充液貯箱液固耦合振動(dòng)模態(tài)與阻尼比研究

沈　驥， 張美艷， 唐國(guó)安

(復(fù)旦大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)系，上海　200433)

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充液貯箱液固耦合振動(dòng)模態(tài)與阻尼比研究

沈驥， 張美艷， 唐國(guó)安

(復(fù)旦大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)系，上海200433)

摘要：對(duì)于液體運(yùn)載火箭縱向振動(dòng)的穩(wěn)定性分析，在建立貯箱內(nèi)液體的振動(dòng)模型時(shí)，不僅需要考慮結(jié)構(gòu)的彈性特性，還需要考慮液體晃動(dòng)時(shí)的阻尼特性。由于模態(tài)阻尼比與一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)阻尼力做功、平均機(jī)械能及模態(tài)固有頻率相關(guān)。因此可以先通過結(jié)構(gòu)與液體的耦合振動(dòng)分析確定其模態(tài)，進(jìn)而分別計(jì)算液體與結(jié)構(gòu)接觸面、自由面以及液體內(nèi)部阻尼力做功，同時(shí)計(jì)算平均機(jī)械能，從而得到模態(tài)阻尼比。在計(jì)算模態(tài)阻尼比時(shí)，對(duì)耦合振動(dòng)的模態(tài)分析、液體內(nèi)部流場(chǎng)計(jì)算均采用等效比擬的方法，為充分利用通用程序計(jì)算創(chuàng)造了條件。此方法不僅能夠提高效率，同時(shí)也便于工程上的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：液固耦合振動(dòng)；充液貯箱；模態(tài)；阻尼比

充液貯箱在許多工程領(lǐng)域都有所利用，例如航天、石化、船舶、水利水電等領(lǐng)域。特別在航天領(lǐng)域，隨著液體火箭任務(wù)目的、航程、性能和材料的發(fā)展，其貯液箱內(nèi)液體所占比重越來越大，液體和結(jié)構(gòu)耦合作用對(duì)箭體的影響越發(fā)明顯，因此對(duì)耦合作用的研究也愈發(fā)重要。在進(jìn)行液固耦合問題的動(dòng)力學(xué)分析時(shí)，以往學(xué)者關(guān)注于模態(tài)頻率和振型的分析。但是在分析穩(wěn)定性與響應(yīng)時(shí)需要對(duì)耦合阻尼進(jìn)行更深入的研究[1]。

在流體力學(xué)中，因?yàn)镹-S方程的非線性性具有一定的復(fù)雜度。通常通過簡(jiǎn)化流場(chǎng)區(qū)域、給定邊界條件和一些近似假設(shè)而獲得近似結(jié)果。在模態(tài)分析中，F(xiàn)ox等[2]討論了不同形狀的剛性二維貯箱問題，并對(duì)求解方法進(jìn)行了歸類。朱琳等[3]建立了基于有限元方法的液固耦合模態(tài)分析方法，并對(duì)三維圓柱形貯箱建模。朱昶帆等[4]建立了用通用軟件實(shí)現(xiàn)液固耦合模態(tài)分析的方法。而阻尼分析中，Case等[5]計(jì)算了不可壓縮流體的表面波阻尼。Henderson等[6]采用邊界層假設(shè)獲得三維圓柱形剛性貯箱的阻尼比。Miles等[7]在Martel等[8]的基礎(chǔ)上用內(nèi)部耗散對(duì)阻尼比進(jìn)行修正并獲得更符合實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，王為等[9-10]引入自由面潔凈系數(shù)并與幾種液體的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比較。夏恒新等[11]計(jì)算了帶半球形底的剛體圓柱并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比。

本文在以上方法的基礎(chǔ)上，對(duì)三維圓柱形貯箱液固耦合問題進(jìn)行分析。通過小幅晃動(dòng)和理想流體假設(shè)，用標(biāo)準(zhǔn)的有限元方法獲得非對(duì)稱形式液固耦合方程組。將此方程組經(jīng)過自由面縮聚和主坐標(biāo)變換后獲得對(duì)稱形式高度降階的主坐標(biāo)下的液固耦合方程組。將經(jīng)過特征值計(jì)算獲得的自由面主坐標(biāo)模態(tài)通過熱流比擬的方法還原成全流場(chǎng)模態(tài)，進(jìn)而采用邊界層理論處理粘性耗散得到模態(tài)阻尼比。

