一圖一課，簡(jiǎn)約深刻——記“反比例函數(shù)專題復(fù)習(xí)課”的教學(xué)實(shí)錄與評(píng)析

☉浙江省普陀?xùn)|港中學(xué)　洪華軍☉浙江省舟山第一初中　張宏政

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一圖一課，簡(jiǎn)約深刻——記“反比例函數(shù)專題復(fù)習(xí)課”的教學(xué)實(shí)錄與評(píng)析

☉浙江省普陀?xùn)|港中學(xué)洪華軍
☉浙江省舟山第一初中張宏政

一、引言

2015年5月26日，張宏政名師工作室第8次教學(xué)研討活動(dòng)在普陀?xùn)|港中學(xué)舉行.根據(jù)導(dǎo)師安排，筆者為全體與會(huì)教師演繹了一節(jié)“反比例函數(shù)專題復(fù)習(xí)課”，雖自感教學(xué)中還存有不少缺憾，但整體設(shè)計(jì)及教學(xué)組織還是獲得了大家的一致好評(píng).為此，筆者把課堂教學(xué)實(shí)錄整理如下，與廣大同仁分享，也歡迎諸位同仁批評(píng)指正.

二、教學(xué)實(shí)錄

1.提供圖像線索，梳理相關(guān)知識(shí)

問題1：如圖1，根據(jù)圖像，你能得到什么信息？

師：還有嗎？

生2：雙曲線關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，且關(guān)于直線y=x和直線y=-x成軸對(duì)稱；圖像雖無(wú)限接近于坐標(biāo)軸，但與坐標(biāo)軸永不相交.

圖1

圖2

師：看來，同學(xué)們對(duì)反比例函數(shù)的性質(zhì)都理解得不錯(cuò)，若這條雙曲線經(jīng)過點(diǎn)A（1，2）（如圖2），你還能得出哪些信息？

生眾：可求出k=2.

（學(xué)生獨(dú)立完成，小組交流討論后派組內(nèi)成員上臺(tái)展示）

生3（指著屏幕上的圖像解釋道）：當(dāng)x≥1時(shí)，0＜y≤2，當(dāng)y<2時(shí)，x＜0或x＞1.

點(diǎn)評(píng)：從一道開放性的圖像問題入手，進(jìn)一步賦予具體的數(shù)值，既有效梳理了反比例函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，也凸顯了函數(shù)研究的重要方法——數(shù)形結(jié)合思想.問題2中對(duì)圖像信息的讀取既是學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)，也是后面環(huán)節(jié)中用圖像法解決不等式問題的關(guān)鍵，這里洪老師通過小組合作、學(xué)生互助、自主解決問題的方式進(jìn)行，既充分貫徹面向了全體的教學(xué)原則，也充分奠定了學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)基礎(chǔ).

2.突出本質(zhì)特征，強(qiáng)化基本方法

問題3：作直線AO交另一支曲線于點(diǎn)B（如圖3），你又能得出什么結(jié)論？請(qǐng)簡(jiǎn)述你的理由.

生4：點(diǎn)B（-1，-2），因?yàn)殡p曲線是中心對(duì)稱圖形，因此，A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，所以點(diǎn)B（-1，-2）.

生5：可求出直線AB的解析式為y=2x.

圖3

圖4

生6：可以求出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo).

師：怎么求呢？

師：唔，很不錯(cuò).在此基礎(chǔ)上，你們還可以得到哪些結(jié)論？

師：通過本題的解決，我們可以看到，方程、不等式與函數(shù)之間存在內(nèi)在的聯(lián)系.從圖像上看，方程組的解所對(duì)應(yīng)的有序數(shù)對(duì)就是函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)；不等式的解就是函數(shù)的部分圖像所對(duì)應(yīng)的x的值.因此，方程組、不等式問題除了用代數(shù)法解決，還可以用圖像法來解決.

