線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型遞推辨識(shí)研究

倪智宇， 吳志剛,2

(1. 大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧　大連　116024；2.大連理工大學(xué) 航空航天學(xué)院，遼寧　大連　116024)

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線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型遞推辨識(shí)研究

倪智宇1， 吳志剛1,2

(1. 大連理工大學(xué) 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧大連116024；2.大連理工大學(xué) 航空航天學(xué)院，遼寧大連116024)

摘要：針對(duì)線性時(shí)變系統(tǒng)中狀態(tài)空間模型的辨識(shí)問(wèn)題，提出了一種新的模型參數(shù)矩陣的遞推辨識(shí)格式。不同于常用的利用奇異值分解(SVD)或者最小二乘原理計(jì)算時(shí)變狀態(tài)空間模型參數(shù)的方法，這種新的遞推方法基于信號(hào)子空間投影原理，通過(guò)重新建立輸入輸出數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，構(gòu)建新的信號(hào)子空間矩陣，從而遞推得到系統(tǒng)的時(shí)變狀態(tài)空間模型參數(shù)。與現(xiàn)有的計(jì)算時(shí)變狀態(tài)空間模型的方法相比，這種新的遞推方法由于不需要進(jìn)行SVD的計(jì)算，從而大幅的減少了計(jì)算時(shí)間。特別是當(dāng)系統(tǒng)的階次較高時(shí)，計(jì)算效率優(yōu)勢(shì)更為明顯。在算例中將這種方法與經(jīng)典的使用SVD的時(shí)變ERA(TV-ERA)方法從辨識(shí)結(jié)果和計(jì)算效率上進(jìn)行了比較。仿真結(jié)果表明這種新的遞推算法能有效辨識(shí)狀態(tài)空間方程形式的線性時(shí)變系統(tǒng)的模型參數(shù)，和TV-ERA方法相比具有更高的計(jì)算效率。

關(guān)鍵詞：線性時(shí)變系統(tǒng)；遞推子空間方法；狀態(tài)空間模型；參數(shù)辨識(shí)

在現(xiàn)代工程應(yīng)用中，越來(lái)越多的結(jié)構(gòu)本身具有時(shí)變的特性，如大型空間結(jié)構(gòu)的搬運(yùn)裝配、太陽(yáng)能帆板的展開(kāi)與旋轉(zhuǎn)、機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)以及高速列車的行駛等，這些過(guò)程中往往都需要考慮到系統(tǒng)的時(shí)變特性。而在系統(tǒng)模型的描述中，狀態(tài)空間模型在系統(tǒng)極點(diǎn)配置、觀測(cè)器設(shè)計(jì)、最優(yōu)控制等方面有著明顯的優(yōu)勢(shì)。在這種情況下，如果能夠有效地辨識(shí)得到時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型參數(shù)，這在系統(tǒng)控制等方面的應(yīng)用有著重要的意義，所以時(shí)變結(jié)構(gòu)的模型辨識(shí)問(wèn)題值得關(guān)注。

