣. 具有大時(shí)滯的非線性定常大系統(tǒng)的無(wú)條件穩(wěn)定性[J]. 中國(guó)海洋大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2016, 46(3): 134-140.

Supported by National Natural Science Foundation of China(60974032)