點(diǎn)評(píng)：本環(huán)節(jié)一是突出圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式之間的數(shù)形轉(zhuǎn)化關(guān)系，二是旨在強(qiáng)化方程、不等式的圖像解法，有了前面問題2的鋪墊，學(xué)生能比較順利地解決此問題，從而使數(shù)形結(jié)合思想潛移默化地根植于學(xué)生內(nèi)心，也為今后二次函數(shù)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

3.代數(shù)幾何一體，方法能力共生

問題4：如圖5，過點(diǎn)A、C作直線，分別交y軸、x軸于點(diǎn)I、J，這樣你們又能得到些什么結(jié)論呢？

生8：可以求點(diǎn)I、J的坐標(biāo).

師：如何求？

生8：先求直線AC的解析式，求出來是y=-x+3，再把x=0、y=0分別代入，求出I的坐標(biāo)為（0，3），J的坐標(biāo)為（3，0）.

師：非常不錯(cuò).進(jìn)一步還能求什么？

師：剛才這位同學(xué)求△AOC的面積時(shí)遇到了一點(diǎn)小麻煩，現(xiàn)在我們都來幫他算一算.每個(gè)同學(xué)獨(dú)立完成后，請(qǐng)與組內(nèi)成員先交流，看看方法是否一致，各學(xué)習(xí)組長(zhǎng)整理下不同的解題方法后，請(qǐng)各小組派代表發(fā)言.

（約8分鐘后，各組代表分別上臺(tái)呈現(xiàn)了下列方法）

圖5

圖6

解法2：如圖6，分別過點(diǎn)A、C作AE⊥x軸于E，CF⊥x軸于F.

圖7

圖8

圖9

師：同學(xué)們都表現(xiàn)得非常好，給出了這么多的解法.那么請(qǐng)大家觀察一下這些方法，它們之間有沒有什么共性？

生10：我發(fā)現(xiàn)這些方法其實(shí)用的都是割補(bǔ)法，只不過割補(bǔ)的方式有所不同.

師：這位同學(xué)觀察的非常到位，大家再來看看這些割補(bǔ)的方式，又有什么共性嗎？

生11：我發(fā)現(xiàn)除了第一種方法用的是兩個(gè)現(xiàn)成的三角形的面積之差，其余四種方法添的輔助線要么平行于x軸，要么平行于y軸.

師：嗯，觀察的非常仔細(xì).因?yàn)樽鴺?biāo)系中平行于x軸或y軸的線段的長(zhǎng)度比較容易用坐標(biāo)來表示，這樣利用平行于兩坐標(biāo)軸的直線割補(bǔ)出來的圖形的面積相對(duì)而言也比較容易求.所以化斜為直進(jìn)行割補(bǔ)是我們解決坐標(biāo)系中幾何問題的一般思路.好了，既然已知反比例函數(shù)的解析式能求一些圖形的面積，那么，若已知圖形的面積，是否倒過來能求反比例函數(shù)的比例系數(shù)k呢？讓我們?cè)倏聪旅娴膯栴}.

幾分鐘后，巡視發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)學(xué)生還沒有解題方向.于是提醒道：既然要求k的值，那么能否用含k的代數(shù)式建立一個(gè)等量關(guān)系？請(qǐng)思考圖中哪些圖形的面積與k有關(guān)，哪個(gè)圖形的面積又容易用兩種不同的方法表示？

（一語(yǔ)驚醒夢(mèng)中人，經(jīng)過3分鐘左右的思考后）

生12：連接OH.

由HC=CF，得S△OFH=2S△DCF=k.

則S矩形OFHG=2S△OFH=2k.

則k+8=2k，故k=8.

變式1：如圖10，若矩形OFHG中，HC=nCF，四邊形AOCH的面積為8，求k的值.

圖10

圖11

（學(xué)生陷入了沉思中，幾分鐘后）

生14：老師，設(shè)點(diǎn)A（a，b），再過A、C作x軸的垂線，垂足分別為E、F，則OE=a，AE=b，再過C作CL⊥AE于L，則△ALC≌△CFJ，這樣EF=FJ，若OE=EF的話就好了，但我證不出來.

