分段函數(shù)教學(xué)淺議

王高波

摘要：分段函數(shù)是高考數(shù)學(xué)的熱門題型之一，也是高考重要的失分點(diǎn).但當(dāng)前教材中對于分段函數(shù)并未給予系統(tǒng)的介紹和研究，導(dǎo)致學(xué)生對這部分函數(shù)知識的認(rèn)識普遍較為膚淺，嚴(yán)重影響了高考數(shù)學(xué)成績的發(fā)揮.鑒于此，本文就分段函數(shù)教學(xué)進(jìn)行深入分析和探討.

關(guān)鍵詞：分段函數(shù) 數(shù)學(xué)教學(xué) 數(shù)學(xué)思想 單調(diào)性

分段函數(shù)是函數(shù)的重要組成部分.在學(xué)習(xí)函數(shù)的“極限”、“導(dǎo)數(shù)”等內(nèi)容時(shí)，均會(huì)用到分段函數(shù)的知識.但由于分段函數(shù)具有獨(dú)特的性質(zhì)及特點(diǎn)，學(xué)習(xí)時(shí)普遍存在較大的理解難度，教學(xué)中如果處理不當(dāng)，極易造成學(xué)生對函數(shù)概念的混淆，甚至影響后續(xù)函數(shù)知識的學(xué)習(xí).因此，教師加強(qiáng)對分段函數(shù)的教學(xué)關(guān)注度，積極制定有效的分段函數(shù)教學(xué)策略是很有必要的.

一、直觀切入，引入分段函數(shù)概念

在講解分段函數(shù)時(shí)，可以采用“四步法”引入教學(xué)內(nèi)容.首先，觀察分段函數(shù)的幾何圖形，讓學(xué)生對分段函數(shù)有一個(gè)直觀認(rèn)識.其次，觀察分段函數(shù)的解析表達(dá)式，如y=x x>00 x=0-x x<0，讓學(xué)生了解分段函數(shù)的基本形式.再次，根據(jù)上述觀察結(jié)果，對學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)引導(dǎo).比如，分段函數(shù)的圖象都是一段一段的，部分圖象的段與段之間還存在跳躍或間斷；分段函數(shù)解析式至少有兩個(gè)表達(dá)式，并且分別要標(biāo)明自變量的取值范圍.最后，對概念進(jìn)行歸納總結(jié)，得出分段函數(shù)的準(zhǔn)確定義：在定義域內(nèi)不同取值范圍內(nèi)用不同的數(shù)學(xué)解析表達(dá)式來表示的函數(shù).

二、聯(lián)系生活實(shí)際，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

分段函數(shù)在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用.因此，教師可以采用課內(nèi)外相結(jié)合的方式，讓學(xué)生利用課外時(shí)間，借助網(wǎng)絡(luò)、課外書等渠道，搜集有關(guān)分段函數(shù)的生活化問題，讓學(xué)生親自參與到數(shù)學(xué)過程中，在激發(fā)學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決生活實(shí)際問題的能力.例如，如何表示階梯式電價(jià)，便是分段函數(shù)在生活中的一個(gè)具體應(yīng)用.以湖南省為例，當(dāng)每月電量低于210度時(shí)，按每月0.5469元收費(fèi)；當(dāng)每月電量在210～400度之間時(shí)，按每度0.5969元收費(fèi)；當(dāng)每月電量高于400度時(shí)，按每度0.8469元收費(fèi).教師可以讓學(xué)生把電費(fèi)的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)寫成分段函數(shù)的形式，然后粗略計(jì)算自己家每個(gè)月的電費(fèi)是多少，從而激發(fā)學(xué)生的興趣，提高學(xué)生的課堂參與度.此外，出租車的階段計(jì)費(fèi)方式、銀行的分段計(jì)息方法，都是分段函數(shù)在生活中的典型應(yīng)用，可以為教師教學(xué)提供“鮮活”的素材.

三、深入挖掘，掌握數(shù)學(xué)思想方法

分段函數(shù)，既能用圖象法表示，又能用解析法表示.在解決實(shí)際問題時(shí)，數(shù)形結(jié)合思想是非常有效的思路.在分段函數(shù)的教學(xué)中，教師應(yīng)有意識地引導(dǎo)學(xué)生掌握、使用數(shù)形結(jié)合思想，增強(qiáng)學(xué)生的解題能力.首先是“由數(shù)想形”.分析分段函數(shù)的結(jié)構(gòu)，畫出其對應(yīng)的幾何圖形，再根據(jù)幾何圖形的規(guī)律、特征解決分段函數(shù)問題.這種做法，能夠把抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)橹庇^的幾何圖形，能夠更加清晰地揭示其內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)還能減少運(yùn)算量.其次是“見形思數(shù)”.從分段函數(shù)的圖形表現(xiàn)來構(gòu)造與其對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而化難為易，找到更簡單的解題方法.

四、問題引領(lǐng)思考，加深學(xué)生的認(rèn)識

問題1：分段函數(shù)是不是多個(gè)函數(shù)？在其定義域內(nèi)，分段函數(shù)并不是多個(gè)函數(shù)，而是一個(gè)函數(shù)，其圖象只有一個(gè).分段函數(shù)的定義域是各個(gè)子定義域的并集，在不同的區(qū)間內(nèi)采用不同的解析式表示，分段函數(shù)的值域是隔斷函數(shù)解析式值域的并集.

問題2：分段函數(shù)包括哪些基本類型？分段函數(shù)主要包括兩種類型，一種是分段點(diǎn)兩邊的函數(shù)解析式相同，但分段點(diǎn)的函數(shù)值有單獨(dú)定義；二是分段點(diǎn)兩邊的函數(shù)解析式不同.

問題3：分段函數(shù)的分段點(diǎn)可有多少個(gè)？分段函數(shù)的分段點(diǎn)，可是有限個(gè)的，也可是無限個(gè)的.

問題4：怎樣判斷分段函數(shù)的單調(diào)性？分段函數(shù)單調(diào)性問題的解答，如果能夠借助函數(shù)圖象，往往能夠快速解答出分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，或分段函數(shù)的單調(diào)性.同時(shí)，分段函數(shù)單調(diào)性問題的討論，必須也對自變量的取值進(jìn)行討論.

總之，分段函數(shù)的學(xué)習(xí)是函數(shù)中的一個(gè)重難點(diǎn)，也是考核的重點(diǎn).在教學(xué)過程中，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生掌握各種解題辦法，尋找最佳解題思路，熟練應(yīng)用數(shù)學(xué)思想.同時(shí)，分段函數(shù)的教學(xué)，不但要傳授知識，還要引導(dǎo)學(xué)生積極參與實(shí)踐運(yùn)用，強(qiáng)化學(xué)生的科學(xué)探究意識，培養(yǎng)并提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

許雁琴.分段函數(shù)的積分運(yùn)算[J].高等函授學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2012（05）.