針對(duì)狀態(tài)空間方程形式的系統(tǒng)的模型參數(shù)辨識(shí)，前人已經(jīng)進(jìn)行了許多研究。從20世紀(jì)80年代開(kāi)始，隨著子空間系列辨識(shí)方法的提出，對(duì)時(shí)變狀態(tài)空間模型的分析有了進(jìn)一步的發(fā)展[1]。子空間系列方法通過(guò)構(gòu)建輸入輸出數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)子空間，利用奇異值分解(Singular Value Decomposition, SVD)或者QR分解的方法，辨識(shí)狀態(tài)空間模型的參數(shù)矩陣。在這基礎(chǔ)上，Ljung[2]將子空間方法進(jìn)行了完善，并且根據(jù)不同的條件詳細(xì)討論了狀態(tài)模型參數(shù)的辨識(shí)問(wèn)題。Verhaegen等[3]提出了多變量系統(tǒng)輸出誤差狀態(tài)空間模型辨識(shí)方法(MIMO Output-Error State Space Model Identification, MOESP)，其中概述總結(jié)了子空間辨識(shí)方法的主要流程，通過(guò)對(duì)輸入輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行子空間分解以確定系統(tǒng)的增廣能觀測(cè)矩陣，從而估計(jì)得到系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的參數(shù)矩陣。Verhaegen等[4-5]還在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析了直接和間接MOESP方法的性能。Juang等[6-7]在一般子空間方法的基礎(chǔ)上通過(guò)引入Markov參數(shù)，提出了特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法(Eigensystem Realization Algorithm, ERA)，它可以認(rèn)為是一種改進(jìn)后的子空間方法，如果辨識(shí)的對(duì)象是一般的定常系統(tǒng)，這種方法已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于工程中。如果系統(tǒng)是時(shí)變的，這一類子空間方法往往采用重復(fù)試驗(yàn)的方式，利用多組數(shù)據(jù)進(jìn)行系統(tǒng)的辨識(shí)。這類方法的缺點(diǎn)是如果系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)量很大，那么構(gòu)建的Hankel矩陣的維數(shù)將會(huì)比較高，進(jìn)行QR或SVD分解的計(jì)算量會(huì)非常大，從而導(dǎo)致這種方法對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)的計(jì)算效率較低。而遞推形式的子空間方法通過(guò)信號(hào)子空間的迭代，從而避免了較高維數(shù)的Hankel矩陣求解問(wèn)題，具有計(jì)算時(shí)間短、計(jì)算效率高的優(yōu)點(diǎn)，因此得到了越來(lái)越多的關(guān)注和廣泛應(yīng)用。

在本文中，應(yīng)用遞推子空間辨識(shí)方法來(lái)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型參數(shù)的辨識(shí)。第一類遞推子空間方法是通過(guò)遞推方法刷新系統(tǒng)的增廣能觀測(cè)矩陣[8]。Longman等[9]構(gòu)建了多變量定常結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。Bosse等[10]提出了一種利用URV分解的遞推子空間方法。這一類的方法通過(guò)遞推形式得到各個(gè)時(shí)刻的Hankel矩陣，然后對(duì)其進(jìn)行QR或SVD分解，由于仍需要逐一時(shí)刻進(jìn)行子空間分解操作，所以計(jì)算量依然比較大。另一類遞推方法是基于信號(hào)子空間追蹤的概念，通過(guò)使用陣列信號(hào)處理算法來(lái)遞推刷新系統(tǒng)的能觀性矩陣[11-12]。龐世偉等[13]利用該方法辨識(shí)得到了移動(dòng)質(zhì)量-簡(jiǎn)支梁的時(shí)變模態(tài)參數(shù)。Real等[14]為了提高辨識(shí)計(jì)算的速度，提出了快速估計(jì)子空間方法(Fast Approximate Subspace Tracking, FAST)。針對(duì)原有的遞推子空間方法中投信號(hào)投影子空間不嚴(yán)格正交的問(wèn)題，Badeau等[15]對(duì)信號(hào)子空間的投影乘以修正后的正交矩陣，在此基礎(chǔ)上得到了逼近冪迭代(Approximated Power Iteration, API)方法，并且在此基礎(chǔ)上提出了快速API方法(Fast API, FAPI)[16]。丁峰等[17]提出了狀態(tài)空間模型遞階辨識(shí)方法，這種方法首先假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)是已知的，根據(jù)該狀態(tài)估計(jì)和系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)遞歸計(jì)算系統(tǒng)的模型參數(shù)，然后基于系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)和獲得的參數(shù)估計(jì)，遞歸計(jì)算系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)。楊華等[18]針對(duì)時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)模型參數(shù)辨識(shí)，將梯度型算法引入子空間跟蹤方法中，實(shí)現(xiàn)對(duì)廣義能觀測(cè)矩陣的估計(jì)，避免了子空間近似帶來(lái)的估計(jì)有偏性。與第一類遞推子空間方法相比，第二類方法計(jì)算效率更高，但是目前已知的工作主要集中在通過(guò)狀態(tài)空間方程中信號(hào)子空間矩陣的遞推來(lái)得到系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)值[13,19]，對(duì)于如何辨識(shí)得到完整的一組時(shí)變狀態(tài)空間模型{A(k),B(k),C(k)}并沒(méi)有提及。

