繩-船模型的教學(xué)研究

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繩-船模型的教學(xué)研究

摘 要：繩-船模型是典型的運動學(xué)問題，已見的解答存在令人費解之處．本文細致探究了繩-船模型的解法，結(jié)果表明：有3種可行的中學(xué)物理方法、2種基本的大學(xué)物理方法；討論了解決繩-船模型的疑惑，提出了相應(yīng)的教學(xué)建議．

關(guān)鍵詞：繩-船模型物理過程物理概念物理方法

1引言

繩-船模型是典型的運動學(xué)問題.如圖1，岸上某人用繞過定滑輪的不可伸長的(輕)繩以勻速v0拉湖面上連接繩的小船靠岸，當(dāng)繩與水平面成角θ時，小船的速度有多大？

常見的流行解析為：船(或連接船的繩端)的運動為合運動，分解為沿繩方向和垂直繩方向的分運動，于是得船速大小為

圖1　繩-船模型

然而，繩-船模型的解析均基于似乎憑想象確認的船(或連接船的繩端)的運動效果——沿繩方向收縮、繞定滑輪轉(zhuǎn)動[1~4]，難免令人費解．如何從物理理論論證船的運動效果？對繩-船模型，有哪些合理的解法？怎樣從物理學(xué)方法論層次理解？本文就此進行相應(yīng)的探究，以期釋疑解惑、明晰繩-船模型的物理實質(zhì)，并為其開放式教學(xué)設(shè)計奠定基礎(chǔ)．

2解法探究

2.1中學(xué)物理解法

2.1.1微元法

如圖2，斜繩與定滑輪相切處O為參考點，經(jīng)時間Δt，船沿湖面由A點運動到B點，位移矢量為Δr，取OC=OB，則船的位移矢量三角形為△ABC；Δt足夠短或趨于零時，分位移Δr2垂直于分位移Δr1；因此，船的運動自然而然是沿繩的分運動、垂直繩的分運動的合運動．Δt足夠短或趨于零時，由圖2的三角函數(shù)關(guān)系得

(1)

Δr2=Δr1tanθ

(2)

圖2　船的位移關(guān)系

依據(jù)瞬時速度概念有

(3)

(4)

(5)

v的方向水平向左，v1的方向沿繩向上，v2的方向垂直繩向下，如圖3所示．依題意：繩收縮，則由式(4)得

v1=v0

(6)

圖3　船的速度關(guān)系

由式(1)～(6)得

(7)

v2=v0tanθ

(8)

式(6)、(7)、(8)分別是船的分速度v1，合速度v，分速度v2的大小的表達式．

由圖2的位移矢量圖可形象理解為什么船速v大于繩速v1——Δt足夠短或趨于零時，直角△ABC的斜邊Δr大于直角邊Δr1，從而有式(1)、(3)、(4)、(6)；或由速度矢量圖3形象理解之——分速度v1與v2垂直，合速度v大于分速度v1(“大于”指大小關(guān)系)．

2.1.2合成法

由圖2的位移矢量△ABC知：Δt足夠短或趨于零時，船的運動是沿繩的分運動、垂直繩的分運動的合運動；相應(yīng)地，船的速度v是沿繩收縮的速度v1，繞O轉(zhuǎn)動的速度v2的合速度，速度矢量圖如圖3；由題意v1=v0，結(jié)合圖3的三角函數(shù)關(guān)系可得式(7)、(8)．

雖然矢量的分解與合成互逆，但此處的問題是知分速度v0的大小、方向，求合速度v的大小(方向已知，沿水平向左)，這是速度的合成；因此，稱為合成法更合乎物理邏輯．

2.1.3能量(守恒)法

不計定滑輪的質(zhì)量、滑輪與軸間的摩擦、繩的質(zhì)量，則在人用繞過定滑輪的繩拉船的過程中，繩拉船做的功應(yīng)等于人拉繩做的功(即人輸出的能量)；因繩、船連動，則繩拉船的功率等于人拉繩的功率，即[2]

