淺談函數(shù)教學(xué)中的對(duì)稱性問(wèn)題

江蘇省白蒲高級(jí)中學(xué)(226500)

葛雯雯●

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淺談函數(shù)教學(xué)中的對(duì)稱性問(wèn)題

江蘇省白蒲高級(jí)中學(xué)(226500)

葛雯雯●

對(duì)稱性是函數(shù)的一項(xiàng)基本性質(zhì)，不僅準(zhǔn)確詳細(xì)地刻畫了函數(shù)各部分之間的關(guān)系，同時(shí)利用對(duì)稱性也能巧妙解題.本文主要從函數(shù)自身對(duì)稱，不同函數(shù)的對(duì)稱和函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用這三方面入手，著重為我們闡述了該如何應(yīng)用函數(shù)的對(duì)稱性，并且對(duì)一些典型的例題進(jìn)行了分析和講解，以便學(xué)生能夠熟練地應(yīng)用函數(shù)的對(duì)稱性去解題.

函數(shù)對(duì)稱性；自身對(duì)稱；對(duì)稱應(yīng)用

一、自身對(duì)稱、深入剖析

其實(shí)，我們對(duì)于函數(shù)的自身的對(duì)稱性主要是從兩個(gè)方面入手的，即函數(shù)自身關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱和關(guān)于直線的對(duì)稱，只要將函數(shù)這兩方面的性質(zhì)熟練掌握并靈活應(yīng)用，那么函數(shù)自身的對(duì)稱性這一模塊我們便可輕松攻破了.

題目“已知函數(shù)y=f(x)滿足方程f(x)+f(4-x)=2，則y=f(x)關(guān)于( )對(duì)稱.”這類問(wèn)題的求解思路其實(shí)很簡(jiǎn)單，很明顯根據(jù)題干所給信息我們可知f(x)是關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的，我們知道函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)A(a,b)對(duì)稱的充要條件是f(x) +f(2a-x) = 2b，將該結(jié)論代入可得題目中的對(duì)稱點(diǎn)應(yīng)該(2,1)，這樣的話這類問(wèn)題也就迎刃而解了.其實(shí)關(guān)于直線對(duì)稱問(wèn)題的求解思路也是一樣，我們需要讓學(xué)生們記下結(jié)論y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱的充要條件是f(a+x)=f(a-x)即f(x)=f(2a-x).然后代入公式求解即可.而對(duì)于三角函數(shù)sinx，tanx等這類特殊函數(shù)的對(duì)稱性的研究我們需要具體問(wèn)題具體分析，我們需要讓學(xué)生們熟練畫出這類函數(shù)的圖象，然后再根據(jù)圖象寫出相應(yīng)函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心.

總體來(lái)說(shuō)，對(duì)于函數(shù)的自身的對(duì)稱性的問(wèn)題的求解這類問(wèn)題比較套路化，只需代入結(jié)論便可直接寫出答案.

二、多種對(duì)稱、熟記性質(zhì)

對(duì)于函數(shù)對(duì)稱性的研究，除了研究函數(shù)自身的對(duì)稱性這一部分，還有一大模塊即是對(duì)不同函數(shù)的對(duì)稱性的研究，對(duì)于不同函數(shù)的對(duì)稱性，我們需要具體問(wèn)題具體分析，根據(jù)不同函數(shù)的特點(diǎn)來(lái)對(duì)癥下藥.