本文對(duì)遞推子空間方法的應(yīng)用作進(jìn)一步的擴(kuò)展，在前人利用遞推子空間方法辨識(shí)時(shí)變模態(tài)參數(shù)的基礎(chǔ)上，關(guān)注于時(shí)變的狀態(tài)空間模型的辨識(shí)。通過(guò)重構(gòu)輸入輸出關(guān)系，實(shí)現(xiàn)了對(duì)系統(tǒng)的時(shí)變狀態(tài)空間模型的矩陣參數(shù){A(k),B(k),C(k)}的識(shí)別。數(shù)值仿真選用二階彈簧-集中質(zhì)量和旋轉(zhuǎn)機(jī)械臂連桿系統(tǒng)這兩個(gè)經(jīng)典的參數(shù)時(shí)變模型，辨識(shí)系統(tǒng)的時(shí)變狀態(tài)空間模型。最后通過(guò)計(jì)算對(duì)比辨識(shí)得到的狀態(tài)模型和原系統(tǒng)模型的響應(yīng)值，證明了利用該方法辨識(shí)得到的狀態(tài)模型能夠反映出原系統(tǒng)的響應(yīng)特性，本文提出的遞推辨識(shí)狀態(tài)空間模型的方法是有效的。文中還將該方法與已有的基于SVD分解的時(shí)變ERA方法[20](Time-Varying ERA, TV-ERA)進(jìn)行了計(jì)算效率的比較，結(jié)果證明與采用多組輸入輸出數(shù)據(jù)的重復(fù)試驗(yàn)方法[20]相比，遞推方法在滿足精度要求的前提下，具有更高的計(jì)算效率。

1遞推子空間方法概述

1.1數(shù)據(jù)的預(yù)處理

子空間跟蹤算法在進(jìn)行辨識(shí)之前，需要對(duì)狀態(tài)空間方程中的輸入輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)那疤幚怼＠孟到y(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)矩陣，構(gòu)建對(duì)應(yīng)時(shí)刻的狀態(tài)量變化，將其作為子空間跟蹤中的輸入信號(hào)參數(shù)，然后在子空間追蹤方法中不斷更新該狀態(tài)量，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的信號(hào)子空間(能觀性矩陣)的追蹤求解，進(jìn)而得到時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。

這里首先考慮如下的離散時(shí)變系統(tǒng)：

x(k+1)=A(k)x(k)+B(k)u(k)

(1)

y(k)=C(k)x(k)

(2)

式中,系統(tǒng)的階數(shù)為n，輸入的維數(shù)為r，輸出維數(shù)為m。則輸入輸出矩陣的Hankel矩陣形式分別可以寫(xiě)為

(3)

其中

下標(biāo)k為對(duì)應(yīng)的時(shí)刻，M為選取的合適的Hankel矩陣維數(shù)。利用文獻(xiàn)[10]中的輸入輸出數(shù)據(jù)的遞推更新方法，構(gòu)建得到的狀態(tài)量z(k)的更新格式為

(4)

(5)

(6)

[U(k)UT(k)]-1=

[U(k-1)UT(k-1)]-1-

(7)

[Y(k)U?(k)]=

[Y(k-1)U?(k-1)]-z(k)wT(k)

(8)

1.2遞推API方法

在進(jìn)行輸入輸出數(shù)據(jù)的預(yù)處理后，時(shí)變系統(tǒng)的辨識(shí)轉(zhuǎn)變成為子空間跟蹤問(wèn)題。在多種遞推子空間方法中，本文在這里采用遞推API方法進(jìn)行系統(tǒng)的遞推辨識(shí)。和經(jīng)典的投影估計(jì)子空間跟蹤方法(Projection Approximation Subspace Tracking, PAST)相比，API方法的計(jì)算量略高于PAST方法，但是API方法在子空間的遞推方面增加了正交項(xiàng)，保證了投影矩陣的正交性，從而確保了遞推時(shí)的收斂性。

由于遞推子空間方法的介紹并非本文工作的重點(diǎn)內(nèi)容，所以在這里只給出API方法的基本步驟，詳細(xì)的API方法的推導(dǎo)過(guò)程請(qǐng)參考文獻(xiàn)[15-16]：

s(k)=WH(k-1)z(k)

(9)

h(k)=Z(k-1)s(k)

(10)

g(k)=h(k)(β+sH(k)h(k))-1

(11)

e(k)=x(k)-W(k-1)s(k)

(12)

