高中數(shù)學(xué)不等式高考試題分析與教學(xué)策略研究

周方紅

摘 要：在數(shù)學(xué)學(xué)科中，不等式是重要的基礎(chǔ)理論的組成部分，不僅如此，不等式也與人們的日常生活息息相關(guān)。在日常生活中處處都有不等式關(guān)系的模型，而在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)和考試中，不等式也擁有了越來(lái)越加重的分量。對(duì)高考試題中的不等式進(jìn)行了分析，并且提出了一些關(guān)于不等式的教學(xué)策略。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；不等式；高考試題；教學(xué)策略

我國(guó)新課程改革的目標(biāo)就是將學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主體，全面發(fā)揮學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，并且尊重學(xué)生的個(gè)人能力以及學(xué)生的興趣愛(ài)好，制訂科學(xué)的教學(xué)方法來(lái)幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)成績(jī)。在高中數(shù)學(xué)之中也是如此，尤其是不等式教學(xué)作為高中數(shù)學(xué)的重要教學(xué)部分，更應(yīng)該制訂科學(xué)的教學(xué)方式讓學(xué)生能夠自主地進(jìn)行學(xué)習(xí)。

一、不等式的重要意義

不等式在數(shù)學(xué)意義中，分為嚴(yán)格不等式和非嚴(yán)格不等式，嚴(yán)格不等式指的是純大于或者純小于的不等式，而非嚴(yán)格不等式則指的是大于等于或者小于等于的不等式。在高中的數(shù)學(xué)課程之中，不等式擁有著重要的地位，在函數(shù)、三角函數(shù)、解析幾何、平面向量、立體集合、數(shù)列等數(shù)學(xué)領(lǐng)域之中的問(wèn)題，都需要不同的不等式來(lái)解決，而這些問(wèn)題也是能夠深入研究不等式的前提。不等式在高中的數(shù)學(xué)教學(xué)之中，擁有綜合性、廣泛性、普遍性的特點(diǎn)，不僅僅是高中數(shù)學(xué)的理論組成部分，也是對(duì)不等式關(guān)系進(jìn)行研究的重要基礎(chǔ)。此外，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中對(duì)不等式進(jìn)行學(xué)習(xí)，不僅能夠讓學(xué)生了解到不等式的相關(guān)知識(shí)，還能夠讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，鍛煉自己的數(shù)學(xué)思考以及綜合思維能力，因?yàn)椴坏仁浇虒W(xué)涉及很多方面，包括分類(lèi)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程的思想等。

二、高考試題中的不等式分析

在我國(guó)，自高考恢復(fù)以來(lái)，歷年的高考都受到社會(huì)各界的矚目，高考試題成為學(xué)生和教師共同研究的重點(diǎn)。而高考的數(shù)學(xué)試題中，具體涉及不等式的考點(diǎn)和類(lèi)型的主要有三種，首先是求含有參數(shù)的不等式的最值或者是該不等式的取值范圍，這一內(nèi)容在數(shù)學(xué)試題中，近年來(lái)已經(jīng)逐漸成了熱點(diǎn)的問(wèn)題，關(guān)于這一部分的不等式試題，涉及不等式的知識(shí)比較廣泛，不僅涉及直線與圓、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等方面的知識(shí)，并且這種類(lèi)型的不等式，還能夠滲透到數(shù)列以及平面向量和圓錐曲線等問(wèn)題的求解之中，關(guān)于這類(lèi)型不等式的問(wèn)題在高考之中，主要是不等式的恒成立和成立問(wèn)題。第二種不等式的考試方向是二元一次不等式組的求解，以及與其相關(guān)的線性規(guī)劃問(wèn)題的求解，這部分試題應(yīng)用的高中數(shù)學(xué)知識(shí)主要包括二元一次不等式的象限區(qū)域和二元一次不等式對(duì)直線方程問(wèn)題的求解等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。第三種不等式的考試方向，是通過(guò)不等式的各種形式應(yīng)用，來(lái)解決現(xiàn)實(shí)之中的應(yīng)用問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題所應(yīng)用的不等式類(lèi)型比較開(kāi)放，需要學(xué)生擁有比較跳躍和開(kāi)放性的思維，這類(lèi)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題最常見(jiàn)的就是，解決如何使利益最大化或者使生產(chǎn)效率提高，以及資源和能源節(jié)約等方面的問(wèn)題。下面是一道2010年理科數(shù)學(xué)卷不等式問(wèn)題的分析，例：設(shè)函數(shù)f（x）=x3-8（x≥0），則{x| f（x-2）>0}=（ ），

A.{x|x<-2或x>4}，B.{x|x<0或x>4}，C.{x|x<0或x>6}，D.{x|x<-2或x>2}。這道題將不等式與函數(shù)相結(jié)合進(jìn)行考查，而對(duì)這道題主要是要考查函數(shù)和不等式之間的關(guān)系，所以f（x）是函數(shù)，則對(duì)于函數(shù)來(lái)說(shuō)，只要將f（x）的解，求出來(lái)即可。這道題雖然不是很難，但是能夠考查學(xué)生對(duì)不等式和函數(shù)結(jié)合使用的能力，以及學(xué)生的發(fā)散思維能力和學(xué)習(xí)態(tài)度。