師：為你深入的思考點(diǎn)贊.但你既然設(shè)了點(diǎn)A的坐標(biāo)，為什么不先試試用含a、b的代數(shù)式來表示點(diǎn)C的坐標(biāo)呢？

師：還有不同的想法嗎？比如，能否就本圖與圖10之間進(jìn)行適當(dāng)?shù)穆?lián)系？

（這時(shí)下課鈴聲卻在不經(jīng)意中響起了，給本課留下了一絲遺憾）

點(diǎn)評(píng)：這一階段著力圍繞解析式?點(diǎn)的坐標(biāo)?圖形面積的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系而展開，既鞏固了前面的學(xué)習(xí)成果，又有機(jī)滲透了割補(bǔ)法、化斜為直、構(gòu)建方程模型等重要的數(shù)學(xué)策略及基本方法.其中圍繞k的幾何意義，著力變式拓展，方法提煉，從中有效提高了學(xué)生分析問題、解決問題的能力.值得一提的是，教學(xué)中洪老師總是能留給學(xué)生充分的思考和交流的時(shí)空，以便讓學(xué)生能在操作中思考，思考中感悟，感悟中歸納，雖然課堂看上去不那么完整，留下了少許遺憾，但卻體現(xiàn)了常態(tài)課堂的不可預(yù)見性.

三、評(píng)析

本堂復(fù)習(xí)課，突出了本工作室一直倡導(dǎo)并努力踐行的“自然、簡(jiǎn)約、大氣”的教學(xué)設(shè)計(jì)思路，以一題一課的形式展開，課堂氣氛活，思維含量足，方法落實(shí)佳，讓學(xué)生在探索中領(lǐng)悟方法，在過程中尋求發(fā)展，亦取得了較理想的復(fù)習(xí)效果.

1.一圖貫之，簡(jiǎn)約自然

眾所周知，復(fù)習(xí)課的教學(xué)既要幫助學(xué)生梳理基礎(chǔ)知識(shí)，建立知識(shí)聯(lián)系，形成認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)；更要幫助學(xué)生深入體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想方法，感悟數(shù)學(xué)基本經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而有效提升學(xué)生的思維能力.而要實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)，就必須設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)良好的問題系列進(jìn)行有效驅(qū)動(dòng).縱觀本課的設(shè)計(jì)，洪老師以數(shù)形結(jié)合這個(gè)研究函數(shù)的重要工具為主要認(rèn)知線索，以讀圖識(shí)圖為基本手段，以求解圖形面積的方法研究為重要載體，以k的幾何意義的認(rèn)識(shí)深化為拓展內(nèi)容，用1個(gè)圖形和5個(gè)銜接緊密的問題進(jìn)行有效串聯(lián)，由淺入深，層層深入，自然生成本課的全部?jī)?nèi)容.既符合學(xué)生的認(rèn)知心理，兼顧了不同層次學(xué)生的不同復(fù)習(xí)要求；也使得學(xué)生有相對(duì)充裕的時(shí)間對(duì)問題進(jìn)行深入探討，讓思維在交流中得以增值，方法在比較中得以優(yōu)化，數(shù)學(xué)本質(zhì)在思考中得以凸顯，有效達(dá)成預(yù)期的教學(xué)目標(biāo).

