人群簡化模型與人行橋TMD參數(shù)設(shè)計(jì)研究

孫　昊， 周　叮， 劉偉慶， 李枝軍

(南京工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，南京　211816)

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人群簡化模型與人行橋TMD參數(shù)設(shè)計(jì)研究

孫昊， 周叮， 劉偉慶， 李枝軍

(南京工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，南京211816)

摘要：用兩段連續(xù)彈性桿模擬靜立人體，建立人群-人行橋-調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(TMD)振動(dòng)系統(tǒng)。將靜立人群簡化建模為單個(gè)的廣義人體，研究廣義人體-人行橋-調(diào)諧質(zhì)量阻尼器振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力特性及TMD參數(shù)設(shè)計(jì)。運(yùn)用最小二乘原理確定廣義人體的相關(guān)參數(shù)，通過與已有的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比，驗(yàn)證了將靜立人群簡化為廣義人體模型的正確性。以均方根加速度作為人體舒適度的優(yōu)化準(zhǔn)則，分析了人行橋TMD的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比。

關(guān)鍵詞：人群-人行橋-TMD系統(tǒng)；廣義人體-人行橋-TMD系統(tǒng)；最小二乘；最優(yōu)頻率比；最優(yōu)阻尼比

隨著建筑結(jié)構(gòu)技術(shù)的迅速發(fā)展和高性能建筑材料的廣泛運(yùn)用，人行橋正向大跨輕柔低阻尼的方向發(fā)展，人行橋的人致振動(dòng)問題也因此日益突出。在主體結(jié)構(gòu)下附加一個(gè)由彈簧、阻尼器和質(zhì)量塊構(gòu)成的TMD裝置，通過合理的參數(shù)設(shè)置可以減小或消除主體結(jié)構(gòu)的有害振動(dòng)。TMD主要適用于激勵(lì)力接近于諧振的情況，人體的腳步力具有擬周期性，人行橋的動(dòng)力響應(yīng)主要與橋的豎向基階模態(tài)相關(guān)[1]，因此，TMD適用于人行橋的減振控制。

與歌劇院樓蓋、賽場(chǎng)看臺(tái)一樣，劃船比賽沿線、煙花施放場(chǎng)所、公園景點(diǎn)和城市風(fēng)光帶的人行橋上常常會(huì)聚集大量的站立人群。Ellis等[2]對(duì)Twickenham體育館的測(cè)試結(jié)果表明駐留人群應(yīng)作為單自由度的質(zhì)量-彈簧-阻尼器系統(tǒng)來考慮。靜立人群和行走人群對(duì)人行橋的影響是不同的，靜立人群會(huì)改變?nèi)诵袠虻膭?dòng)力學(xué)特性而行走人群會(huì)激發(fā)人行橋產(chǎn)生振動(dòng)。目前，研究者已認(rèn)識(shí)到有人駐留時(shí)系統(tǒng)的阻尼會(huì)有所增加[3]，而固有頻率可能增大也可能減少。然而，采用TMD實(shí)現(xiàn)人行橋減振控制的常規(guī)設(shè)計(jì)方案往往不考慮人體對(duì)人行橋的作用或者只是將人體考慮為附著于人行橋上的剛性質(zhì)量，忽略人體彈性對(duì)人行橋動(dòng)力特性的影響。因此，常規(guī)設(shè)計(jì)方案對(duì)人行橋的減振控制是不全面的。

本文利用生物力學(xué)相關(guān)知識(shí)，將靜立人體模擬為兩段連續(xù)彈性桿附加到人行橋上，將行人對(duì)人行橋的激勵(lì)簡化為作用于人行橋跨中的簡諧力，用以表達(dá)靜立人群和行走人群對(duì)人行橋的不同作用，建立了人群-人行橋-TMD系統(tǒng)與廣義人體-人行橋-TMD系統(tǒng)的控制微分方程組。通過對(duì)兩個(gè)系統(tǒng)方程組的比較分析，將人群簡化為單個(gè)的廣義人體模型。運(yùn)用最小二乘原理確定廣義人體的相關(guān)參數(shù)。人體的不適反應(yīng)主要來自振動(dòng)加速度，因此使用均方根加速度法對(duì)TMD進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化。

1人群-人行橋-TMD動(dòng)力模型

圖1　人群-人行橋-TMD模型Fig.1 The model of crowd-footbridge-TMD system

人行橋的動(dòng)力響應(yīng)主要與人行橋的豎向基階模態(tài)[1]有關(guān)，將人行橋的豎向位移近似為：

uS(x,t)=φ1(x)q1(t)

(1)

只考慮人體的基階模態(tài)并忽略人體腳部彈性與阻尼的影響，第j個(gè)靜立人體的豎向位移可表示為：

uHj(y,t)=uS(xj,t)+uRj(y,t)=

φ1(xj)q1(t)+uHRj(t)φ(y)