Θ(k)=(In+‖e(k)‖2g(k)g(k)H)-1/2

(13)

g(k)sH(k))Z(k-1)Θ-H(k)

(14)

W(k)=(W(k-1)+e(k)gH(k))Θ(k)

(15)

2時(shí)變狀態(tài)空間模型參數(shù)的辨識(shí)

2.1系統(tǒng)矩陣A(k)和輸出矩陣C(k)的辨識(shí)

式中上標(biāo)“^” 為系統(tǒng)的辨識(shí)值。

(17)

(18)

2.2輸入矩陣B(k)的辨識(shí)

(19)

(20)

(21)

即

?(k)y(k)

(22)

那么每個(gè)時(shí)刻的遞推形式可以寫(xiě)為

?(k)y(k)

(23)

將式(22)和(23)寫(xiě)成廣義矩陣的形式：

(24)

式中

(25)

那么

(26)

(27)

(28)

式中：

圖1　遞推子空間方法辨識(shí)時(shí)變狀態(tài)空間模型的流程圖Fig.1 The flow chart of identify the time-varying state space model using the recursive subspace method

3數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證這種遞推方法對(duì)于狀態(tài)空間模型參數(shù)辨識(shí)的效果，數(shù)值算例首先選用一個(gè)二階彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)，如圖2所示，其中滑塊的質(zhì)量m1=m2=1 kg，阻尼系數(shù)E1=1 Ns/m，E2=0.8 Ns/m。采樣時(shí)間Δt=0.000 2 s。輸入選為隨機(jī)激勵(lì)信號(hào)，質(zhì)量塊的水平位移yi(i=1,2)作為輸出。定義輸出信號(hào)的信噪比(SNR)為

SNR=σr/σnr

(29)

式中：σr表示原輸出信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差，σnr表示含有噪聲的輸出信號(hào)標(biāo)準(zhǔn)差。在仿真中，定義SNR=20，式(10)的Hankel矩陣中M=10。考慮剛度矩陣突變情況，即

(30)

圖2　兩自由度集中質(zhì)量模型Fig.2 2DOF lumped mass model

圖3　原系統(tǒng)和辨識(shí)得到的系統(tǒng)的位移響應(yīng)值比較(SNR=20)Fig.3 Comparison of displacement response value of the original and identified systems (SNR=20)

圖4則給出了在不同信噪比下(SNR分別為50、30和15時(shí))、時(shí)間0～1 s內(nèi)的辨識(shí)得到的狀態(tài)空間模型參數(shù)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)曲線，從圖中的結(jié)果可以看出，當(dāng)信噪比較低(例如SNR=15時(shí))，仍能夠有效計(jì)算得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型；而當(dāng)SNR逐漸增加時(shí)，辨識(shí)精度得到進(jìn)一步的提高，響應(yīng)曲線也更加接近理論值。圖4的結(jié)論說(shuō)明，在不同的信噪比下能夠辨識(shí)得到時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型參數(shù)，證明這種方法是具有一定的抗噪聲能力的。

圖4　在不同信噪比下的原系統(tǒng)和辨識(shí)得到的系統(tǒng)的位移響應(yīng)值比較Fig.4 Comparison of displacement response value of the original and identified systems for different SNRs

為了進(jìn)一步驗(yàn)證這種方法對(duì)其它系統(tǒng)模型的辨識(shí)效果，再選用一個(gè)文獻(xiàn)[21]中的空間機(jī)械臂的例子，結(jié)構(gòu)如圖5所示。原文中對(duì)系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)進(jìn)行了辨識(shí)，這里我們利用本文提出的方法，辨識(shí)它的模型參數(shù)。u1和 u2為在關(guān)節(jié)上施加的力矩。關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的阻尼系數(shù)為d1和d2，轉(zhuǎn)動(dòng)剛度為k1和k2，均質(zhì)連桿的質(zhì)量均為m，長(zhǎng)度均為l?？紤]施加一個(gè)時(shí)變的作用力f(t)在連桿的自由端，令f(t)始終垂直于水平方向x軸，即與水平方向的夾角φ3=90°。連桿與水平方向的初始夾角為φ10和φ20。當(dāng)連桿受到擾動(dòng)時(shí)，連桿將會(huì)在它們的平衡位置附近振動(dòng)，則實(shí)際角度為φ1=φ10+φ11和φ2=φ20+φ21。假定角度的振動(dòng)是很小的，系統(tǒng)的一般形式的動(dòng)力學(xué)方程可以寫(xiě)為