2.著力方法，重視能力

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中的核心認(rèn)知活動(dòng)應(yīng)是在知識(shí)的回顧、組織與運(yùn)用中，概括、提煉思想方法與解決問題的策略，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的思維能力.本課的教學(xué)對(duì)此的呈現(xiàn)令人印象深刻.一是在設(shè)計(jì)上，通過設(shè)置開放性問題，既利于全體學(xué)生積極參與，獲得不同視角下的多樣化結(jié)論，也便于學(xué)生通過對(duì)這些結(jié)論的梳理，全面掌握獲取圖像信息的方法.又如讓學(xué)生體驗(yàn)方程、不等式、函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，既是學(xué)生函數(shù)學(xué)習(xí)過程中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn).這里洪老師先用反比例函數(shù)上定義域與值域的對(duì)應(yīng)關(guān)系搭建腳手架，再過渡到兩個(gè)函數(shù)之間的大小比較，于是便生成了生7的精彩回答，有效突破了難點(diǎn).二是在教學(xué)策略上，如圍繞學(xué)生提出的△AOC的面積計(jì)算時(shí)遇到的困境，沒有讓個(gè)別優(yōu)生直接展示思路了事，而是在分組深入研究后，從多樣化的解題思路的比較中歸納共性，提煉方法，這樣在學(xué)生積極體驗(yàn)后再滲透化斜為直的數(shù)學(xué)解題策略，就取得了較好的教學(xué)效果.三是在啟發(fā)思考上，如學(xué)生在解決問題5一籌莫展時(shí)，洪老師通過提出元認(rèn)知的問題給學(xué)生提供了一般化的思考策略，從而激活了學(xué)生的思維鏈條，使學(xué)生對(duì)運(yùn)用方程模型思想解決問題也有了更深刻的認(rèn)知.

3.生為中心，突出自主

整堂課，洪老師按照基于學(xué)情、適度發(fā)展的原則，較好體現(xiàn)了“學(xué)為中心，生為主體”的教學(xué)理念.如上課伊始，先用低起點(diǎn)的開放性問題喚醒學(xué)生的學(xué)習(xí)心向，在滿足學(xué)生成功的學(xué)習(xí)體驗(yàn)的同時(shí)，也營(yíng)造了積極的學(xué)習(xí)氛圍.當(dāng)部分學(xué)生解決問題存在困難時(shí)，洪老師沒有急于求成，以講代學(xué)，而是采用先獨(dú)立學(xué)習(xí)，后小組交流的方式來互幫互學(xué)，分享智慧，使合作學(xué)習(xí)真正落到實(shí)處.當(dāng)多數(shù)學(xué)生思考遇到困境時(shí)，則以啟發(fā)引領(lǐng)幫助學(xué)生擺脫困境.當(dāng)學(xué)生呈現(xiàn)自己一些不成熟的思路時(shí)，洪老師也沒有急于否定學(xué)生的想法，而是順著學(xué)生的想法給予恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥，從而生成了與預(yù)設(shè)不同的解法.雖然為此導(dǎo)致沒有完成預(yù)設(shè)的問題關(guān)聯(lián)分析，也沒有進(jìn)行課堂小結(jié)，但卻真實(shí)反映了常態(tài)的課堂場(chǎng)景，突出了學(xué)生的學(xué)習(xí)自主性.

當(dāng)然從彌補(bǔ)缺憾、改進(jìn)教學(xué)的角度思考，或許對(duì)教學(xué)可以作如下優(yōu)化.（1）去掉圖1，直接呈現(xiàn)圖2并提出問題1.這樣學(xué)生獲取圖像信息會(huì)更直觀具體，起點(diǎn)也更低些.（2）刪去問題5中的變式1，概因這個(gè)變式與原題方法一致，但涉及解含參數(shù)的方程，課標(biāo)對(duì)此不作要求.這樣就可以節(jié)省出一些寶貴的教學(xué)時(shí)間.另外，在呈現(xiàn)問題5之前，若先引入一個(gè)已知面積求k值的簡(jiǎn)單問題進(jìn)行鋪墊，學(xué)生對(duì)問題5的解決可能更順暢，也利于學(xué)生對(duì)變式2進(jìn)行分析與解決.

參考文獻(xiàn)：

1.張宏政，鄭偉君.凸顯函數(shù)認(rèn)知線索，有效提升思維能力——一堂二次函數(shù)復(fù)習(xí)課的教學(xué)實(shí)錄與評(píng)析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2010（1-2）.

2.張宏政，史美華.初中數(shù)學(xué)課堂中高效教學(xué)行為的特征分析——基于一堂數(shù)學(xué)課的觀察與診斷［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2012（3）.

3.陳建新，張宏政.讓數(shù)學(xué)探究活動(dòng)更真實(shí)——記“反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)（1）”的教學(xué)實(shí)踐與評(píng)析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（1）.