1充液貯箱液固耦合振動(dòng)的模態(tài)阻尼比

1.1彈性結(jié)構(gòu)與理想流體的耦合振動(dòng)模態(tài)分析

貯箱液固耦合問題可以近似為無黏、無旋、不可壓縮的理想流體在彈性貯箱結(jié)構(gòu)內(nèi)的小幅線性晃動(dòng)問題。

貯箱內(nèi)液體滿足Laplace方程，液固接觸面上滿足運(yùn)動(dòng)邊界條件，自由面上滿足幾何邊界條件：

▽2p=0 液體所占區(qū)域內(nèi)部

(1)

(2)

(3)

式中：p是液體的壓強(qiáng)，n是液體的外法線方向，ρf為液體的密度，un為結(jié)構(gòu)沿外法向的位移。

貯箱結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程：

(4)

式中：Ms,Ks分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度矩陣，qsf為液體作用在結(jié)構(gòu)上的等效節(jié)點(diǎn)力向量。

根據(jù)液體的控制方程和邊界條件及結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程，用有限元加權(quán)參數(shù)方法獲得液固耦合非對(duì)稱形式的方程：

(5)

式中：Mf,Kf分別是液體的質(zhì)量、剛度矩陣，L為液體對(duì)結(jié)構(gòu)的作用矩陣。

經(jīng)過自由面縮聚和主坐標(biāo)變換，得到對(duì)稱形式的液體與結(jié)構(gòu)耦合振動(dòng)方程：

(6)

式中，ξE為自由面主坐標(biāo)，u為結(jié)構(gòu)的位移向量。

為獲得模態(tài)頻率和振型，朱昶帆等[4]將自由面主坐標(biāo)與結(jié)構(gòu)位移向量時(shí)空分離：

(7)

將式(7)代入式(6)獲得特征方程：

(8)

求解特征方程(8)獲得各階模態(tài)固有頻率及對(duì)應(yīng)的自由面主坐標(biāo)和結(jié)構(gòu)位移的模態(tài)振型。

為了求模態(tài)阻尼比需要全流場(chǎng)的壓力模態(tài)振型。

假定壓力函數(shù)也是時(shí)空分離的：

p=Peiωt

(9)

(10)

根據(jù)式(7)獲得結(jié)構(gòu)模態(tài)加速度：

(11)

進(jìn)行熱流比擬。因?yàn)榭刂品匠淌?1)與溫度的Laplace方程形式一致，所以將節(jié)點(diǎn)壓力模態(tài)P比擬為節(jié)點(diǎn)溫度模態(tài)T。自由面上采用固定溫度的邊界條件，將式(10)中自由面節(jié)點(diǎn)壓力比擬為自由面節(jié)點(diǎn)溫度。接觸面采用熱流輸入的邊界條件，因?yàn)檫吔鐥l件式(2)與熱流輸入邊界條件形式一致，將式(11)中結(jié)構(gòu)位移加速度比擬為熱流輸入。通過Nastran內(nèi)置的熱流模塊計(jì)算出全流場(chǎng)節(jié)點(diǎn)溫度T，即全流場(chǎng)節(jié)點(diǎn)壓力P。

1.2黏性耗散及其模態(tài)阻尼比計(jì)算

根據(jù)文獻(xiàn)[6]，液體的黏性耗散在不考慮毛細(xì)效應(yīng)時(shí)，體現(xiàn)為液固接觸面耗散、自由面耗散和內(nèi)部耗散。根據(jù)Stokes邊界層假設(shè)，在小Re數(shù)假設(shè)下，液體在邊界層內(nèi)流動(dòng)遵從擴(kuò)散方程：

(12)

在流體內(nèi)部滿足理想流體假設(shè)，存在速度勢(shì)函數(shù)，自由晃動(dòng)條件下，將勢(shì)函數(shù)時(shí)空分離，同時(shí)因?yàn)樗俣葎?shì)和速度的關(guān)系，u0也可以表示為時(shí)空分離的形式：

(13)

在液固接觸面上一個(gè)晃動(dòng)周期內(nèi)的平均能量耗散率為：

(14)

根據(jù)文獻(xiàn)[6]，在表面張力及自由面潔凈情況等影響下自由面耗散和接觸面耗散是同量級(jí)的，可以采用同樣的邊界層假設(shè)，文獻(xiàn)[10]中引入系數(shù)α，通過的α變化表征自由面耗散情況，當(dāng)α=0時(shí)表征自由面完全無耗散。

在自由面上一個(gè)晃動(dòng)周期內(nèi)的平均能量耗散率為：

(15)

式中，Γf為液體自由面。

則邊界層內(nèi)總耗散為液固接觸面耗散與自由面耗散之和：

D=Dw+Df

(16)

