導(dǎo)數(shù)在數(shù)列問題中的應(yīng)用

王煥男　孫文福

摘 要：導(dǎo)數(shù)是微分學(xué)的核心概念之一。導(dǎo)數(shù)作為一個強有力的工具，廣泛應(yīng)用于物理學(xué)、幾何學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等不同領(lǐng)域。本文僅介紹導(dǎo)數(shù)在數(shù)列問題中的兩點應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；應(yīng)用；數(shù)列

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2016.08.272

0 引言

導(dǎo)數(shù)的思想最初是由法國數(shù)學(xué)家費馬為研究極值問題而引入的。但與導(dǎo)數(shù)概念直接相關(guān)的是以下三類問題：

（1）求變速運動的瞬時速度；

（2）求曲線上某一點處的切線；

（3）求最大值和最小值。

這三類問題在數(shù)學(xué)上都可以歸結(jié)為函數(shù)的變化率問題；雖然實際意義完全不同，但是從抽象的數(shù)量關(guān)系來看，其實質(zhì)都是函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比，在自變量的改變量趨于零時的極限。我們把這種特定的極限稱作函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

導(dǎo)數(shù)，是理論研究和實踐應(yīng)用中經(jīng)常遇到的一個問題。導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)、幾何學(xué)、經(jīng)濟學(xué)中都有著廣泛的應(yīng)用。物理學(xué)、幾何學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等學(xué)科中的一些重要概念都可以用導(dǎo)數(shù)來表示。如導(dǎo)數(shù)可以表示運動物體的瞬時速度和加速度（以勻加速直線運動為例，位移關(guān)于時間的一階導(dǎo)數(shù)是瞬時速度、二階導(dǎo)數(shù)是加速度）；可以表示曲線在一點的斜率（矢量速度的方向）；還可以表示經(jīng)濟學(xué)中的邊際和彈性。下面本文將通過兩個實例分別闡述導(dǎo)數(shù)在數(shù)列求和以及求數(shù)列最小（大）項中的兩點應(yīng)用。

1 數(shù)列求和

對于數(shù)列求和問題，有時用常規(guī)方法解決特殊題型是不容易的，我們需要一種新的方法。利用導(dǎo)數(shù)這一工具會將繁化簡、化難為易。

3 結(jié)束語

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用非常廣泛。我們可以利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、判斷函數(shù)的單調(diào)性、曲線的凹凸性；導(dǎo)數(shù)為不等式的證明和方程求解以及實際生活問題都提供了捷徑。導(dǎo)數(shù)與物理、幾何、代數(shù)關(guān)系密切。在幾何中可求切線；在代數(shù)中可求瞬時變化率；在物理中可求速度、加速度。我們知道導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用會涉及很多內(nèi)容；關(guān)于導(dǎo)數(shù)在其他方面的應(yīng)用以及相關(guān)知識還有很多。因此理解和掌握導(dǎo)數(shù)的概念尤其重要。本文通過兩個實例分別闡述了導(dǎo)數(shù)在數(shù)列求和及求數(shù)列最?。ù螅╉椫械膬牲c應(yīng)用。通過研究導(dǎo)數(shù)的這部分內(nèi)容，了解了導(dǎo)數(shù)作為微分學(xué)和積分學(xué)中的一個非常重要的概念應(yīng)用非常廣泛。由此可見，導(dǎo)數(shù)是我們研究數(shù)學(xué)問題的一個強有力的工具，在未來的學(xué)習(xí)和日常生活中，我們需要對導(dǎo)數(shù)這一概念做更進一步的理解和全面認識，使得導(dǎo)數(shù)這一有利的工具在我們的生活中發(fā)揮更多的作用！

參考文獻：

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[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析上冊[M].第三版，北京：高等教育出版社，2001：177-181.

基金項目：三亞學(xué)院2014年校級科研項目（批準號：XYYB14-07）

作者簡介：王煥男（1986-），女，黑龍江海倫人，碩士研究生，助教，主要從事組合優(yōu)化的研究。