下面我們選擇一道有代表性的題來(lái)具體分析一下怎樣求解函數(shù)關(guān)于某點(diǎn)或者某條直線的對(duì)稱函數(shù)：“若函數(shù)f(x)與g(x)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(x)=2x2+4x-7，求g(x)解析式.”這個(gè)問(wèn)題很明顯是關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的，這類問(wèn)題的求解思路其實(shí)很簡(jiǎn)單，我們需在函數(shù)上選取幾個(gè)有代表性的點(diǎn)，求出這幾個(gè)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱坐標(biāo)，之后我們利用函數(shù)對(duì)稱之后形狀不變的特性將這幾個(gè)點(diǎn)代入便可以求得對(duì)稱后的方程了，這類問(wèn)題也就迎刃而解了.關(guān)于直線對(duì)稱問(wèn)題的求解思路也是一樣，我們只需按照固定的套路按部就班地進(jìn)行求解即可.而有些函數(shù)由于其自身的特殊性，比如本題中的原函數(shù)是二次函數(shù)，我們可以充分利用其對(duì)稱軸和頂點(diǎn)的特點(diǎn)，若能結(jié)合性質(zhì)代入特殊點(diǎn)可能會(huì)大大簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程.所以說(shuō)對(duì)于不同函數(shù)的對(duì)稱性來(lái)說(shuō)，我們不能一概而論，要結(jié)合不同函數(shù)自身的性質(zhì)來(lái)選取合適的點(diǎn)代入，這樣的話才會(huì)事半功倍.

關(guān)于不同函數(shù)的對(duì)稱性，也有一些總結(jié)好的結(jié)論和公式，比如：函數(shù)y=f(x)與y=2b-f(2a-x)的圖象關(guān)于點(diǎn)A(a,b)成中心對(duì)稱，函數(shù)y=f(x)與y=f(2a-x)的圖象關(guān)于直線x=a成軸對(duì)稱等，這些結(jié)論可以讓學(xué)生們針對(duì)自己實(shí)際的學(xué)習(xí)情況酌情選擇記憶.

三、應(yīng)用對(duì)稱、巧妙解題

在上面我們對(duì)于函數(shù)本身的對(duì)稱性和不同函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行了初步的研究，所以我們?cè)诮虒W(xué)的過(guò)程中，我們需要引導(dǎo)巧妙的應(yīng)用函數(shù)的對(duì)稱性的相關(guān)結(jié)論來(lái)進(jìn)行解題，不僅可以極大地簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，更能有效的拓展學(xué)生們的數(shù)學(xué)思維.

比如在蘇教版高中數(shù)學(xué)中就有很多應(yīng)用函數(shù)對(duì)稱性解題的例子：“假設(shè)函數(shù)y=f(x)，y=g(x)都有反函數(shù)，且f(x-1)與g-1(x-2)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，若g(5)=2014，求f(4).”對(duì)于這類題目，很多學(xué)生剛一看可能會(huì)感覺(jué)毫無(wú)頭緒，不知要從哪里下手，但是若是能夠結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行思考可能學(xué)生們就會(huì)感到“柳暗花明又一村”了.我們不妨這樣想：因?yàn)閒(x-1)與g-1(x-2)的圖象關(guān)于y=x對(duì)稱，所以我們知道f(x-1)與g-1(x-2)互為反函數(shù)，再結(jié)合反函數(shù)的定義和性質(zhì)我們可知y=g-1(x-2)的反函數(shù)是y=2+g(x)，所以2+g(x)=f(x-1)，所以f(4)=f(5-1)= 2+g(5)=2016.在對(duì)這道題進(jìn)行求解的過(guò)程中，我們不光應(yīng)用了函數(shù)的對(duì)稱性，更是結(jié)合了反函數(shù)的性質(zhì)，所以說(shuō)我們?cè)谇蠼獠煌瘮?shù)的對(duì)稱性類型的題目時(shí)要注意結(jié)合函數(shù)自身的特點(diǎn)，這樣的話這種類型的題便都可以迎刃而解了.

通過(guò)對(duì)近幾年來(lái)的高考中有關(guān)對(duì)稱性的題目的研究我們可以發(fā)現(xiàn)，這類題目的靈活性很強(qiáng)，題型往往會(huì)比較新穎，大多數(shù)學(xué)生剛看到題時(shí)可能會(huì)感到無(wú)從下手，但是我們要讓學(xué)生們要堅(jiān)信“萬(wàn)變不離其宗”這個(gè)道理，只要靜下心來(lái)利用所學(xué)知識(shí)仔細(xì)應(yīng)對(duì)即可.

[1]陸修群.淺談抽象函數(shù)的對(duì)稱性[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2011(14).

[2]程海龍.淺談高中數(shù)學(xué)教材中函數(shù)對(duì)稱性問(wèn)題[J].高中生學(xué)習(xí)，2012(12).

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