液體的內(nèi)部耗散：

根據(jù)文獻(xiàn)[7]，液體的內(nèi)部耗散和表面耗散相比是可比較的。忽略高階項(xiàng)時(shí)可采用近似公式：

(17)

式中，?n為外法線方向偏導(dǎo)數(shù)。

液體的機(jī)械能：

采用奧-高公式，將體積分轉(zhuǎn)為面積分，則液體的一個(gè)周期內(nèi)的平均機(jī)械能為：

液體晃動(dòng)一個(gè)周期的阻尼比：

(18)

由于式(18)的模態(tài)阻尼比是關(guān)于勢(shì)函數(shù)的，而上節(jié)推導(dǎo)出的流場(chǎng)模態(tài)是關(guān)于壓力函數(shù)，所以需要得到模態(tài)阻尼比關(guān)于壓力函數(shù)的阻尼比表達(dá)。

拉格朗日積分得到液體勢(shì)函數(shù)與壓力函數(shù)關(guān)系：

(19)

由于壓力函數(shù)和勢(shì)函數(shù)都是時(shí)空分離的，得到

(20)

將式(20)代入公式(18)，得到

(21)

因此在計(jì)算阻尼比的時(shí)候可以采用壓力函數(shù)替代勢(shì)函數(shù)。運(yùn)用有限元方法對(duì)理想流體問題得到的流域節(jié)點(diǎn)壓力進(jìn)行插值，獲得所需的節(jié)點(diǎn)一階及二階導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而得到阻尼比。

綜上所述，在計(jì)算彈性貯箱液固耦合振動(dòng)阻尼比時(shí)，可采用先將問題簡(jiǎn)化為理想流體與彈性結(jié)構(gòu)的液固耦合，獲得理想流體的流場(chǎng)節(jié)點(diǎn)壓力，再引入邊界層耗散用節(jié)點(diǎn)壓力及其導(dǎo)數(shù)獲得阻尼比。

2計(jì)算實(shí)例

2.1無限長(zhǎng)二維彈性底板矩形槽模型

結(jié)構(gòu)為如圖1所示的無限長(zhǎng)矩形截面槽，截面兩側(cè)壁面為剛性，底面為彈性薄板，彈性模量E=200 GPa，密度ρs=7 800 kg/m3，槽內(nèi)充液的液體密度為ρf=1 000 kg/m3，運(yùn)動(dòng)黏度系數(shù)ν=1×10-6m2/s。假定自由面為潔凈的，潔凈系數(shù)α=0。在二維情況下，底邊無限長(zhǎng)彈性薄板的平面應(yīng)變運(yùn)動(dòng)方程可以等效為梁的運(yùn)動(dòng)方程。通過截?cái)嗉?jí)數(shù)的半解析方法獲得流場(chǎng)，并計(jì)算阻尼比，與相同幾何形狀的底面也為剛體模型的解析結(jié)果比較。

圖1　無限長(zhǎng)二維彈性底板矩形槽簡(jiǎn)圖Fig.1 Infinite long 2D elastic bottom rectangular canal

表1、2為彈性底板矩形槽模型與相同幾何形狀的全剛性壁面矩形槽模型的結(jié)果對(duì)比。分別對(duì)比淺水和深水(充液深度0.2 m和0.8 m)的前三階情況，對(duì)應(yīng)的模態(tài)振型為圖2。其中，R1為邊界層阻尼比，R2為邊界層與內(nèi)部之和的總阻尼比，i/s為內(nèi)部耗散Di與邊界層耗散D的比值。

表1　淺水時(shí)(0.2 m)彈性底板矩形槽與全剛矩形槽比較

表2　深水時(shí)(0.8 m)彈性底板矩形槽與全剛矩形槽比較

在充液深度為0.2 m時(shí)，第2階模態(tài)，底部彈性模型和剛性模型的頻率有較大差別，邊界層阻尼比及總阻尼比也有較大差別，從模態(tài)振型(圖2)可以看出，和第1、第3階模態(tài)相比，第2階模態(tài)液固耦合比較明顯，屬于耦合振動(dòng)模態(tài)。在充液深度為0.8 m時(shí)，雖然彈性底部模型和剛性模型第3階模態(tài)的頻率基本相同，但是模態(tài)振型圖中該階模態(tài)液固耦合明顯，在邊界層阻尼比及總阻尼比上也具有較大差別。在淺水和深水情況下，在液固耦合不明顯的各階模態(tài)中(0.2 m的第1第3階，0.8 m的第1第2階)，彈性底部模型和剛性模型阻尼比基本一致，說明在液固耦合不明顯的模態(tài)上，使用剛性模型進(jìn)行近似也是合理和比較準(zhǔn)確的。但是在液固耦合明顯的模態(tài)上，使用彈性模型會(huì)有較大改進(jìn)。