P繩=P人

(9)

而

P繩=Fvcosθ

(10)

P人=Fv0

(11)

式中F為繩拉船的力的大小，等于人拉繩的力的大小(均等于繩的彈力大小)；由式(9)～(11)可得式(7)．

由式(9)～(11)可理解為什么船速v大于繩速v0．繩拉船時，繩的拉力與船速有不為零的夾角，為使繩拉船的功率P繩等于人拉繩的功率P人，必使船速v大于人拉繩的速度v0．

2.2大學(xué)物理解法

2.2.1直角坐標分量法

湖岸為參考系，斜繩與定滑輪相切處為原點O，建立平面直角坐標系O-xy，如圖4所示.

圖4　船的直角坐標

將船作為研究對象，視作質(zhì)點，位置坐標為(x,y)，位置矢量為

r=xi+yj

(12)

式中r，x均是時間t的變量，而y=h為恒量(因船沿湖面水平向左運動)；則船的速度為

(13)

由圖4的幾何關(guān)系，有

x2=r2-y2

(14)

對t求導(dǎo)，得

(15)

依題意,繩縮短，則有

(16)

由式(13)、(15)、(16)得

(17)

再由式(14)～(17)得船的加速度[5]

(18)

式(17)、(18)由圖4的幾何關(guān)系可表示為

(19)

(20)

式(17)、(18)或(19)、(20)表明：船的速度、加速度的方向均沿x軸反向．

2.2.2直角坐標參量法

參考系、坐標系同前，如圖4，取r與θ為參量，則船的位置坐標可表示為

x=rcosθ

(21)

y=rsinθ

(22)

式中x,r,θ均是時間t的變量，而y=h為恒量(因船湖面沿水平向左運動)；求導(dǎo)得

(23)

(24)

由式(23)、(24)和同理的式(16)得

(25)

(26)

再由式(25)、(26)得船的加速度

(27)

式(25)、(27)中的負號表明：船的速度、加速度的方向均沿x軸反向．

3疑惑討論

3.1如何理解船的合運動

繩-船模型的研究對象是船，應(yīng)依據(jù)瞬時速度概念求船的速度；而從運動學(xué)求解速度的基本方法之一是基于位移，這就自然、合理地要考察船的位移Δr；而求解Δr必然要與題設(shè)已知的繩速關(guān)聯(lián)，即與繩縮短的位移Δr1關(guān)聯(lián)；因繩、船連動，則有圖2所示的船的位移矢量三角形就成為使然．Δt足夠短或趨于零時，則有圖3所示的船的速度矢量圖．這樣就從物理概念(位移、速度)論證了船的運動是沿繩的分運動和垂直繩的分運動的合運動．參見圖2，Δt足夠短或趨于零時，可將船的位移Δr等效為相對于參考點O的位置矢量r(圖2中未畫出)的大小變化即分位移Δr1[引起分速度v1，參見式(6)]和方向變化即分位移Δr2[引起分速度v2，參見式(8)]．這樣就從等效觀自然而然地論證了船的運動是沿繩方向的分運動和垂直繩方向的分運動(即先由A點到C點的分運動v1、再由C點到B點的分運動v2)的合運動．

3.2能否觀察到船的分運動

試圖用平面極坐標解釋船的運動效果為沿繩運動、垂直繩轉(zhuǎn)動，并預(yù)言能實際觀察到這兩個效果[3]，進而說明有圖3所示的“速度分解”．這似乎是靠想象、憑經(jīng)驗的結(jié)論．

平面極坐標系為動坐標系，即坐標單位矢量r，θ是變矢量；而平面直角坐標系為恒坐標系，即坐標單位矢量i與j為恒矢量；用平面極坐標解決繩-船模型無形之中提高了要求--需確定坐標單位矢量的時間導(dǎo)數(shù)[6]．因此，繩-船模型的解決，從大學(xué)物理考慮，用平面直角坐標較簡捷．

