《直線的傾斜角與斜率練習(xí)課》教學(xué)實(shí)錄及其點(diǎn)評(píng)

張勇　江潤(rùn)川

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版高中數(shù)學(xué)必修二第三章《直線與方程》的練習(xí)內(nèi)容。

【教學(xué)過程】

一、知識(shí)整理

1. 直線傾斜角的取值范圍

師：同學(xué)們，前面我們已經(jīng)學(xué)了直線的傾斜角和斜率的知識(shí)，現(xiàn)在我們回顧“所有的直線都有傾斜角嗎？”“它的取值在什么范圍？”

（教師用投影機(jī)將題目投影出來，學(xué)生用1分鐘的時(shí)間在練習(xí)，然后教師提問。）

生1：所有的直線都有傾斜角，而且它的取值范圍是[0°，180°）。

【點(diǎn)評(píng)】教師通過回顧舊知識(shí)，讓學(xué)生重新回憶直線的傾斜角和范圍的知識(shí)。

2. 直線的斜率與傾斜角的關(guān)系

師：答得好。那是否所有的直線都有斜率嗎？（讓學(xué)生思考2分鐘，然后教師提問）

生2：不是。

師：怎樣的直線沒有斜率？（傾斜角滿足什么條件的時(shí)候，直線沒有斜率？）

生2：直線的傾斜角為90°時(shí)，它的斜率不存在。

師：在斜率存在的情況下，直線的斜率k與傾斜角α有什么關(guān)系？

生2：k=tan α

師：上面的是通過直線的傾斜角求直線的斜率，還有其他方法求直線的斜率嗎？

生3：已知直線上的任意兩點(diǎn)可以求斜率。

師：若直線l上的兩個(gè)點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），它的斜率k怎么求？

生3：k=。

師：以上求斜率的兩種方法要滿足什么條件？

生3：兩種方法都要斜率存在，也就是第一種要傾斜角α≠90°；第二種要x1≠x2。

【點(diǎn)評(píng)】通過教師的引導(dǎo)啟發(fā)，讓學(xué)生回顧直線的傾斜角的取值范圍及斜率的兩種計(jì)算方法和每種方法所需要滿足的條件。

二、基本練習(xí)

師：用上面的知識(shí)進(jìn)行練習(xí)（用投影將下面的習(xí)題投影出來，讓學(xué)生去解答）

（學(xué)生練習(xí)10分鐘）

1. 判斷題

（1）直線x=1沒有傾斜角。（ ）

（2）若θ是直線l的傾斜角，則θ∈[0°，180°]。 （ ）

2. 選擇題

已知直線經(jīng)過點(diǎn)A（1，4）和B（1，2），則直線AB的傾斜角（ ）

A. 0 ° B. 30° C. 60° D. 90°

3. 填空題

已知直線l的斜率為1，則它的傾斜角為 。

4. 解答題

已知直線l經(jīng)過點(diǎn)A（2，3）、B（t，-1）且傾斜角為45°，求k的值。

（學(xué)生完成練習(xí)后，教師投影答案，經(jīng)過學(xué)生練習(xí)后，學(xué)生總體上掌握得比較好，只是選擇題相對(duì)比較難，由于學(xué)生缺乏數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，但經(jīng)過教師的點(diǎn)撥后問題解決了。）

【點(diǎn)評(píng)】教師讓學(xué)生在具體的練習(xí)過程中體現(xiàn)知識(shí)的運(yùn)用，同時(shí)通過練習(xí)檢測(cè)學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)效率。

三、專題練習(xí)

師：同學(xué)們，以上的基礎(chǔ)題完成得很好，下面我們就進(jìn)行有關(guān)的專題練習(xí)，看看怎樣？（用投影將下面的專題習(xí)題投影出來，讓學(xué)生思考并解答，最后教師提問。）

例：若直線l經(jīng)過第二、四象限，則直線l的傾斜角范圍是（ ）

A. [0°，90°] B. [90°，180°]

C. [90°，180°] D. [0°，180°]

學(xué)生思考5分鐘后，教師提問：這題如何解決？

生4：本題不知道直線的斜率，也不知道直線上的兩點(diǎn)的坐標(biāo)，覺得很難求直線l的傾斜角范圍。

師：上面基本練習(xí)的選擇題，我們用了什么數(shù)學(xué)思想？

生4：數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

師：按照題目的條件畫出直線，能否看出這條直線的傾斜角是什么角？

生4：我畫出的直線的傾斜角是鈍角。

師：鈍角的范圍是什么？本題的答案是什么？

生4：故本題選 C。

變式訓(xùn)練：求過點(diǎn)A（0，2）和點(diǎn)B（-2，a2）（a∈R）的直線的斜率的取值范圍。

【點(diǎn)評(píng)】學(xué)生通過畫出點(diǎn)B（-2，a2）所在的射線線x=-2且y≥0，然后用射線的點(diǎn)和點(diǎn)A連接，主要看所成的角的大小變化，而決定斜率的變化，這樣問題就會(huì)得到解決了。通過實(shí)踐，學(xué)生深深體會(huì)到數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想對(duì)于解答數(shù)學(xué)問題，有時(shí)候比較簡(jiǎn)單。

四、綜合練習(xí)