圖2　彈性底板矩形槽模態(tài)振型圖Fig.2 Elastic bottom canal modal shapes

2.2三維圓柱形貯箱模型

此模型模態(tài)頻率和自由面振型取自文獻(xiàn)[3]。

三維圓柱形貯箱模型幾何尺寸如圖3，材料彈性模量E=68 GPa，泊松比σ=0.33，前后短柱殼厚度6.92 mm，前后底扁球殼厚度2.0 mm，中間柱殼厚度4.95 mm。液體自由面高度為8 000 mm，密度ρ=1 000 kg/m3，運(yùn)動(dòng)黏度系數(shù)ν=1×10-6m2/s，潔凈系數(shù)α=1。

圖3　三維圓柱形貯箱模型簡(jiǎn)圖Fig.3 3D circular cylinder tank model sketch

運(yùn)動(dòng)黏度為ν=1×10-6m2/s時(shí)，三維圓柱形貯箱模型中，各階模態(tài)邊界層阻尼比(R1)均為10的-4次方量級(jí)，內(nèi)部耗散與邊界層耗散比值為10的-2次方量級(jí)，見表3。在液固耦合不明顯的模態(tài)上(第5、8、14、19階)，內(nèi)部耗散與邊界層耗散的比值大約2%～3%，與文獻(xiàn)[6]中，剛性壁面假設(shè)時(shí)，兩者比值相近。

表3　三維圓柱形貯箱一些模態(tài)阻尼比

2.3三維圓柱形貯箱模型2

模型采用和2.2中相同模型貯箱，在模型設(shè)定相同的情況下，將底部材料彈性模量增加10倍，材料彈性模量E=6.8×1011Pa。將剛性底部情況與2.2中的標(biāo)準(zhǔn)情況相比較。

在液固耦合不明顯的模態(tài)上，剛底情況與標(biāo)準(zhǔn)情況模態(tài)和阻尼比基本一致，見表4。說明在液固耦合不明顯的模態(tài)上，采用剛性假設(shè)也能獲得較為精確的模態(tài)頻率和阻尼比結(jié)果。

表4　剛底情況與標(biāo)準(zhǔn)情況比較

而在液固耦合振動(dòng)模態(tài)上，通過模態(tài)振型比較，得到剛底情況第64、67、91，106階與標(biāo)準(zhǔn)情況第64、67、91、104階模態(tài)分別對(duì)應(yīng)，見表5。說明在可以比較的模態(tài)上，兩種情況的模態(tài)頻率和阻尼比計(jì)算結(jié)果差別不大。但是，底部剛度對(duì)貯箱液固耦合部分模態(tài)振型影響較大，會(huì)出現(xiàn)部分模態(tài)增加和減少的現(xiàn)象。因此在計(jì)算三維圓柱形貯箱模態(tài)阻尼比時(shí)需要考慮彈性貯箱液固耦合的影響。

表5　剛底情況與標(biāo)準(zhǔn)情況比較2

3結(jié)論

本文在彈性貯箱液固耦合理論和剛性容器液體小幅晃動(dòng)阻尼理論基礎(chǔ)上，建立了液體在彈性容器內(nèi)的小幅晃動(dòng)阻尼計(jì)算方法。用熱流比擬的方法，處理通過自由面縮聚和主坐標(biāo)表示的液固耦合動(dòng)力學(xué)方程的模態(tài)，得到流場(chǎng)。并用小幅晃動(dòng)理論獲得模態(tài)阻尼比。

本文通過比較二維半解析模型與剛體模型，發(fā)現(xiàn)在液固耦合模態(tài)下的彈性模型與剛體模型的阻尼比有一定的差別，驗(yàn)證了在某些頻率上采用液固耦合模型在阻尼比精度上比剛體假設(shè)有較大改善。而三維圓柱形貯箱模型的有限元計(jì)算表明，應(yīng)用本文的方法，能夠高效、即時(shí)獲取一定液高下液固耦合模態(tài)、流場(chǎng)和模態(tài)阻尼比，為工程上更高精度建模進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，設(shè)計(jì)防晃裝置以降低液體火箭貯箱晃動(dòng)等實(shí)踐提供了分析基礎(chǔ)。

參 考 文 獻(xiàn)

[ 1 ] 馬馳騁，張希農(nóng)，羅亞軍，等. 變質(zhì)量矩形貯箱流固耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性分析[J]. 西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，48(7):109-116.