3.3船的分運動的合成結(jié)果

圖3所示的垂直繩的分運動v2可能引起學(xué)生的疑惑(既然有分運動v2，船為什么沒有向下運動或潛入水下？)，為此，按圖5將v1，v2分別沿豎直、水平方向分解得

圖5　船的分運動的分解

v3=v1sinθ

(28)

v4=v2cosθ

(29)

v=v1cosθ+v2sinθ

(30)

由式(28)、(6)和式(29)、(8)得

v3=v0sinθ

(31)

v4=v0sinθ

(32)

由式(30)、(6)、(8)可得式(7)．

式(31)、(32)表明：分運動v1，v2合成的結(jié)果是豎直方向的運動效果彼此抵消、僅有水平向左的運動效果，即船的可實際觀察到的運動．學(xué)生若能認識到船的分運動的合成結(jié)果，則其心中的疑惑(如有分運動v1，船怎么沒有豎直向上運動？有分運動v2，船怎么沒有豎直向下運動？)便可迎刃而解．

3.4涉及的物理方法

就中學(xué)物理而言，繩-船模型考查的是物理概念(位移，速度)、物理方法(微元法、合成法，能量法，等效法)；因此，從物理方法(特別是等效法)層次理解繩-船模型顯得尤為必要．

圖6

將圖3的分速度v2分別沿繩方向、豎直方向分解，得分速度v5，v6，如圖6；再將分速度v1，v5合成得v7，至此船的合運動v等效為分運動v6，v7，如圖7.

圖7

相應(yīng)速度大小關(guān)系為

v5=v2tanθ

(33)

(34)

v7=v1+v5

(35)

再結(jié)合式(6)、(8)得

v5=v0tan2θ

(36)

(37)

(38)

由式(37)、(38)和圖7可進一步檢驗分運動v6，v7的合運動的確是船的運動v，即式(7)．這就推證了分運動v6，v7與分運動v1，v2等效，且與合運動v等效．事實上，不同形式的分運動，不僅相互等效，而且與合運動等效；但就繩-船模型而言，基本形式的分運動是圖3所示的v1，v2．

比較上述繩-船模型的解法知，微元法、合成法是運動學(xué)的基本方法，但合成法以微元法為基礎(chǔ)；能量法是后續(xù)的基本方法；導(dǎo)數(shù)法是物理概念與數(shù)學(xué)工具相結(jié)合的嚴密方法，但目前高中物理尚未要求、仍可嘗試(待學(xué)習(xí)了高中數(shù)學(xué)的導(dǎo)數(shù)內(nèi)容后，大學(xué)物理中導(dǎo)數(shù)法是解決運動學(xué)問題的基本方法)．因此，微元法、合成法、能量法是目前解決繩-船模型的高中物理基本方法．

由上述討論知，依據(jù)物理概念達到物理方法的層次，方能對繩-船模型理解到位，可使問題的解決有根有據(jù)、邏輯嚴謹、層層遞進、步步深入；因此，若達此水平，不僅知其然而且知其所以然，即便是中學(xué)物理與大學(xué)物理間的“邊緣試題”或“擦邊球試題”[3]，也能依據(jù)相關(guān)物理概念、規(guī)律、方法基本解決，而不再依賴某種“經(jīng)驗”或“套路”．

4教學(xué)建議

基于上述解法、討論，提出以下參考性教學(xué)理念、教學(xué)策略的建議．

4.1教學(xué)理念

學(xué)生解決繩-船模型的兩種典型錯解[4]表明：學(xué)生出錯是憑感覺、想當(dāng)然，或受運動的合成與分解的思維定勢的驅(qū)使，或思維片面性所導(dǎo)致；而有些教師對此問題的講解似乎是憑經(jīng)驗、重結(jié)果、湊答案[4]，難免“美中不足”或有點遺憾．由上述解法、討論知，認清船或連接船的繩端的運動過程是解決問題的基礎(chǔ)，合理運用相關(guān)物理概念、物理方法是解決問題的關(guān)鍵；因此，回歸物理過程、物理概念、物理方法是解決繩-船模型的教學(xué)基本理念．