三、高中不等式的教學(xué)策略

隨著我國(guó)新課程改革的不斷實(shí)施和深化發(fā)展，我國(guó)的教育教學(xué)的本質(zhì)也出現(xiàn)了諸多本質(zhì)上的變化，教學(xué)的模式開(kāi)始創(chuàng)新，教師們開(kāi)始思考該如何將知識(shí)更加有效地傳授給自己的學(xué)生，并且思考該如何更有效地對(duì)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力進(jìn)行培養(yǎng)，讓學(xué)生能夠掌握解題的思路。在高中的不等式教學(xué)中，教師應(yīng)該將教學(xué)的重點(diǎn)放在對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，空間想象能力，以及實(shí)踐能力等綜合能力的培養(yǎng)上，讓學(xué)生能夠通過(guò)不等式的學(xué)習(xí)掌握更多的技能。

首先，教師可以從學(xué)生的生活實(shí)際出發(fā)，讓學(xué)生提高對(duì)不等式問(wèn)題的解題積極性。不等式本身與現(xiàn)實(shí)生活就有著密切的關(guān)系，高中的學(xué)生不僅在初中學(xué)習(xí)中以及在現(xiàn)實(shí)中，也都接觸了相關(guān)的不等式知識(shí)和常識(shí)。因此，高中的數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行不等式教學(xué)時(shí)，可以從學(xué)生的現(xiàn)有知識(shí)出發(fā)，然后聯(lián)系生活實(shí)際制訂一套引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)的教學(xué)方案，找到初中和高中不等式知識(shí)連接點(diǎn)以及與現(xiàn)實(shí)中不等式知識(shí)的連接點(diǎn)。教師可以提前設(shè)定好相應(yīng)的教學(xué)情境，將相關(guān)的知識(shí)按照循序漸進(jìn)的方式，隨著情境的推演來(lái)演示給學(xué)生，并且將抽象的知識(shí)進(jìn)行具體化的描述，讓學(xué)生便于理解。在日常生活之中，高矮、大小、長(zhǎng)短、輕重等一系列的詞語(yǔ)，都能夠用來(lái)描述不等的關(guān)系，例如，高速公路限速是120km/h，那么司機(jī)的形式速度就應(yīng)該不超過(guò)120km/h，用不等式來(lái)表示就是v≤120km/h。教師可以多舉一些例子，讓學(xué)生將不等式的抽象內(nèi)容具體化，并鼓勵(lì)學(xué)生舉一反三，提出更多不等式的現(xiàn)實(shí)例子，這樣就能夠充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)不等式的興趣。

其次，在不等式問(wèn)題的解題過(guò)程中，需要學(xué)生擁有綜合的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，學(xué)生只有掌握了綜合運(yùn)算能力，才能夠?qū)Σ坏仁降膯?wèn)題擁有創(chuàng)新性和突破性的解題思路，所以教師在教學(xué)過(guò)程之中，不應(yīng)該將不等式問(wèn)題單獨(dú)進(jìn)行教學(xué)，而是應(yīng)該將不等式問(wèn)題與函數(shù)、方程、三角函數(shù)、解析幾何等其他數(shù)學(xué)知識(shí)相聯(lián)系，進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生培養(yǎng)自己的綜合數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。此外教師還要注重對(duì)題目的論證過(guò)程的傳授，教師在教學(xué)過(guò)程之中，要采用科學(xué)的方法，讓不等式知識(shí)中蘊(yùn)含的一些抽象和難以理解的問(wèn)題被學(xué)生所接受，在解題論證的過(guò)程之中培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力。例如，某工廠要修建一個(gè)長(zhǎng)方形蓄水池，水池的容積為4800m3，深度修建為3m，假設(shè)1m2池壁的修建價(jià)格是120元，池底1m2150元，那么如何設(shè)計(jì)這個(gè)水池才能讓造價(jià)最低，最低造價(jià)為多少？解決這個(gè)題的時(shí)候，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生采用方程解法，假設(shè)水池的某一邊邊長(zhǎng)為x，那么另一邊的邊長(zhǎng)就是總體積除以深度再除以x，等于1600/x，設(shè)總造價(jià)為y，所以y=1600×150+3x×120+4800/x×120=240000+720（x+1600/x）要求y的最小值就是對(duì)（x+1600/x）求最小值，則是求（x2+1600）/x的最小值，所以當(dāng)x=1600/x的時(shí)候值最小，所以x應(yīng)該為40，最低造價(jià)則為297600。通過(guò)這種引導(dǎo)論證的方式，讓學(xué)生學(xué)會(huì)真正的抽象思維和掌握不等式的知識(shí)。

總而言之，在高中數(shù)學(xué)中，不等式的教學(xué)是非常重要的一個(gè)教學(xué)領(lǐng)域，在高考試題之中，不等式也是考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，所以教師應(yīng)該通過(guò)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的綜合運(yùn)算和抽象思維能力，來(lái)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)不等式知識(shí)的學(xué)習(xí)，從而更加適應(yīng)今后的考試和學(xué)習(xí)。

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編輯 曾彥慧