淺析逆向思維在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

吳香娥

摘 要：逆向思維是一種在數(shù)學(xué)教學(xué)及學(xué)習(xí)過(guò)程中體現(xiàn)出來(lái)的創(chuàng)新能力，是在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中關(guān)于創(chuàng)造性思維十分重要的組成部分。在解數(shù)學(xué)題時(shí)，有些題目如果從正面入手很難找到思路，不妨變換角度，運(yùn)用逆向思維尋找解題突破口。逆向思維也是數(shù)學(xué)高考思維能力考查的一個(gè)要點(diǎn)，從幾個(gè)方面淺談逆向思維在解題中的體現(xiàn)。

關(guān)鍵詞：逆向思維；集合；命題

對(duì)于數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科而言，數(shù)學(xué)思維是非常重要的一種能力。當(dāng)學(xué)生遇到數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，就會(huì)以相應(yīng)的數(shù)學(xué)思維方式進(jìn)行解決。而數(shù)學(xué)思維也根據(jù)其思維的方式分為正向思維與逆向思維，通常來(lái)說(shuō)，學(xué)生都以一種正向思維的模式解決問(wèn)題，而在教育事業(yè)不斷發(fā)展的今天，運(yùn)用逆向思維解決問(wèn)題，在高中數(shù)學(xué)課堂中也有了其全新的價(jià)值。

任何事物都有正反兩個(gè)方面，也有許多問(wèn)題正面入手困難重重，若改由反面入手卻常常能出奇制勝。逆向思維在許多情況下能夠幫助我們克服正常思維中出現(xiàn)的困難，拓展思路，開(kāi)拓認(rèn)識(shí)的新領(lǐng)域。正難則反易，數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決也是這樣。下面從幾個(gè)方面談?wù)勎覍?duì)正難則反思想的體會(huì)。

一、逆向思維在集合中為補(bǔ)集思想

當(dāng)題目直接求解較繁、較復(fù)雜甚至不能求解時(shí)，通過(guò)先求得問(wèn)題的反面進(jìn)而求其補(bǔ)集，以達(dá)到解決問(wèn)題之目的。

例1.三個(gè)方程x2+4px-4p+3=0，x2+（p-1）x+p2=0，x2+2px-2p=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，試求p的范圍。

分析：本題從正面入手應(yīng)分類(lèi)求解，繁不堪言，若從反面“三個(gè)方程均無(wú)實(shí)數(shù)根”思考，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)除去反面求得的解即為m的取值范圍。

解：若三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)根，則

16p2-4（-4p+3）<0（p-1）2-4p2<04p2+8p<0解得-■

∴三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根，p的取值范圍是p≤-■或p≥-1。

二、逆向思維在命題中為逆否命題

邏輯學(xué)認(rèn)為原命題與它的逆否命題是等價(jià)的，也就是原命題真，則它的逆否命題也真。

在一些命題的真假性或條件與結(jié)論的充分必要性的判斷中，正面判斷比較難或者不容易理解，那么不妨跳出思維框架，轉(zhuǎn)化為考慮逆否命題的真假性或者利用逆否命題判斷充分必要性。

例2.（xy-2）2+（y-2）2≠0的充要條件是 。

分析：從正面入手，xy-2與y-2中至少有一個(gè)不等于0，這對(duì)很多學(xué)生而言都有一定的難度，但若從反面來(lái)看，（xy-2）2+（y-2）2=0的充要條件是：xy=2且y=2，能得到x=1且y=2。那么利用逆否命題就能得到（xy-2）2+（y-2）2≠0的充要條件是x≠1或y≠2。

從逆否命題來(lái)處理確有茅塞頓開(kāi)、恍然大悟的感覺(jué)。

三、逆向思維在證明中為反證法

反證法是一種間接對(duì)問(wèn)題證明的方法，其解題思路就是：當(dāng)問(wèn)題的反面被否定之后，那么其正面就一定是正確的。具體來(lái)講，反證法就是從否定命題的結(jié)論入手，并把對(duì)命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件，進(jìn)行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛盾，則假設(shè)不成立，所以肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明。

例3.已知：一個(gè)整數(shù)的平方能被2整除。求證：這個(gè)數(shù)是偶數(shù)。

證明：設(shè)整數(shù)a的平方能被2整除，假設(shè)a不是偶數(shù)。

則a是奇數(shù)，不妨設(shè)a=2k+1（k是整數(shù)）

∴a2=（2k+1）2=4k2+4k+1=4k（k+1）+1

∴a2是奇數(shù)，與已知矛盾。

∴假設(shè)不成立，所以a是偶數(shù)。

四、逆向思維在排列組合、概率中為間接法

有些排列組合問(wèn)題，根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征，需要變換觀察的視角，改變思考的路徑，采用“倒過(guò)來(lái)想”“正難則反”的逆向思維策略，以此來(lái)達(dá)到順暢解題的目的。

例4.大街上有編號(hào)為1，2，3，4…10，11，12的十二盞燈，若關(guān)掉其中三盞燈，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，那么不同的關(guān)燈方式有（ ）種。

分析：本題若從正面探究，較為復(fù)雜，若調(diào)整解題角度，變?yōu)?個(gè)亮燈中間8個(gè)空隙中插入3個(gè)關(guān)掉的燈，易得關(guān)燈方式為：C38=56種。

例5.袋中有12個(gè)不同的紅球和18個(gè)不同的白球，規(guī)定取出一個(gè)紅球得2分，取出一個(gè)白球得3分，如果從袋中取出若干個(gè)球得70分。試求這類(lèi)取法的不同種數(shù)。

分析：若從正面考慮：取出若干個(gè)紅球或白球使其積分之和為70分，太復(fù)雜。于是從反面入手，假設(shè)將球全部取出的總分?jǐn)?shù)是2×12+3×18=78分，比70分多8分，而8分的產(chǎn)生只有兩種情況：一是剩下4個(gè)紅球，二是剩下1個(gè)紅球和2個(gè)白球。根據(jù)取法等于剩法的原理，故這類(lèi)取法應(yīng)為C412+C112C218=2331種。

在此類(lèi)問(wèn)題中如果善于運(yùn)用正難則反的思想，可以使問(wèn)題的解決事半功倍，而且減少了計(jì)算環(huán)節(jié)，也能減少由計(jì)算帶來(lái)的不必要的錯(cuò)誤。

通過(guò)以上分析，我們可以看出，逆向思維在高中數(shù)學(xué)解題中起著重要作用。對(duì)有些數(shù)學(xué)問(wèn)題如果從正面入手求解繁瑣、難度較大，不妨實(shí)行“正難則反”策略，轉(zhuǎn)化為考慮問(wèn)題的相反方面，往往能絕處逢生、開(kāi)拓解題思路、簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程。通過(guò)對(duì)逆向思維進(jìn)行恰當(dāng)應(yīng)用，能夠使很多以正常思維方式難以解決的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。同時(shí)，逆向思維作為正向思維的補(bǔ)充，需要在教學(xué)中使學(xué)生品嘗到應(yīng)用正難則反思想的甜頭，就會(huì)進(jìn)一步激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，以達(dá)到拓展思維，增強(qiáng)解題技能，培養(yǎng)思維的靈活性和創(chuàng)造性之目的。

參考文獻(xiàn)：

陶鵬.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中逆向思維的培養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2010（23）.

？誗編輯 李建軍