4.2教學(xué)策略

雖然就繩-船模型的教學(xué)提出了針對學(xué)生兩種典型錯解的順學(xué)而導(dǎo)、補全原解的策略，并進行了有益的教學(xué)實踐嘗試[4]；但此策略主要是順著學(xué)生錯解的思路、教師點撥引導(dǎo)、學(xué)生達到正解、學(xué)生對比反思，并未深究學(xué)生錯解的思維起點(兩錯解的思維起點分別是：分解繩速，誤認為繩速沿水平方向的分速度等于船速；分解船速，誤認為船速沿繩方向的分速度等于繩速)，學(xué)生的反思也未必能理解繩端的運動效果(因為教師的引導(dǎo)基于運動過程的想象，未進行嚴謹?shù)奈锢砝碚撏谱C)．

基于上述教學(xué)理念，若按學(xué)生嘗試→教師講解→師生對話的教學(xué)過程解決繩-船模型，則相應(yīng)的教學(xué)策略的要點為：學(xué)生識錯→轉(zhuǎn)錯→省錯，教師點錯→修錯→思錯，師生適應(yīng)→響應(yīng)→認同；三者既相互對應(yīng)，又辯證統(tǒng)一．

5結(jié)語

本文給出了船的運動為什么是沿繩方向分運動、垂直繩方向分運動的合運動的理論論證，呈現(xiàn)了解決繩-船模型的3種中學(xué)物理方法和2種大學(xué)物理方法，提供了“同題異法”的一個典型實例；討論了解決繩-船模型的疑惑，進而奠定了教學(xué)的物理理論基礎(chǔ)；提出了基于物理過程、物理概念、物理方法解決繩-船模型的參考性教學(xué)建議．

或許“不識廬山真面目，只緣身在此山中”，對中學(xué)物理疑惑性、難點性問題，其解決的有效途徑之一應(yīng)是回歸物理過程、物理概念、規(guī)律、物理方法(包括大學(xué)物理層次的居高認識)，同時應(yīng)借鑒相關(guān)的教育理論研究成果、教學(xué)實踐經(jīng)驗，使問題的解決既有堅實的物理依據(jù)，又有可靠的教育理論基礎(chǔ)和教學(xué)實踐基礎(chǔ)，進而有效培養(yǎng)學(xué)生解決物理問題的能力．

參 考 文 獻

1方銀良．為何繩端速度如此分解．物理教師，2010，31(2)：14

2馬皓．再論“為何繩端速度如此分解”．物理通報，2012(1)：109～110

3宋金洪．對一道物理試題的追問．物理教師，2013，34(7)：64～65

4劉桂枝． 順學(xué)而導(dǎo) 補全原解——基于學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”的“拉船模型”糾錯策略． 物理教師， 2013， 34(12)： 25～26

5胡盤新，孫迺疆．普通物理學(xué)(第5版)習(xí)題分析與解答．北京：高等教育出版社，2003．9～10

6Kleppner D，Kolenkow R J．力學(xué)引論．寧遠源，等譯．北京：人民教育出版社，1980．33～35，43

Teaching Research on Rope - ship Models

He Shuping

(Research Institute of Physics Education，College of Education，Northwest Normal University，Lanzhou,Gansu730070)

Abstract：The rope-ship model is a typical kinematics problem，its solution of having already been seen exists puzzling．This paper in detail explores the solution of rope-ship model，the results show that: there are 3 kinds of feasible methods of high school physics，2 kinds of basic college physics methods；the doubles of solving rope-ship model are discussed，and corresponding teaching suggestions are put forward．

Key words：rope-ship model；physics process；physics concept；physics method

(收稿日期：2015-10-10)

作者簡介：何述平*何述平(1964-)，男，碩士，副教授，主要從事物理教學(xué)論的理論和實驗的教學(xué)與研究工作．
(西北師范大學(xué)教育學(xué)院物理教育研究所甘肅 蘭州730070)