(2)

式中，φ1(x)和q1(t)分別為人行橋的豎向基階模態(tài)函數(shù)和模態(tài)坐標(biāo)，uS(xj,t)為距離橋左端xj處人行橋的豎向位移，uRj(y,t)為第j人相對(duì)于人行橋的豎向位移，φ(y)為人體豎向振動(dòng)的基階模態(tài)函數(shù)。

人群-人行橋-TMD系統(tǒng)的勢(shì)能為：

(3a)

人群-人行橋-TMD系統(tǒng)的動(dòng)能為：

人群-人行橋-TMD系統(tǒng)的阻尼耗能為：

(3c)

行人腳步力做功為：

W=PS(t)φ1(L/2)q1(t)

(3d)

受迫振動(dòng)的拉格朗日方程為：

(4)

將式(3a)～(3d)代入式(4)可得：

[K]{X(t)}={P(t)}

(5)

式中：{P(t)}={PS(t)φ1(L/2),0,0，…，0,0}T,

{X(t)}={q1(t),uHR1(t),uHR2(t)…uHRJ(t),uT(t)}T,

以及下列參數(shù)：

式中MS1、KS1、CS1分別為人行橋的豎向基階模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度、模態(tài)阻尼，MH0為人體總質(zhì)量，MH為人體的模態(tài)質(zhì)量，MH1為人體與人行橋的耦合質(zhì)量。當(dāng)不考慮TMD時(shí)，式(5)自動(dòng)蛻化為人群-人行橋系統(tǒng)的控制微分方程組。

2人體的模態(tài)參數(shù)

由生物力學(xué)知識(shí)可知，人體可用分段的連續(xù)彈性直桿近似模擬[5]，本文采用簡單的兩段直桿模型，設(shè)每段直桿的質(zhì)量均布，沿豎直方向的剛度也均布，如圖2所示。

每個(gè)直桿的軸向振動(dòng)微分方程為:

(6)

式中，mi和ki(i=1,2)為每段桿件的單位長度質(zhì)量和軸向剛度。

式(6)的解為：

ui(x,t)=Usin(ωHt+φi)φi(x),i=1,2

(7)

式中:ωH為人體振動(dòng)的角頻率，φi為相位角，φi(x)為模態(tài)，U為振動(dòng)幅值。人體模型底部固定于人行橋上，頂部自由，利用上下兩段直桿連接處的變形協(xié)調(diào)條件，可以導(dǎo)出人體的模態(tài)。

φ1(x1)=Bsinb1x1,0≤x1≤h1,φ2(x2)=

0≤x2≤h2

(8)

圖2　人體豎直方向的振動(dòng)模型Fig.2 The model of a body vibrating in vertical direction

得到人體的頻率方程為:

(9)

考慮h1=h2并取m2=2m1,k2=2k1，該參數(shù)可較好地模擬人體[5]。由此導(dǎo)出特征值b1h1=0.615 5和人體的各等效質(zhì)量為：MH1=0.765 9 MH0,MH=0.666 7 MH0。

3廣義人體-人行橋-TMD模型

圖3　廣義人體-人行橋-TMD模型Fig.3 The model ofgeneralized human-footbridge-TMD system

廣義人體-人行橋-TMD的耦合動(dòng)力模型如圖3所示?？紤]一具有分布質(zhì)量mG(x)，分布剛度kG(x),分布線性黏滯阻尼cG(x)，高度為HG的廣義人體模型。設(shè)廣義人體靜立在人行橋的跨中。人行橋、TMD、荷載等條件與第1節(jié)相同，廣義人體同樣用分段連續(xù)彈性直桿模擬。僅考慮人行橋與廣義人體的基階模態(tài)，采用與第1節(jié)類似的分析過程，得到：

(10)

式中：

以及下列參數(shù)：

式中：MGH0為廣義人體的總質(zhì)量，MGH為廣義人體的模態(tài)質(zhì)量，MGH1為廣義人體與人行橋的耦合質(zhì)量。當(dāng)不考慮TMD時(shí)，式(10)蛻化為廣義人體-人行橋系統(tǒng)的控制微分方程組。

4廣義人體的模態(tài)參數(shù)

設(shè)J個(gè)靜立人體沿著人行橋跨中對(duì)稱站立，人體間距為0.5 m，由上述數(shù)據(jù)可得人群-人行橋系統(tǒng)的控制微分方程組為：

(11)

將人群簡化為廣義人體模型的關(guān)鍵是使人行橋的加速度響應(yīng)在簡化前后保持一致。對(duì)比式(5)和(10)可發(fā)現(xiàn)當(dāng)廣義人體與單個(gè)人體取如下關(guān)系時(shí)，兩公式相近：