MA Chi-cheng, ZHANG Xi-nong, LUO Ya-jun, et al. Dynamic analysis on a fluid-structure coupling system with variable mass in a rectangular tank[J]. Journal of Xi’an Jiaotong University,2014,48(7):109-116.

[ 2 ] Fox D W, Kuttler J R. Sloshing frequencies[J]. Journal of Mechanics and Applied Mathematics and Physics,1983,34(5):668-696.

[ 3 ] 朱琳，唐國(guó)安，柳征勇，等. 推進(jìn)劑與貯箱液固耦合振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)分析[J]. 振動(dòng)與沖擊，2012，31(5):139-144.

ZHU Lin,TANG Guo-an, LIU Zheng-yong, et al. Dynamic analysis for fluid-structure coupled vibration of propellants and fuel tank [J]. Journal of Vibration and Shock, 2012,31(5):139-144.

[ 4 ] 朱昶帆，唐國(guó)安，張美艷. 考慮推進(jìn)劑晃動(dòng)的火箭液固耦合分析的比擬算法[J]. 動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2014，12(3):239-242.

ZHU Chang-fan, TANG Guo-an, ZHANG Mei-yan. Theanalogy method to coupling analysis of rockets comsidering propellant sloshing[J]. Journal of Dynamics and Control, 2014,12(3):239-242.

[ 5 ] Case K M, Parkinson W C. Damping of surface waves in an incompressible liquid[J].J Fluid Mech,1957,2:172-184.

[ 6 ] Henderson D M, Miles J W. Surface-wave damping in a circular cylinder with a fixed contact line[J]. J Fluid Mech,1994,275:285-299.

[ 7 ] Miles J W, Henderson D M. A note on interior vs. boundary-layer damping of surface waves in a circular cylinder[J].J Fluid Mech,1998,364:319-323.

[ 8 ] Martel C, Nicolas J A, Vega J M. Surface-wave damping in a brimful circular cylinder[J].J Fluid Mech,1998,360:213-228.

[ 9 ] 王為，李俊峰，王天舒. 航天器貯箱內(nèi)液體晃動(dòng)阻尼研究(一)[J]. 宇航學(xué)報(bào)，2005，26(6):687-693.

WANG Wei, LI Jun-feng, WANG Tian-shu. Study on sloshing damping in a contanier of spacecraft(Part I): theory[J]. Journal of Astronautics, 2005, 26(6):687-693.

[10] 王為，李俊峰，王天舒. 航天器貯箱內(nèi)液體晃動(dòng)阻尼研究(二)[J]. 宇航學(xué)報(bào)，2005，27(2):177-181.

WANG Wei, LI Jun-feng, WANG Tian-shu. Study on sloshing damping in a contanier of spacecraft(Part Ⅱ): theory[J]. Journal of Astronautics, 2005, 27(2):177-181.

[11] 夏恒新，王為，寶音賀西,等. 帶球形底的圓柱容器中液體小幅晃動(dòng)的實(shí)驗(yàn)研究和有限元分析[J]. 動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2009，7(1):66-70.

XIA Heng-xin, WANG Wei, BAOYIN He-xi, et al. Experiment and FEM analysis of liquid sloshing with small amplitude in a circular cylindrical tank with a spherical bottom[J]. Journal of Dynamics and Control, 2009, 7(1):66-70.

Fluid-structure coupled vibration modes and damping ratios for a liquid-filled contained

SHENJi,ZHANGMei-yan,TANGGuo-an

(Department of Mechanics & Engineering Science, Fudan University, Shanghai 200433, China)

Abstract:When conducting the stability analysis for longitudinal vibration of a liquid-carried rocket and establishing the vibration model of liquid inside the tank, the elastic characteristics of the structure should be considered, the damping character of liquid shaking should also be considered. Due to the fact that a modal damping ratio is correlated to the work of damping force per vibration period, mean mechanical energy, and the modal natural frequency, the fluid-structure coupled vibration modes were determined via analyzing the coupled vibrations of structure and liquid, and then the works done by the damping force on the contact surface between liquid and structure that on the free surface and the inner damping force were calculated, the mean mechanical energy was also computed, so as to achieve the modal damping ratio. The heat flux analogy method was adopted in the modal analysis of coupled vibration and the calculation of liquid inner fluid-field to take full advantages of a general program. This method not only improved the efficiency, but also facilitated engineering applications.

Key words:liquid-structure coupled vibration; tank; mode; damping ratio

中圖分類號(hào):O327；O353

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.04.015

通信作者唐國(guó)安 男，教授，博士生導(dǎo)師，1962年10月生

收稿日期：2014-12-19修改稿收到日期：2015-03-07

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(11202052)

第一作者 沈驥 男，碩士生，1989年12月生