(31)

式中：

Δφ0=φ10-φ20， Δφ1=φ10-φ3， Δφ2=φ20-φ3。

圖5　二連桿機(jī)械臂模型Fig.5 Model of two-link robotic manipulator

在仿真中，首先將式(31)改寫(xiě)為狀態(tài)空間方程形式。算例中的各參數(shù)給定如下：l=1 m，m=1 kg，d1=d2=0.8 Nms/rad，k1=k2=80 Nm/rad，初始角φ10=0°，φ20=90°，φ3=90°。參數(shù)矩陣中的作用力f(t)為：

(32)

式中：f0=20 N，Δf=10 N。而輸入u(t)采用高斯分布的隨機(jī)激勵(lì)信號(hào)。輸出矩陣直接給定為C=I，即y=x，輸出信號(hào)的信噪比SNR=50，采樣時(shí)間Δt=0.01 s。利用本文提出的方法辨識(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，其中構(gòu)建的Hankel矩陣中M=20，遺忘因子β=0.98。

圖6　原系統(tǒng)和辨識(shí)得到的系統(tǒng)的響應(yīng)值比較Fig.6 Comparison of response value of the original and identified systems

Hankel行塊矩陣數(shù)目M計(jì)算時(shí)間/s本文遞推方法時(shí)變ERA方法M=107.7523.01M=209.8448.05M=3014.0183.62M=4016.12129.31

4結(jié)論

針對(duì)線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型的辨識(shí)，本文從遞推子空間理論出發(fā)，提出了一種遞推辨識(shí)系統(tǒng)矩陣的格式。這種新的遞推格式通過(guò)重建狀態(tài)空間方程中的輸入輸出關(guān)系，主要思想是構(gòu)建新的信號(hào)子空間，從而得到狀態(tài)空間模型參數(shù)矩陣。文中通過(guò)二階質(zhì)量塊和旋轉(zhuǎn)機(jī)械臂的例子，驗(yàn)證了本文提出的這一方法。最后在數(shù)值仿真中通過(guò)比較原系統(tǒng)和辨識(shí)得到的狀態(tài)空間模型的響應(yīng)值，驗(yàn)證了所辨識(shí)模型的精度。仿真算例結(jié)果表明本文提出的這種遞推辨識(shí)方法能夠有效地辨識(shí)線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型參數(shù)。與采用多組數(shù)據(jù)的重復(fù)實(shí)驗(yàn)方法相比，遞推方法具有更高的計(jì)算效率，數(shù)值仿真的結(jié)果證明了這一點(diǎn)。

參 考 文 獻(xiàn)

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Recursive identification for state space model of a linear time-varying system

NIZhi-yu1,WUZhi-gang1,2

(1. State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China;2. School of Aeronautics and Astronautics, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China)

Abstract:A novel recursive identification form for identifying state space model of a linear time-varying system was presented here. Being different from identification methods based on the singular value decomposition (SVD) and the least square estimation, the proposed recursive method was derived based on the signal subspace projection theory. The time-varying state space model of a system was obtained with the new signal subspace matrix by reconstructing the relation of input and output data. Comparing with the existing identification methods, the computation time of the proposed approach decreased because the recursive method did not require the SVD calculation. Particularly, when the system’s order was high, the advantage of computational efficiency for the recursive method was significant. In numerical simulation examples, the identified results and computational efficiency were compared with those using the classical time-varying eigensystem realization algorithm (TV-ERA) based on SVD. The simulation results showed that the proposed approach can be applied to identify the state space model of a linear time-varying system and it has a higher computational efficiency than TV-ERA does.

Key words:linear time-varying system; recursive subspace method; state space model; parametric identification

中圖分類號(hào):O321；O324；TB123

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.04.002

通信作者吳志剛 男，教授，博士生導(dǎo)師，1971年生

收稿日期：2014-09-18修改稿收到日期：2015-03-11

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11072044;11372056)；高等學(xué)校博士點(diǎn)基金資助項(xiàng)目(20110041130001)

第一作者 倪智宇 男，博士生，1985年生

E-mail：wuzhg@dlut.edu.cn