MGH=MH，MGH1=θMH1(θ為待定系數(shù)),KGH=KH,CGH=CH

根據(jù)上述數(shù)據(jù)參數(shù)，廣義人體-人行橋系統(tǒng)的控制微分方程組可轉(zhuǎn)化為：

(12)

5θ的確定與廣義人體模型的驗(yàn)證

式(11)、(12)中的質(zhì)量矩陣為非對(duì)角陣，因而無法通過經(jīng)典的模態(tài)分解法進(jìn)行解耦。本文采用等時(shí)間步長的有限差分法近似計(jì)算[12]，速度和加速度的中心差分可表示為：

(13)

(14)

將式(11)和(12)代入式(13)、(14)可以得到中心差分的迭代公式：

(15)

(16)

為了達(dá)到足夠的計(jì)算精度與收斂性，本文取時(shí)間步長Δt=0.01 s。

基于最小二乘原理，在給定靜立人數(shù)J后確定θ的方法為：在合理的θ取值范圍內(nèi)，使得人群-人行橋與廣義人體-人行橋兩個(gè)系統(tǒng)中人行橋跨中加速度差的平方在一個(gè)周期內(nèi)的和積分最小。即：

(17)

表1給出了不同靜立人數(shù)下的θ值?？梢园l(fā)現(xiàn)，隨著靜立人數(shù)J的增大，θ值也相應(yīng)增大，但θ始終小于靜立人數(shù)J。這表明θ是由人行橋基階模態(tài)和各個(gè)人體的位置所決定的，而不是J個(gè)靜立人體的簡單疊加。

將不同靜立人數(shù)J所對(duì)應(yīng)的θ值代入式(12)中，參考文獻(xiàn)[13]的解析解可求出廣義人體-人行橋系統(tǒng)的豎向基階模態(tài)頻率和豎向基階模態(tài)阻尼比。

表1　不同靜立人數(shù)下的θ值

表2給出了本文數(shù)值模擬結(jié)果與王海等[3]的人-梁模型及Sachse實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較。由于實(shí)驗(yàn)測(cè)得的人群-人行橋系統(tǒng)的基階頻率離散性較大，Sachse沒有給出其具體數(shù)值只是說明隨著簡支梁上靜立人數(shù)的增加，系統(tǒng)的基階頻率隨之下降[6-7]，這一定性趨勢(shì)與本文的計(jì)算結(jié)果相同。通過對(duì)受迫振動(dòng)實(shí)驗(yàn)得到的復(fù)頻反應(yīng)函數(shù)進(jìn)行曲線擬合，Sachse識(shí)別出了系統(tǒng)的豎向基階模態(tài)阻尼比，該結(jié)果與本文的計(jì)算結(jié)果較為接近。相對(duì)于王海、周叮的結(jié)果，本文系統(tǒng)的豎向基階模態(tài)頻率略有下降但阻尼比略有增加，這主要來自于二者的模型差異以及對(duì)人體阻尼比的取值不同。由此可見將人群簡化為單個(gè)的廣義人體模型是正確的。

圖4表明人群-人行橋系統(tǒng)與廣義人體-人行橋系統(tǒng)中人行橋跨中的加速度響應(yīng)一致性很好。

圖4　簡化前后人行橋跨中加速度響應(yīng)對(duì)比Fig.4 The comparison of acceleration time history at the midspan of footbridges before and after simplifying

靜立人數(shù)J系統(tǒng)的豎向基階模態(tài)頻率廣義人體-人行橋人-梁人群-人行橋計(jì)算值/Hz 計(jì)算值/Hz實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的豎向基階模態(tài)阻尼比廣義人體-人行橋人-梁人群-人行橋計(jì)算值/%計(jì)算值/%實(shí)驗(yàn)值/%14.44524.479基頻隨人數(shù)0.6280.5980.654.34144.362增加而下降1.8541.6801.7

6TMD的參數(shù)優(yōu)化

Den Hartog[14]給出了TMD的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比為：

(18)

根據(jù)式(10)和第4節(jié)的相關(guān)數(shù)據(jù)，取步頻fP在正常步頻范圍(1.6～2.4 Hz)內(nèi)變化，廣義人體-人行橋-TMD系統(tǒng)的控制微分方程組為：

(19)

將式(19)和廣義人體的相關(guān)參數(shù)代入式(16)，可得到關(guān)于步頻fp、質(zhì)量比μ、頻率比β、阻尼比ξT的廣義人體-人行橋-TMD系統(tǒng)的時(shí)程解。

在正常步頻范圍內(nèi)，固定質(zhì)量比μ，以行人引起的人行橋最大均方根加速度最小作為準(zhǔn)則[15]來確定最優(yōu)頻率比βopt和最優(yōu)阻尼比ξT,opt。識(shí)別準(zhǔn)則：

(20)

均方根加速度為：

(21)