師：同學(xué)們，前面我們已經(jīng)練習(xí)了一些基本的和有關(guān)專題的練習(xí)，下面我們進(jìn)行一些綜合性的練習(xí)，不知大家對(duì)知識(shí)掌握得怎樣？能從中找出一般的解題規(guī)律？（用投影將下面的習(xí)題投影出來，讓學(xué)生去解答，學(xué)生練習(xí)15分鐘）

例1：直線l過點(diǎn)（k+1，2）和（k+2，tanα），則（ ）

A. 一定不是直線 的傾斜角

B. 一定是直線 的傾斜角

C. 一定不是直線 的傾斜角

D. 直線l的傾斜角是180 °±α

例2：已知三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（3，-1）、B（5，1）、C（2，t），若A、B、C三點(diǎn)共線，求t的值。

（先個(gè)人做，后小組討論）

例3：已知點(diǎn)M（1，1）、N（2，-1），問x軸上是否存在點(diǎn)P，使得∠MPN=90°？

（學(xué)生練習(xí)后，第1、2題還是做得不錯(cuò)，但是第3題覺得難以入手，教師啟發(fā)解題）

師：同學(xué)們，當(dāng)∠MPN=90°時(shí)，你們按照題目要求畫圖后，會(huì)發(fā)現(xiàn)直線MP和直線NP的傾斜角有什么關(guān)系？

生5：兩條直線的傾斜角之差的絕對(duì)值是90°。

師：那么直線的斜率有什么關(guān)系？

生5：根據(jù)類比可知，斜率之積為 （在斜率存在且不為0時(shí)），通過這樣的關(guān)系，可求得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，從而求得P點(diǎn)的坐標(biāo)。

師：學(xué)生的解題規(guī)律是怎樣？

生5：一般情況下，我們計(jì)算直線的斜率都通過直線的兩個(gè)點(diǎn)或者是直線的傾斜角都可以，但是有部分的題目我們通過數(shù)形結(jié)合的思想相對(duì)比較簡(jiǎn)單。

【點(diǎn)評(píng)】通過訓(xùn)練后，讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)的靈活性和遷移性。

五、延伸練習(xí)

師：現(xiàn)在我們對(duì)知識(shí)掌握得比較好，把一些的高考試題或者難度比較大的題作為我們挑戰(zhàn)的試刀石，如何？

（教師把題目投影出來，讓學(xué)生思考后小組討論，教師再進(jìn)行提問，最后是學(xué)生寫作答過程）

例1：已知點(diǎn)A（2，3），B（-5，2），若直線l過點(diǎn)P（-1，6），且與線段AB相交，求該直線l傾斜角的取值范圍。

例2：若有關(guān)于x的方程|x-2|-kx=0只有一個(gè)負(fù)的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

學(xué)生通過練習(xí)后，第1題，沒問題，而第2題學(xué)生覺得無從下手，這時(shí)教師提點(diǎn)：

師：通過這個(gè)方程，我們通過移項(xiàng)得到|x-2|=kx，求方程的根，也就是要求我們求哪兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)？

生6：那兩個(gè)函數(shù)分別是f（x）=|x-2|和g（x） =kx。

師：你們能畫出它們的圖象嗎？有一個(gè)負(fù)數(shù)根，也就是兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)要落在第幾象限？同時(shí)k要滿足什么條件？

這時(shí)學(xué)生通過畫出圖象，可以看出k只有滿足-1

生6：對(duì)于一些比較難的方程，我們通過變形，變成是兩個(gè)函數(shù)的圖像間的關(guān)系，也就是透過圖象去找出解題的相應(yīng)規(guī)律。

【點(diǎn)評(píng)】教師通過引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，再利用動(dòng)直線的傾斜角控制動(dòng)直線與定直線指定的象限有交點(diǎn)，從而達(dá)到求出動(dòng)直線的斜率的取值范圍的目的。

【總評(píng)】教師通過這節(jié)課，簡(jiǎn)單回顧和直線傾斜角與斜率求法。然后又通過基本練習(xí)和專題練習(xí)，將學(xué)生的基礎(chǔ)打扎實(shí)以及培養(yǎng)學(xué)生一定的解題的能力。再通過綜合練習(xí)，讓學(xué)生有綜合解決綜合性問題的能力，最后在延伸練習(xí)中，用部分相應(yīng)的高考試題作為學(xué)生解題能力的“試刀石”，檢驗(yàn)學(xué)生是否具備這種綜合性運(yùn)用和解決有關(guān)高考試題的能力。而整個(gè)過程中，幾乎都是灌輸著數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)解題的思想。

在這個(gè)過程中，學(xué)生不但深深體會(huì)到數(shù)形結(jié)合的解題思想的優(yōu)異性，也印證了學(xué)生通過這種模式的練習(xí)課，對(duì)知識(shí)掌握得還是比較好，學(xué)習(xí)效率也提高了。與此同時(shí)驗(yàn)證了練習(xí)課的“五環(huán)節(jié)”的教學(xué)模式（知識(shí)整理——基本練習(xí)——專題練習(xí)——綜合練習(xí)——延伸練習(xí)）的教學(xué)效率是非常高，是值得我們同行的教學(xué)工作者借鑒的。

（作者單位：張 勇 廣東省廣州市增城區(qū)新塘中學(xué)；江潤(rùn)川 廣東省廣州市花都區(qū)花東中學(xué)）