楊氏雙縫干涉圖樣的理論模擬

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楊氏雙縫干涉圖樣的理論模擬

摘 要：本文在未經(jīng)任何理論近似的情況下，模擬了楊氏雙縫干涉實驗中觀察屏上的干涉圖樣，模擬結(jié)果不但有利于學生全面掌握干涉條紋的分布規(guī)律，而且有助于學生體會實驗條件的重要性．

關(guān)鍵詞：雙縫干涉光程差模擬

1801年，楊氏雙縫干涉實驗證實了光的波動性，并首次成功測量了光的波長，為光的波動學說發(fā)展奠定了堅實的基礎(chǔ)，因此，該實驗在物理學史上具有重要的地位和作用．楊氏雙縫干涉實驗中，雙縫到觀察屏上任意點的距離差，即兩光束的光程差至關(guān)重要，因為它直接決定了觀察屏上干涉條紋的分布情況．

現(xiàn)有大學物理教材在給出觀察屏上條紋分布時，大都先經(jīng)過理論近似給出近似的光程差表達式[1~4]，然后，將光程差表達式和光的干涉加強和減弱的條件聯(lián)立，得出屏幕上干涉條紋是明、暗相間的等間隔的直條紋的結(jié)論．在近似表達式基礎(chǔ)上得到的結(jié)論畢竟不能真實反映條紋分布，所以采用近似方法處理光程差不利于學生全面了解條紋的真實分布．觀察屏上實際的條紋分布應是怎樣的呢？少數(shù)教材[5]雖提到觀察屏上以強度相等為特征的點的軌跡應是一組雙曲線，但并未有詳細說明．

本文在未經(jīng)任何近似的情況下，理論模擬了觀察屏上干涉明紋分布，并對條紋分布特點進行了總結(jié)．

1明暗干涉條紋所滿足的方程

圖1為楊氏雙縫干涉實驗光路示意圖．

圖1　楊氏雙縫干涉實驗光路示意圖

設(shè)雙縫S1，S2的間距為d，O為雙縫S1，S2的中點，雙縫所在平面與光屏平行．雙縫與屏之間的垂直距離為D，在屏上取任意一點P，設(shè)定點P與雙縫S1，S2的距離分別為r1和r2，Δr為光程差，結(jié)合圖1中虛線易得

所以，雙縫S1，S2發(fā)出的光到達屏上P點的光程差

Δr=r2-r1=

(1)

根據(jù)光的干涉的相關(guān)理論，當兩光束光程差滿足公式

Δr(x,y，D)=kλ,

k=0,±1,±2，…，±n

(2)

時，觀察屏上滿足公式(2)的點為亮點，同一k值所對應的亮點連起來構(gòu)成第k級明紋．當光程差滿足公式

k=0，±1，±2，…，±n

(3)

時，觀察屏上滿足公式(3)的點為暗點，同一k值所對應的暗點連起來構(gòu)成第k級暗紋．

2理論模擬結(jié)果

根據(jù)公式(1)~(3)，通過改變d，D或入射波長λ值，即可獲得不同條件下觀察屏上的干涉條紋分布．因明、暗條紋分布情況類似，我們僅給出明紋模擬結(jié)果．在模擬過程中，入射單色光波長設(shè)為500 nm，圖2~圖5中的x軸和y軸分別對應圖1觀察屏上的x和y軸．

2.1D取不同值在較大范圍內(nèi)觀察的情況

當d=0.1 mm，D取不同值時，在較大觀察范圍內(nèi)，屏幕上干涉明紋的分布情況.

圖2(a)~圖2(d)給出了d=0.1 mm，D分別為0.5 m，1 m，1.5 m和2 m時，屏幕上較大觀察范圍(相對于楊氏雙縫實驗中通常的觀察線度)內(nèi)中央明紋及左右±50級明條紋的分布情況．圖2中x和y軸坐標均在[-0.7 m，0.7 m]之間．

圖2　d=0.1 mm，D取不同值時，屏幕上較大觀察范圍內(nèi)明紋分布

由圖2可知，觀察屏上較大范圍內(nèi)，當D分別為0.5 m，1 m，1.5 m和2 m時，觀察屏上明條紋(除中央明紋外)確實呈典型雙曲線形狀且對稱分布在中央明紋兩側(cè)，而不是等間距的直條紋分布，但隨著D的增加，雙曲線的彎曲程度明顯減小．另外，隨著D增加，條紋間間距加大，明紋在x軸分布范圍逐漸加寬．當D為0.5 m時，-50級至+50級明紋基本上分布在x軸上 [-0.2 m，0.2 m]之間，當D為1 m,1.5 m，分別分布在[-0.3 m，0.3 m]和[-0.4 m，0.4 m]之間，至D=2 m時，分布已擴展到[-0.55 m，0.55 m]之間．

2.2D取不同值在較小范圍內(nèi)觀察的情況

當d=0.1 mm，D取不同值時，在較小觀察范圍內(nèi)，屏幕上干涉條紋的分布情況.

圖3(a)~3(d)給出了d=0.1 mm，D分別為0.5 m，1 m，1.5 m和2 m時，在較小觀察范圍內(nèi)，觀察屏上明紋分布圖．圖3中x軸和y軸坐標均在[-0.06 m，0.06 m]之間[圖3(a)~3(d)實質(zhì)分別對應圖2(a)~2(d)的一小部分]．

圖3　d=0.1 mm，D取不同值時，屏幕上較小觀察范圍內(nèi)明紋分布

由圖3(a)~3(d)可知，在較小觀察范圍內(nèi)，當D為0.5 m時，較高級次明紋仍呈現(xiàn)雙曲線形，但中央明紋附近級次已非常接近直線分布．隨著D增加，當D為1 m，1.5 m和2 m時，目測各級明紋均已呈平行等距直線分布．另外，隨著D增加，條紋分布由密集變稀疏，條紋間距增大，觀察屏上干涉明紋數(shù)量減?。擠=0.5 m時，條紋比較密集，條紋數(shù)量為23×2+1條；D為1 m和1.5 m時，條紋數(shù)量分別為11×2+1條，1.5 m時的7×2+1條；而D為2 m時，只能觀察到5×2+1條．

2.3d取不同值在較小范圍內(nèi)觀察的情況

當D=1.5 m，d取不同值時，在較小觀察范圍內(nèi)，屏幕上干涉明條紋的分布情況.