表3給出了不同靜立人數(shù)J和質(zhì)量比μ下TMD的最優(yōu)參數(shù)。通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)，考慮靜立人體的彈性后，TMD的最優(yōu)頻率比總是小于Den Hartog的解析解，而TMD的最優(yōu)阻尼比總是小于等于Den Hartog的解析解。表3還表明，當(dāng)靜立人數(shù)J不變時(shí)，本文識(shí)別出的最優(yōu)頻率比隨著質(zhì)量比μ的增大而減小，但最優(yōu)阻尼比會(huì)增大。當(dāng)質(zhì)量比μ不變時(shí)，本文識(shí)別出的最優(yōu)頻率比隨著靜立人數(shù)J的增大而減小。

表3　廣義人體-人行橋-TMD系統(tǒng)的

考慮人群腳步力的前二階諧波，圖5～7給出了靜立人數(shù)為5或15人時(shí)的計(jì)算結(jié)果。圖5、圖6表明在正常步頻范圍內(nèi)，TMD的減振效果比較明顯。安裝TMD后，人行橋跨中的加速度響應(yīng)被均勻化，在某些步頻下的減振效果尤為突出。圖7表明本文識(shí)別出的TMD最優(yōu)參數(shù)的減振效果要優(yōu)于Den Hartog的解析解，當(dāng)靜立人數(shù)較多時(shí)減振效果更好。對(duì)于有大量駐立人群的景觀橋，本文的參數(shù)更為合理。

圖5　正常步頻范圍內(nèi)TMD的減振效果Fig.5 The effects of reduced vibration of TMD in the range of normal step frequencies

圖6　安裝TMD前后人行橋跨中加速度時(shí)程響應(yīng)對(duì)比圖Fig.6 The comparison of acceleration time history at the midspan of footbridges with and without TMD

圖7　不同最優(yōu)參數(shù)下人行橋跨中加速度的時(shí)程響應(yīng)對(duì)比圖Fig.7 The comparison of acceleration time history at the midspan of footbridges with different optimal parameters

7結(jié)論

本文針對(duì)大跨人行橋TMD設(shè)計(jì)中的不足，提出在人行橋-TMD系統(tǒng)的基礎(chǔ)上考慮靜立人體的彈性，分別建立人群-人行橋-TMD模型和廣義人體-人行橋-TMD模型，得到如下結(jié)論：

(1) 將人群簡化為單個(gè)的廣義人體模型降低了系統(tǒng)的自由度，使得考慮人群-人行橋相互作用變得簡單。

(2) 運(yùn)用最小二乘原理，廣義人體的相關(guān)參數(shù)可由人體的相關(guān)參數(shù)、人行橋基階模態(tài)和各個(gè)人體的位置確定。

(3) 考慮靜立人體的彈性后，TMD的最優(yōu)頻率比總是小于Den Hartog的解析解，而TMD的最優(yōu)阻尼比總是小于等于Den Hartog的解析解。當(dāng)靜立人數(shù)J不變時(shí)，本文識(shí)別出的最優(yōu)頻率比隨著質(zhì)量比μ的增大而減小，但最優(yōu)阻尼比會(huì)增大。當(dāng)質(zhì)量比μ不變時(shí)，本文識(shí)別出的最優(yōu)頻率比隨著靜立人數(shù)J的增大而減小。

(4) 安裝TMD后，人行橋跨中的加速度響應(yīng)被均勻化。對(duì)于城市風(fēng)光帶處的人行橋，本文的最優(yōu)參數(shù)效果更合理。

參 考 文 獻(xiàn)

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Simplified model of human crowd and parameter design of TMD for footbridges

SUNHao,ZHOUDing,LIUWei-qing,LIZhi-jun

(College of Civil Engineering, Nanjing Tech University, Nanjing 211816, China)

Abstract:Here, a continuous-elastic bar with two segments was used to model bodies standing on a footbridge and the crowd-footbridge-tuned mass damper (TMD) vibration system was built. By simplifying the static crowd as a generalized human body, the dynamic characteristics of the generalized human body-footbridge-TMD system and the parameter design of TMD were studied. The parameters of the generalized human body were identified with the principle of least square. Comparing with the data available from tests, the correctness of the simplified generalized human body was verified. The root-mean-square acceleration was taken as the optimization criterion to assess the human body comfort, the optimal parameters of the TMD were analyzed.

Key words:crowd-footbridge-TMD system; generalized human body-footbridge-TMD system; least square; optimal frequency ratio; optimal damping ratio

中圖分類號(hào):TU3；TB1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.04.035

通信作者周叮 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1957年生

收稿日期：2014-07-14修改稿收到日期：2015-01-20

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(11372127;51208252)；江蘇省屬高校自然科學(xué)研究重大項(xiàng)目(12KJA580002)

第一作者 孫昊 男，碩士生，1989年生

E-mail：dingzhou57@yahoo.com