圖4(a)~4(d)為D=1.5 m，d分別為0.02 mm，0.1 mm，1 mm和3 mm時，在屏幕上較小觀察范圍內(nèi)的分布[圖4(c)~4(d)中只顯示了中央明紋及其左右各50級干涉明紋]．由圖4的模擬結(jié)果可知，當D為1.5，在觀察屏上較小范圍內(nèi)，隨著d增加，相鄰級次明紋間距變窄．當d為0.02 mm時，在屏幕上較小觀察范圍內(nèi)，只能觀察到3條明紋(包括中央明紋及其左右±1級明紋)；d=0.1 mm時，能觀察到7×2+1條明紋(到第7級)；而d=3 mm時，條紋間距小的已無法用肉眼分辨；當d大于3 mm，觀察屏上的明紋會進一步聚集而變得更窄，此時，在觀察屏上應只觀察到一條亮線，無法觀測到干涉現(xiàn)象．這與干涉理論是一致的，因為隨著d的增加，當d大到一定程度時，兩縫光源將不再滿足相干光源條件，所以也就無法觀察到干涉現(xiàn)象．

圖4　D=1.5 m，d取不同值時，屏幕上較小觀察范圍內(nèi)明紋分布

2.4入射波長值取不同在較小范圍內(nèi)觀察的情況

當D=1.5 m，d=0.1 mm，入射波長分別為400 nm，500 nm，600 nm和700 nm時，在較小觀察范圍內(nèi)，屏幕上干涉明條紋的分布情況.

圖5(a)~5(d)為D=1.5 m，d=0.1 mm，波長分別為400 nm，500 nm，600 nm和700 nm時，在屏幕上較小觀察范圍內(nèi)的分布．由圖5可知，當D為1.5，d=0.1 mm時，在觀察屏上較小范圍內(nèi)，隨著波長增加，相鄰級次明紋間距變大，觀察到的條紋數(shù)量變少．當波長分別為400 nm，500 nm，600 nm和700 nm時，在屏幕上較小觀察范圍內(nèi)，分別能觀察到9×2+1=19條、7×2+1=15條、6×2+1=13條和5×2+1=11條明紋．

圖5　D=1.5 m，d=0.1 mm，波長取不同值時，

由上述模擬結(jié)果可知：

(1)D取不同值時，在x軸右側(cè)的觀察屏上均能觀察到干涉條紋，由于在兩相干光波疊加區(qū)域內(nèi)，處處都存在干涉的現(xiàn)象，稱為不定域干涉，因而楊氏雙縫干涉為非定域干涉．

(2)嚴格來說，觀察屏上的條紋除中央明紋外為一系列雙曲線，并非等間距直線．只是在較小觀察范圍內(nèi)，才觀察到平直的等間距干涉條紋，并且，隨著D的增加，條紋間距變大．

(3)在同一D下，隨著d增加，相鄰級次明紋間距變窄，當d大到一定程度，肉眼將無法分辨干涉條紋．

(4)在D和d一定，入射波長不同時，隨著入射波長增加，條紋間距變大，可觀察到的條紋數(shù)量減小．

(5)D為m量級，d為0.1 mm量級，實驗室可觀察到清晰干涉條紋．

3結(jié)論

本文在未經(jīng)任何理論近似的情況下，通過改變不同參數(shù)，模擬了觀察屏上干涉明紋的分布，該模擬結(jié)果不但直觀地展示了干涉條紋分布特點，有助于學生對干涉條紋分布規(guī)律的理解和掌握，而且可在一定程度上指導楊氏雙縫干涉實驗．另外，通過對比不同參數(shù)下的模擬結(jié)果，可引發(fā)學生對實驗條件的關(guān)注，認識到實驗條件的重要性．

參 考 文 獻

1程守洙, 江之永．普通物理學．北京：高等教育出版社，1998.175~176

2張三慧．大學基礎(chǔ)物理學．北京：清華大學出版社，2003.592~593

3馬文蔚, 周雨青, 解希順．物理學教程．北京：高等教育出版社，2006.185

4吳百詩. 大學物理.西安：西安交通大學出版社，2008.118~119

5金仲輝, 柴麗娜．大學基礎(chǔ)物理學．北京：科學出版社，2010.260

Theoretical Simulation on Young′s Double-slit Interference Pattern

He KunnaHan PingZhu ShiqiuJin Zhonghui

(College of Science,China Agricultural University,Beijing100083)

Abstract：The paper theoretically simulated the fringe pattern on the screen in Young′s double-slit interference experiment in case that the theoretical analysis is not approximated. The simulation result is not only helpful for students to master the interference fringes in an all-round way, but also helpful for students to understand the importance of the experimental conditions.

Key words：double-slit interference；optical path difference；simulation

(收稿日期：2015-11-26)

作者簡介：何坤娜韓 萍朱世秋金仲輝*何坤娜(1976-)，女，博士，講師，主要從事大學物理的教學工作以及新型激光器件與技術(shù)等方面的研究．
( 中國農(nóng)業(yè)大學理學院應用物理系北京100083)